Экситонная модель

    В основе любых модификаций экситонной модели лежат следующие предположения:

1. Атомное ядро рассматривается как система фермионов со слабым двухчастичным остаточным взаимодействием.
2. Возбужденные состояния ядра характеризуются энергией возбуждения E_a и суммарным числом   так называемых экситонов n - возбужденных частиц p над поверхностью Ферми и дырок h (n = p + h). При этом считается, что все способы распределения энергии возбуждения между частицами и дырками для данного n-экситонного состояния равновероятны.

    Рассмотрим экситонную модель в случае, когда во входном и выходном канале нуклон.
    Реакция протекает по следующей схеме. Вошедший в область ядерного потенциала нуклон (ограничимся реакциями с нуклонами во входном и выходном каналах) в результате первого взаимодействия с одной из частиц ядра порождает частично-дырочную пару, т.е. образует входное состояние с n₀ = 3, состояние типа 2p1h (две частицы - одна дырка). Возбужденная промежуточная система далее будет развиваться в сторону состояний возрастающей сложности (на первых стадиях процесса переход к большим n означает существенное увеличение конфигурационного пространства и, соответственно увеличение вероятности таких переходов). Усложнение частично-дырочных конфигураций будет происходить до тех пор пока вероятность переходов в единицу времени в состояния с меньшим числом экситонов не сравняется с вероятностью переходов в состояния с большим числом экситонов. Когда это происходит, устанавливается равновесие и промежуточная система начинает долго "блуждать" около равновесного числа экситонов n_eq. Эта стадия соответствует составному ядру. На каждой стадии возможен вылет частиц с вероятностью W(n,E_a) (см. рис p1).

    В экситонной модели прослеживается эволюция вероятности P(n,t) нахождения промежуточной системы в состоянии с n экситонами в момент времени t - t + dt. Для P(n,t) можно написать уравнение баланса или кинетическое уравнение

с граничными условиями

P(n,0) = (nn0), P(n,t) = 0.

(p.2)

В ходе эволюции системы среди возможных конфигураций с данным числом экситонов могут найтись такие конфигурации, в которых по крайней мере одна частица имеет энергию возбуждения, превышающую энергию связи B_b, т.е. частица может вылететь с кинетической энергией _b. После вылета конечное ядро имеет энергию возбуждения

где m_B и m_b - массы конечного ядра и вылетающей частицы.
Сечение реакции расчитывается с помощью соотношения

(p.3)

где σ_a(ε_a) - сечение поглощения  частицы a, налетающей с энергией ε_a, λ_b(n,ε_b) - вероятность в единицу времени вылета частицы b с энергией ε_b из n-экситонного состояния, τ(n,E_a) - среднее время нахождения в n-экситонном состоянии. Суммирование ведется по всем состояниям, n_max - определяется принципом Паули. Максимальное число экситонов получается когда энергия возбуждения распределена по одночастичным состояниям с минимальными энергиями.
    Вероятность вылета частицы из n-экситонного состояния λ_b(n,ε_b) так же как в модели испарения получается с помощью принципа детального баланса. Ее можно представить как произведение вероятностей - F(n,ε_b + B_b, E_a) - вероятности нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией ε_b + B_b на вероятность эмиссии этой частицы λ_b(ε_b).

λb(n,b) = F(n,εb+ Bb, Ea)λb(εb),

(p.4)

где B_b - энергия связи частицы b в составной системе. Для вероятности нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией ε_b + B_b можно записать

F(n,b+ Bb, Ea) = Rb(p)

(p.5)

где ω плотности квазичастичных состояний, g - одночастичная плотность, R_b(p) учитывает сохранение заряда. Вероятность эмиссии частицы b с энергией ε_b определяется соотношением

b(b) = bbinv(b),

(p.6)

где s_b, μ_b- спин и приведенная масса частицы b, σ_inv(ε_b) - сечение обратной реакции.  Плотности возбужденных состояний с данным числом экситонов как правило расчитываются с использованием эквидистантной схемы одночастичных состояний, т.е. игнорируется энергетическая зависимость плотности одночастичных состояний и так же как в модели испарения используется одночастичная плотность на поверхности Ферми g = g_F. Использование эквидистантного приближения позволило получить довольно простые аналитические выражения для плотностей частично-дырочных состояний и, как показали расчеты,  дает удовлетворительные результаты даже для плотностей состояний с небольшим числом экситонов (n = 3) и довольно больших энергий возбуждения (~ 60 МэВ).

(p.7)

где

Для расчета вероятностей внутриядерных переходов предполагается малость двухчастичных остаточных сил, вызывающих внутриядерные переходы, и используется теория возмущений. Усредненная вероятность переходов

где <|M|²> - усредненный по разрешенным переходам квадрат матричного элемента, ω^(+-)(n,E_a) - плотность достижимых конечных состояний. Эта плотность не эквивалентна плотности частично-дырочных состояний (p.7), так как двухчастичный характер взаимодействия накладывает ограничения на плотность конечных состояний при переходах и не все состояния при переходах оказываются возможными. В первом приближении плотности конечных состояний определяются соотношениями

,

(p.10)

.

(p.11)

Когда скорости внутриядерных переходов λ₊(n,E_a) и λ_-(n,E_a) (что эквивалентно равенству плотностей конечных состояний ω⁽⁺⁾(n,E_a) = ω^(-)(n,E_a)) сравниваются, наступает динамическое равновесие. Из (p.10) и (p.11) можно оценить равновесное число экситонов

    Вероятность внутриядерных переходов <|M|²> можно оценить, используя данные по длине свободного пробега нуклонов в ядре или данные по мнимой части оптического потенциала. Часто используется параметризация, в которой энергетическая зависимость <|M|²> выражается через среднюю энергию, приходящуюся на один экситон

(p.13)

где параметр K = 135 МэВ³.

