Изоспин частиц и ядер

    Как основное, так и возбужденные состояния адронов (т.е. всех частиц или систем частиц, участвующих в сильных взаимодействиях) характеризуются квантовыми числами, которые называются изоспином и проекцией изоспина. В литературе эти квантовые числа обозначаются обычно символами I и I_z (I₃). ( В книгах по физике ядра чаще употребляются символы T и T_z ).
    Введение этих квантовых чисел в физике ядра было связано с тем фактом, что ядерные силы инвариантны относительно замены протонов на нейтроны. Это особенно ярко проявляется в спектрах т.н.”зеркальных” ядер, т.е. ядер-изобар, у которых число протонов одного равно числу нейтронов другого. (См., например, спектры ядер ¹³C и ¹³N). Для всех известных пар таких ядер имеет место подобие спектров низших возбужденных состояний: спины и четности низших состояний одинаковы, а энергии возбуждения близки.
    С точки зрения теории изоспина, нейтрон и протон являются одной и той же частицей – нуклоном с изоспином I = 1/2 – в двух разных состояниях, различающихся проекцией вектора изоспина на выделенную ось (I_z =  I₃) в пространстве изоспина. Таких проекций для момента I = 1/2 может быть только две: I_z = +1/2 (протон) и I_z = –1/2 (нейтрон). (Квантовая теория изоспина построена по аналогии с теорией спина. Однако пространство изоспина не совпадает с обычным координатным пространством.)
    Система Z протонов и N нейтронов – ядро - имеет проекцию изоспина

    Ядерные (т.е. сильные) взаимодействия не зависят от проекции изоспина, или, точнее, сильные взаимодействия инвариантны относительно вращений в изоспиновом пространстве.
    Однако от величины изоспина ядерные силы зависят! Низшим по энергии состояниям системы нуклонов, т.е. основным состоянием ядра, является состояние с низшим возможным значением изоспина, которое равно

Возбужденные состояния ядер могут иметь более высокие значения изоспина, но с той же проекцией.
    Изоспин - квантовый вектор, являющийся характеристикой не только нуклонов и ядер, но и любых адронов. Оператор квадрата изоспина является собственным оператором волновой функции адрона или системы адронов:

    Квантовая механика изоспина построена по аналогии с квантовой механикой момента количества движения, точнее – собственных моментов количества движения – спинов – в обычном пространстве.
    Изоспин системы адронов является векторной суммой изоспинов составляющих, Например, для ядра с А нуклонами изоспин равен

    Нуклоны представляют собой кварковые системы, состоящие из кварков первого поколения. Кваркам первого поколения, т.е. кваркам u и d , приписывается изоспин , причем u кварк имеет значение проекции изоспина +1/2, а d кварк имеет I_z = I₃ = -1/2. Векторная сумма изоспинов 3-х кварковой системы может принимать два значения: и :

Изоспину соответствуют две возможные проекции, которые соответствует протону (uud) и нейтрону (udd) . Из сложения проекций кварков получим правильные значения проекций протона и нейтрона (+1/2 и -1/2).

Правила сложения квантовых векторов. Как момент количества движения, так и изоспин частиц являются квантовыми векторами. Необходимо усвоить правила сложения таких векторов:

Например,
+ = 0, , ;
+ = , ;
+ = , .
Число возможных значений суммарного вектора равно 2D + 1,где D - наименьший из суммируемых векторов.

