Экситонная модель

    В основе любых модификаций экситонной модели лежат следующие предположения:

  1. Атомное ядро рассматривается как система фермионов со слабым двухчастичным остаточным взаимодействием.
  2. Возбужденные состояния ядра характеризуются энергией возбуждения Ea и суммарным числом   так называемых экситонов n - возбужденных частиц p над поверхностью Ферми и дырок h (n = p + h). При этом считается, что все способы распределения энергии возбуждения между частицами и дырками для данного n-экситонного состояния равновероятны.

    Рассмотрим экситонную модель в случае, когда во входном и выходном канале нуклон.
    Реакция протекает по следующей схеме. Вошедший в область ядерного потенциала нуклон (ограничимся реакциями с нуклонами во входном и выходном каналах) в результате первого взаимодействия с одной из частиц ядра порождает частично-дырочную пару, т.е. образует входное состояние с n0 = 3, состояние типа 2p1h (две частицы - одна дырка). Возбужденная промежуточная система далее будет развиваться в сторону состояний возрастающей сложности (на первых стадиях процесса переход к большим n означает существенное увеличение конфигурационного пространства и, соответственно увеличение вероятности таких переходов). Усложнение частично-дырочных конфигураций будет происходить до тех пор пока вероятность переходов в единицу времени в состояния с меньшим числом экситонов не сравняется с вероятностью переходов в состояния с большим числом экситонов. Когда это происходит, устанавливается равновесие и промежуточная система начинает долго "блуждать" около равновесного числа экситонов neq. Эта стадия соответствует составному ядру. На каждой стадии возможен вылет частиц с вероятностью W(n,Ea) (см. рис p1).

Эволюция составной системы

Рис. p1. Эволюция составной системы

    В экситонной модели прослеживается эволюция вероятности P(n,t) нахождения промежуточной системы в состоянии с n экситонами в момент времени t - t + dt. Для P(n,t) можно написать уравнение баланса или кинетическое уравнение

dP(n,t)/dt = P(n-2,t)λ+(n-2,Ea) + P(n+2,t)λ-(n+2,Ea) -  P(n,t)[λ+(n,Ea) + λ-(n,Ea) + W(n,Ea)],

(p.1)

с граничными условиями

P(n,0) = delta(nn0), P(n,tarrow.gif (69 bytes)infin1.gif (65 bytes)) = 0. (p.2)

В ходе эволюции системы среди возможных конфигураций с данным числом экситонов могут найтись такие конфигурации, в которых по крайней мере одна частица имеет энергию возбуждения, превышающую энергию связи Bb, т.е. частица может вылететь с кинетической энергией epsilon1.gif (61 bytes)b. После вылета конечное ядро имеет энергию возбуждения

UB = Ea - Bb - epsilon1.gif (61 bytes)b(mB + mb)/mB,

где mB и mb - массы конечного ядра и вылетающей частицы.
Сечение реакции расчитывается с помощью соотношения

(p.3)

где σa(εa) - сечение поглощения  частицы a, налетающей с энергией εa, λb(n,εb) - вероятность в единицу времени вылета частицы b с энергией εb из n-экситонного состояния, τ(n,Ea) - среднее время нахождения в n-экситонном состоянии. Суммирование ведется по всем состояниям, nmax - определяется принципом Паули. Максимальное число экситонов получается когда энергия возбуждения распределена по одночастичным состояниям с минимальными энергиями.
    Вероятность вылета частицы из n-экситонного состояния λb(n,εb) так же как в модели испарения получается с помощью принципа детального баланса. Ее можно представить как произведение вероятностей - F(n,εb + Bb, Ea) - вероятности нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией εb + Bb на вероятность эмиссии этой частицы λb(εb).

