Плотность состояний ферми-газа

fermi.gif (2397 bytes)
Рис. f1. Схема состояний ферми-газа; а) основное состояние ядра. Все одночастичные состояния до уровня Ферми заполнены. б) возбужденное состояние (1 частица - 1 дырка. Энергия этого двухчастичного состояния равна сумме энергий частицы и дырки ε'(4) + ε'(9)

    При образовании составного ядра энергия налетающей частицы распределяется по различным одночастичным состояниям. Расчет плотности таких состояний сводится к подсчету числа возможных вариантов распределения энергии возбуждения ядра по одночастичным состояниям.
    Будем характеризовать i-е состояние системы числом частиц, которым соответствуют заполненные уровни с
ε(j) > ε_F (j - номер уровня) и дырок с ε(j) < ε_F. Частицы и дырки называются квазичастицами или в моделях предравновесных процессов экситонами.
    Будем отсчитывать энергию возбуждения от энергии Ферми

ε'(j) = |ε(j) -ε_F|

(f.1)

Введем числа заполнения квазичастиц [n_q(j)]_i в i-м состоянии системы (согласно принципу Паули n_q(j) = 0,1). Энергия возбуждения i-го состояния

(f.2)

Плотность уровней при энергии возбуждения ядра E

(f.3)

Методами статистической физики можно получить выражение для плотности многочастичных состояний ферми-газа для ядра с массовым числом A и энергией возбуждения E.

(f.4)

где g ≈ (3/2)(A/ε_F) - суммарная плотность одночастичных протонных и нейтронных состояний на поверхности Ферми, a = (π²/6)g - параметр плотности уровней, n в зависимости от использованных приближении в пределах от 1 до 2. При выводе (f.4) предполагалось,что

E << ε_FA^1/3,

(f.5)

то есть рассматривался вырожденный ферми-газ, когда энергетическая зависимость одночастичной плотности
g(ε) игнорировалась. Кроме того использовалось условие

E >> ε_FA^-1 или gE >> 1

(f.6)

то есть энергия возбуждения должна быть большой по сравнению с энергией первого возбужденного состояния.
Наиболее характерная особенность плотности уровней - ее резкое увеличение с ростом энергии возбуждения.
Введем понятия энтропии S и температуры T

S = ln

(f.7)

T^-1 =

E = (1/

)

(f.8)

Из (f.4) с учетом условия (f.6) получим

Е = aT²

(f.9)

Вероятность заполнения данного одночастичного состояния j ферми газа имеет вид

(f.10)

Вероятность заселения одночастичных состояний

Рис. f2. Вероятность заселения одночастичных состояний при различных энергиях возбуждения ядра с A = 130. Возбуждению 10 МэВ соответствует температуре 0.8 МэВ (n_возб ~ 11), возбуждению 40 МэВ - T = 1.6 МэВ (n_возб ~ 22)

Температура определяет размер области вблизи энергии Ферми, в которой вероятность заполнения уровней существенно отлична от вероятности заполнения для основного состояния. Частицы, которые занимают возбужденные состояния сосредотачиваются в области ~T вблизи энергии Ферми, а средняя энергия на возбужденный нуклон ~T. На рис. f2 вероятность заселения одночастичных состояний от их энергии для ядра с A = 130, g ~ A/13 =10 МэВ^-1, ε_F = 40 МэВ. Видно, что даже при довольно больших энергиях возбуждения, ферми-газ сильно вырожден и число частиц, возбужденных относительно основного состояния, невелико. Среднее число частиц, возбужденных относительно основного состояния, определяется соотношением

(f.11)

см. также модель ферми-газа.