    Величина изоспина адрона указывает на то, сколько у него разных зарядовых состояний. С точки зрения сильных взаимодействий протон и нейтрон являются двумя разными состояниями нуклона с изоспином I = 1/2 и двумя разными проекциями. Число разных зарядовых состояний N соответствует числу проекций изоспина на выделенную ось в изоспиновом пространстве N = 2I + 1. Для нуклонов N = 2. Частицы или системы частиц, имеющие одинаковый изоспин и разные проекции изоспина, составляют изоспиновые мультиплеты (дублеты, триплеты, и т.д.). Особенностью членов такого мультиплета является то, что они одинаковым образом участвуют в сильном взаимодействии.
    Изоспин имеют барионы, которые называются -изобарами. В экспериментах обнаружены 4 разных Δ-изобары. Эти частицы представляют собой возбужденные состояния нуклонов, в которых в результате реакции произошел переворот изоспина одного из кварков, что и привело к появлению системы 3 кварков с изоспином . Примеры реакций получения -изобар и распада их по каналу сильных взаимодействий:

    Наиболее легкие из мезонов – пи-мезоны – существуют в трех зарядовых состояниях π^-, π⁰ и π⁺. Изоспин π-мезонов равен I = 1, число членов изоспинового мультиплета N = 2I + 1 = 3. Значения проекции изоспина –1, 0, +1 соответствуют трем зарядовым состояниям π-мезонов (изоспиновый триплет). Если частица не имеет “изоспинового партнера”, ее изоспин 0 ( изоспиновый синглет). Такой частицей является, например,-мезон.
   гиперон, имеющий кварковую структуру (uds), также является изоспиновым синглетом. Σгипероны существуют в трех зарядовых состояниях, изоспин Σпоэтому равен 1, а число проекций единицы равно 3 (-1,0,+1), как и в случае πмезонов. (Изоспиновый триплет)
    Изоспины адронов являются результатом сложения изоспинов составляющих их кварков. Квантовым числом изоспин обладают только кварки первого поколения, u и d, проекции их изоспинов, соответственно, +1/2 и -1/2. Изоспин антикварков также равен (точно так же, как и спин), но проекции изоспинов меняют знак при переходе от кварков к антикваркам. Изоспин антикварка равен изоспину кварка, но проекция изоспина антикварка противоположна по знаку проекции изоспина кварка.

    Проекция изоспина адрона, его заряд и другие квантовые числа связаны правилом:

где Y = B + S – гиперзаряд (В – барионный заряд, S – странность). При исследовании адронов, в состав которых входят “тяжелые” кварки, выяснилось, что формула (5.8) верна и в этом случае, если ввести обобщенный гиперзаряд Y = B + S + c + b + t .

    В реакциях сильного взаимодействия выполняются все законы сохранения. Определим характеристики частицы X:
Из закона сохранения заряда Q:
Q: +1 +1 = +1 + Q(X) + 0 .Отсюда Q(X) = +1.
Закон сохранения барионного заряда:
B: +1 +1 = +1 +B(X) + 0, т.е. B(X) = +1.
Закон сохранения странности:
S: 0 + 0 = 0 + 1 + S(X), т.е. S(X) = -1.
Искомая частица – положительно заряженный барион с отрицательной странностью.
Из таблицы частиц следует, что этому условию удовлетворяет Σ⁺.
    Положительный Σ-гиперон принадлежит к группе трех Σ-гиперонов с изоспином I = 1. Проекции изоспина у членов этой тройки (изоспинового триплета) составляют –1, 0 и +1. Σ⁺ гиперон – член триплета с проекцией изоспина +1.
    Проведем анализ закона сохранения изоспина в сильных взаимодействиях для реакции задачи 5.1. Изоспин протона , суммирование двух векторов дает либо 0, либо 1. Это возможные значения изоспина двух протонов в начальном состоянии. В конечном состоянии три частицы. Изоспин К-мезонов также равен . Поэтому сумма изоспинов протона и К-мезона – также либо 0, либо 1. Отсюда получаем, что изоспин неизвестной частицы может принимать следующие значения 0,1, 2. Поэтому полученный выше результат соответствует одному из возможных значений изоспина.

    Δ⁺⁺ резонанс – частица, имеющая спин 3/2 и изоспин 3/2.
    Рассмотрим закон сохранения изоспина в этой реакции сильного взаимодействия

= const.;
+ = , .