λb(n,epsilonb) = F(n,εb+ Bb, Ea)λb(εb), (p.4)

где Bb - энергия связи частицы b в составной системе. Для вероятности нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией εb + Bb можно записать

F(n,epsilonb+ Bb, Ea) = Rb(p) (p.5)

где ω плотности квазичастичных состояний, g - одночастичная плотность, Rb(p) учитывает сохранение заряда. Вероятность эмиссии частицы b с энергией εb определяется соотношением

lambda1.gif (56 bytes)b(epsilonb) = мюbepsilonbsigmainv(epsilonb), (p.6)

где sb, μb- спин и приведенная масса частицы b, σinv(εb) - сечение обратной реакции.  Плотности возбужденных состояний с данным числом экситонов как правило расчитываются с использованием эквидистантной схемы одночастичных состояний, т.е. игнорируется энергетическая зависимость плотности одночастичных состояний и так же как в модели испарения используется одночастичная плотность на поверхности Ферми g = gF. Использование эквидистантного приближения позволило получить довольно простые аналитические выражения для плотностей частично-дырочных состояний и, как показали расчеты,  дает удовлетворительные результаты даже для плотностей состояний с небольшим числом экситонов (n = 3) и довольно больших энергий возбуждения (~ 60 МэВ).

(p.7)

где

(p.8)

Для расчета вероятностей внутриядерных переходов предполагается малость двухчастичных остаточных сил, вызывающих внутриядерные переходы, и используется теория возмущений. Усредненная вероятность переходов

(p.9)

где <|M|2> - усредненный по разрешенным переходам квадрат матричного элемента, ω(+-)(n,Ea) - плотность достижимых конечных состояний. Эта плотность не эквивалентна плотности частично-дырочных состояний (p.7), так как двухчастичный характер взаимодействия накладывает ограничения на плотность конечных состояний при переходах и не все состояния при переходах оказываются возможными. В первом приближении плотности конечных состояний определяются соотношениями

, (p.10)
. (p.11)

Плотности конечных состояний
Рис. p2. Зависимость плотностей конечных состояний от числа экситонов, расчитанная для возбужденного до энергии 20 МэВ ядра с A = 130 (g = 10 МэВ-1)  

Когда скорости внутриядерных переходов λ+(n,Ea) и λ-(n,Ea) (что эквивалентно равенству плотностей конечных состояний ω(+)(n,Ea) = ω(-)(n,Ea)) сравниваются, наступает динамическое равновесие. Из (p.10) и (p.11) можно оценить равновесное число экситонов

neq ~ (2gEa)1/2

p.12

    Вероятность внутриядерных переходов <|M|2> можно оценить, используя данные по длине свободного пробега нуклонов в ядре или данные по мнимой части оптического потенциала. Часто используется параметризация, в которой энергетическая зависимость <|M|2> выражается через среднюю энергию, приходящуюся на один экситон

(p.13)

где параметр K = 135 МэВ3.

Эволюция вероятности нахождения составной системы в n-экситонном состоянии
Рис. p3. Эволюция вероятности нахождения составной системы из реакции 54Fe + alpha (59 МэВ) в n-экситонном состоянии [9]

     Уравнение (p.3) претендует на описание всего процесса ядерной релаксации, который начинается с простейших частично-дырочных конфигураций и кончается образованием составного ядра. Решение кинетического уравнения (p.1) представляет из себя сумму экспонент

,

(p.14)

где hi, ani и ri - константы интегрирования. Со временем функция P(n,t) размывается и ее максимум сдвигается в область все больших n (см. рис. p3).
Начиная с некоторого времени tpeq P(n,t) практически перестает меняться; это соответствует образованию составного ядра, когда из всей суммы остается один, медленно меняющийся член

P(n,t)neqvD(n)exp(-rmt), 
rm = min{ri}
(p.15)

Время достижения динамического равновесия tpeq обычно определяют критериями типа

[P(n,t) - P(n,t+deltat)]/P(n,t ) < 0.05,

где deltat - шаг итерации.