     Уравнение (p.3) претендует на описание всего процесса ядерной релаксации, который начинается с простейших частично-дырочных конфигураций и кончается образованием составного ядра. Решение кинетического уравнения (p.1) представляет из себя сумму экспонент

где h_i, a_ni и r_i - константы интегрирования. Со временем функция P(n,t) размывается и ее максимум сдвигается в область все больших n (см. рис. p3).
Начиная с некоторого времени t^peq P(n,t) практически перестает меняться; это соответствует образованию составного ядра, когда из всей суммы остается один, медленно меняющийся член

P(n,t)D(n)exp(-rmt),  rm = min{ri}

(p.15)

Время достижения динамического равновесия t^peq обычно определяют критериями типа

[P(n,t) - P(n,t+t)]/P(n,t ) < 0.05,

где t - шаг итерации.

Рис. p4. Результаты расчетов для промежуточной системы 115 Te (Ea = 42.6 МэВ) из реакции 112Sn + 3He. а) Время нахождения  в n-экситонных состояниях.   Полное время (n) - синяя кривая, на предравновесной стадии peq(n) - зеленая кривая, на равновесной стадии eq(n) - штрихпунктир. б) Полная вероятность вылета в единицу времениW(n) [4]

    Таким образом, весь процесс эволюции составной системы можно разделить на две части - быструю (предравновесную), протекающую до момента времени t^peq, и медленную (равновесную).

    Интересно сравнить эмиссию на предравновесной и равновесной стадиях.
   На рис. p4 представлены результаты расчетов ^peq(n), и, а также полной вероятности вылета в единицу времени для промежуточной системы ¹¹⁵ Te (E_a = 42.6 МэВ) из реакции ¹¹²Sn + ³He. Видно, что состояния с малым числом экситонов заселяются на предравновесной стадии. ^eq(n) представляет из себя симметричное относительно равновесного числа экситонов  распределение. Наибольшая вероятность вылета в единицу времени у состояний с малым числом экситонов. С ростом их числа она быстро спадает. Однако за счет большого времени нахождения в состояниях вблизи n_eq в равновесной стадии, вклад в сечение этих состояний существенен (в рассмотренном случае n_eq ~ (2gE_a)^1/2 ~ 27). Таким образом наибольший вклад в сечение дают простые конфигурации на предравновесной стадии и сложные вблизи n_eq на равновесной.

Рис. p5. Временная эволюция дифференциальных спектров нейтронов из реакции 93Nb(n,n') при энергии нейтронов 15 МэВ [4]

    На рис. p5 показана временная эволюция дифференциальных спектров нейтронов из реакции ⁹³Nb(n,n') при энергии первичного пучка нейтронов 15 МэВ. Видно, что высокоэнергетичная часть спектра (E_n > 5 МэВ)формируется в самом начале процесса. Через 10^-21 с ее формирование завершается и далее продолжается формирование только низкоэнергетической части, причем скорость испускания частиц падает. Весь процесс формирования спектра занимает более 10^-19 с - время характерное для компаунд-ядерных процессов.
    Как уже указывалось выше, расчетные соотношения экситонной модели были получены с использованием гипотезы о квазиравновесии на каждой стадии и, казалось, должны были описывать только компаунд-ядерные процессы с характерными для них симметричными относительно 90⁰ в системе центра инерции угловыми распределениями. Однако расчеты демонстрировали удовлетворительное согласие с экспериментом в том числе и в области существенной асимметрии угловых распределений. Оказалось, что свойства нуклон-нуклонного рассеяния в ядре таково, что его сечение dσ/dε   практически одинаково для всех разрешенных принципом Паули конечных энергий нуклонов  и почти не зависит от энергии нуклона, находящегося ниже энергии Ферми. Вероятность нахождения в данном состоянии промежуточной системы частицы с энергией
ε_b + B_b, вычисленная на основе нуклон-нуклонных сечений практически совпадает с аналогичной функцией F(n, ε_b+ B_b, E_a) (см.p.5). T.e. проблема сводится к комбинаторной задаче подсчета числа вариантов представления энергии возбуждения суммой одночастичных энергий и можно не привлекать гипотезу о квазиравновесии для оправдания использования функции F(n, ε_b+ B_b, E_a), которая в основном и определяет форму спектров. Возможность единым образом описать весь спектр однако дается ценой огрубления деталей, в частности в области дискретных состояний конечных ядер.
    Для интерпретации предравновесных процессов нет необходимости вводить новые механизмы реакций. Если основываться на связи механизмов с концепцией открытых и закрытых состояний, предравновесные процессы сводятся к известным механизмам - прямым и копаунд. Только теперь для описания сечений нужно рассматривать прямые процессы, проходящие не только  через одно, но и через несколько взаимодействий - многоступенчатые прямые процессы (МПП). А под компаунд-процессами иметь ввиду не только те процессы, которые реализуются в равновесной системе - составном ядре, но и процессы, происходящие в процессе движения составной системы к равновесию - многоступенчастые компаунд-процессы (МКП). Для расчета МПП и МКП были развиты различные модели. Раздельный расчет  МПП и МКП возможен и в обобщениях экситонной модели.