Таким образом, во взаимодействии пионов и нуклонов могут появиться частицы (резонансы) как и изоспином 1/2 (N- резонансы), так и с изоспином 3/2 (Δ-резонансы). Распады Δ-изобар происходят по каналам сильных взаимодействий (см. реакции 5.7). Поэтому времена их жизни очень малы. Δ-изобары проявляются как широкие резонансные максимумы в эффективных сечениях реакций (5.7) с ширинами около 110 – 120 МэВ. Поэтому Δ-изобары называют также Δ-резонансами. Напомним решение задачи 2.7 о времени жизни Δ-изобары:

Задача 5.3. Оценить время жизни Δ-изобары по ширине Г115 МэВ.

    При использовании закона сохранения полного момента количества движения в замкнутой системе необходимо учитывать, что частицы, помимо спинов, обладают также орбитальными моментами количества движения. В отличие от спинов, орбитальные моменты могут принимать только целые значения в единицах .
    Cуммарный векторный момент количества движения (момент импульса) двух частиц складывается из их спинов и орбитальных моментов. Иногда указывают суммарный орбитальный момент этой пары относительно их центра инерции.

    Спин π-мезонов равен 0. Спин протона 1/2. Спин Δ⁺⁺ резонанса 3/2. Определим суммарный орбитальный момент протона и пи-мезона в системе центра инерции:

0 + + = ; L = 1, 2.

Таким образом, из закона сохранения момента количества движения нельзя сделать однозначного вывода об орбитальном моменте L системы пион-нуклон в данной реакции. Но этот вывод можно сделать, если учесть еще один закон сохранения, выполняющийся в сильных и электромагнитных взаимодействиях: закон сохранения пространственной четности.
    Применим закон сохранения пространственной четности к задаче о рождении Δ⁺⁺ резонанса. (Закон сохранения четности - мультипликативный закон сохранения. В сильных и электромагнитных взаимодействиях сохраняется произведение пространственных четностей):
Четность Δ-резонансов равна +1. Четность системы пион-нуклон равна

P(p)P(π)(-1)^L = (+1)(-1)(-1)^L = +1 L = 1.

    Таким образом, с помощью закона сохранения пространственной четности удалось сделать однозначный выбор из двух значений орбитального момента (1 или 2), возможных по закону сохранения момента. Реакция идет при орбитальном моменте системы пион-нуклон, равном 1 (или, как говорят, в р-канале).
Примечание: В физике микромира значения орбитальных моментов часто обозначают буквами латинского алфавита:

Задача 5.4. Проанализировать законы сохранения в реакции p + → π0 + π0.

    Рассмотрим закон сохранения изоспина и его проекции:
I:  + = 0, = + ;
I₃:  +1/2 -1/2 = 0.
Законы сохранения момента импульса и четности:
J:
P:
Отсюда следует, что орбитальные моменты протонной и пионной пар должны совпадать.

    В реакциях сильного взаимодействия выполняются все законы сохранения. Определим характеристики частицы X: Из закона сохранения заряда Q:
Q: +1 +1 = +1 + Q(X) +1 .Отсюда Q(X) = 0.
Закон сохранения барионного заряда:
B: +1 +1 = +1 + B(X) + 0, т.е. B(X) = +1.
Закон сохранения странности:
S: 0 + 0 = S(X) + 1, т.е. S(X) = -1.
Искомая частица – незаряженный барион с отрицательной странностью.
Из таблицы частиц следует, что этому условию удовлетворяют две частицы: Λ и Σ⁰.
Кварковая структура обеих частиц (uds). Спин обеих частиц 1/2, барионный заряд равен 1. Отличие их структуры – в разных изоспинах. Λ-гиперон имеет изоспин 0, а нейтральный Σ⁰ гиперон принадлежит к группе трех Σ-гиперонов с изоспином 1. Проекции изоспина у членов этой тройки (изоспинового триплета) составляют –1, 0 и +1. Нейтральный Σ⁰-гиперон – центральный член триплета с проекцией изоспина 0.