Рис. p4. Результаты расчетов для промежуточной системы 115 Te (Ea = 42.6 МэВ) из реакции 112Sn + 3He. а) Время нахождения  в n-экситонных состояниях.   Полное время tau(n) - синяя кривая, на предравновесной стадии taupeq(n) - зеленая кривая, на равновесной стадии taueq(n) - штрихпунктир. б) Полная вероятность вылета в единицу времениW(n) [4]

    Таким образом, весь процесс эволюции составной системы можно разделить на две части - быструю (предравновесную), протекающую до момента времени tpeq, и медленную (равновесную).

    Интересно сравнить эмиссию на предравновесной и равновесной стадиях.
   На рис. p4 представлены результаты расчетов tau1.gif (59 bytes)peq(n), и, а также полной вероятности вылета в единицу времени для промежуточной системы 115 Te (Ea = 42.6 МэВ) из реакции 112Sn + 3He. Видно, что состояния с малым числом экситонов заселяются на предравновесной стадии. taueq(n) представляет из себя симметричное относительно равновесного числа экситонов  распределение. Наибольшая вероятность вылета в единицу времени у состояний с малым числом экситонов. С ростом их числа она быстро спадает. Однако за счет большого времени нахождения в состояниях вблизи neq в равновесной стадии, вклад в сечение этих состояний существенен (в рассмотренном случае neq ~ (2gEa)1/2 ~ 27). Таким образом наибольший вклад в сечение дают простые конфигурации на предравновесной стадии и сложные вблизи neq на равновесной.

Временная эволюция спектров нейтронов
Рис. p5. Временная эволюция дифференциальных спектров нейтронов из реакции 93Nb(n,n') при энергии нейтронов 15 МэВ [4]

    На рис. p5 показана временная эволюция дифференциальных спектров нейтронов из реакции 93Nb(n,n') при энергии первичного пучка нейтронов 15 МэВ. Видно, что высокоэнергетичная часть спектра (En > 5 МэВ)формируется в самом начале процесса. Через 10-21 с ее формирование завершается и далее продолжается формирование только низкоэнергетической части, причем скорость испускания частиц падает. Весь процесс формирования спектра занимает более 10-19 с - время характерное для компаунд-ядерных процессов.
    Как уже указывалось выше, расчетные соотношения экситонной модели были получены с использованием гипотезы о квазиравновесии на каждой стадии и, казалось, должны были описывать только компаунд-ядерные процессы с характерными для них симметричными относительно 900 в системе центра инерции угловыми распределениями. Однако расчеты демонстрировали удовлетворительное согласие с экспериментом в том числе и в области существенной асимметрии угловых распределений. Оказалось, что свойства нуклон-нуклонного рассеяния в ядре таково, что его сечение dσ/dε   практически одинаково для всех разрешенных принципом Паули конечных энергий нуклонов  и почти не зависит от энергии нуклона, находящегося ниже энергии Ферми. Вероятность нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией
εb + Bb, вычисленная на основе нуклон-нуклонных сечений практически совпадает с аналогичной функцией F(n, εb+ Bb, Ea) (см.p.5). T.e. проблема сводится к комбинаторной задаче подсчета числа вариантов представления энергии возбуждения суммой одночастичных энергий и можно не привлекать гипотезу о квазиравновесии для оправдания использования функции F(n, εb+ Bb, Ea), которая в основном и определяет форму спектров. Возможность единым образом описать весь спектр однако дается ценой огрубления деталей, в частности в области дискретных состояний конечных ядер.
    Для интерпретации предравновесных процессов нет необходимости вводить новые механизмы реакций. Если основываться на связи механизмов с концепцией открытых и закрытых состояний, предравновесные процессы сводятся к известным механизмам - прямым и копаунд. Только теперь для описания сечений нужно рассматривать прямые процессы, проходящие не только  через одно, но и через несколько взаимодействий - многоступенчатые прямые процессы (МПП). А под компаунд-процессами иметь ввиду не только те процессы, которые реализуются в равновесной системе - составном ядре, но и процессы, происходящие в процессе движения составной системы к равновесию - многоступенчастые компаунд-процессы (МКП). Для расчета МПП и МКП были развиты различные модели. Раздельный расчет  МПП и МКП возможен и в обобщениях экситонной модели.

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru