Механизмы рассеяния электронов в металлах

    Среди механизмов рассеяния наиболее важными являются электрон-фононное, электрон-электронное, примесное, изотопное, на торцах образцов и на дефектах.

    Если имеется несколько механизмов рассеяния, каждый из которых не влияет на другие, то полная вероятность рассеяния

  В приближении времени релаксации:

Предположим, кроме того, что время релаксации для каждого механизма не зависит от k. Тогда

Это т.н. правило Матиссена: удельное сопротивление = сумме парциальных удельных сопротивлений, обусловленных каждым механизмом. Ограниченность этого правила связана с предположениями а) о независимости механизмов, б) (k) = const. Можно показать, что правило Матиссена выполняется как неравенство:

Интеграл столкновений в изотропной среде. Рассеяние электронов на примеси.

    Считаем, что рассеяние - упругое, концентрация примеси мала, взаимодействие U примесь-электрон достаточно слабо. Можно показать, что при этом вероятность рассеяния:

где n_i - число примесей в единице объема,

а волновая фуекция нормирована на объем ячейки

     Как видно из (10.5), W_k,k' не зависит от электронной функции g. Это - следствие приближения независимых электронов и это - главное упрощение. Из свойств W_k,k' можно еще отметить свойство симметрии W_k,k' = W_k',k - это т.н. принцип детального равновесия, который следует из условия эрмитовости оператора U: (<k|U|k'> = <k'|U|k>).
    Интеграл столкновений в -приближении (см.Л9):

    В теории столкновений вероятность столкновений характеризуют сечением рассеяния dQ = dW_pp’ [обычно сечение рассеяния обозначают греческой буквой , но здесь мы будем обозначать Q, чтобы избежать путаницы с проводимостью].
    Для оценок сечения рассеяния поступим проще. Поскольку сечение является упругим, то процесс можно представить как рассеяние на упругих шариках с сечением ~ r_D², где r_D - радиус дебаевской экранировки, т.е. радиус экранирования э/статического поля примесного атома. Можно показать, что r_D ~10^-8 см (см. Д3). Тогда эффективное сечение будет равно Q_eff ~ r_D² ~ 10^-16см². Длина свободного пробега электрона проводимости будет определяться из условия равенства единице вероятности рассеяния: n_iQ_eff ~ 1. Откуда

    Для оценки проводимости воспользуемся соотношениями (1.2) и (1.4)

Учитывая, что n_e/n_i ~ 1/с_i , где c_i - концентрация примесных атомов, и что e²/v_ср ~ 1, то получаем:

откуда получаем оценку = 10¹⁶/c_i , ( в обратных секундах, 1/с) или = 10^-2/c_i (мкОм см)^-1. Соответственно для удельного сопротивления получаем c_i 10^-16, с или 100c_i, мкОм см. Коэффициент перевода между двумя единицами измерений определяется соотношением [, мкОмсм] = 10¹⁸[,с] Сопоставление с характерными величинами сопротивлений для металлов, приведенными в табл. 1.1, показывает, что рассеяние на примесных атомах может давать значительный вклад в полное сопротивление.

Рассеяние на электронах

Рис. 10.1. Электрон-электронное рассеяние

Механизм рассеяния электронов электронами таков: частица 1 извне Ферми- распределения взаимодействует с частицей 2 внутри поверхности Ферми. В результате обе частицы 3 и 4 оказываются вне поверхности Ферми (рис.10.1). Т.е. E₁ > E_F; E₂ < E_F; E₃ > E_F; E₄ > E_F и, кроме этого, выполняется з-н сохранения энергия: E₁ + E₂ = E₃ + E₄ . Если E₁ = E_F, то E₂ = E₃ = E₄ = E_F и разрешенные волновые векторы 2-го, 3-го и 4-го электронов лежат в области k-пространства с нулевым объемом (т.е. на поверхности Ферми) и, следовательно, соответствующие процессы дают ничтожный вклад в интеграл столкновений, определяющий сечение процесса. На языке теории рассеяния в таком случае говорят, что для подобного процесса нет фазового объема. Поэтому время жизни электрона на поверхности Ферми при Т 0 равно бесконечности.
    Если E₁ - E_F>0, то у этого процесса появляется некоторый разрешенный фазовый объем, поскольку другие три энергии теперь могут изменяться в слое шириной порядка |E₁ - E_F| вблизи поверхности Ферми, удовлетворяя законам сохранения. Вероятность столкновений

Отсюда вероятность имеет квадратичную (а не кубическую) зависимость (E₁ - E_F)², поскольку, задав значения E₂ и E₃ в интервале разрешенных значений, E₄ определяется однозначно. Если электрон возбужден в условиях т/д равновесного распределения при Т > 0, то в слое толщиной k_BT около E_F имеются частично заполненные уровни. Следовательно, энергии могут отличаться на величину k_BT даже при условии E₁ = E_F и вероятность (частота) столкновений пропорциональна (k_BT)². Учитывая оба фактора, имеем:

Анализ (АМ, Гл.17, с.347) температурной зависимости электрон-электронного рассеяния показывает, что

где А 1 - 100.

Соответственно, коэффициент электропроводности равен

а коэффициент теплопроводности -

Полагая k_BT 10^-2 эВ, E_F 1 эВ, получаем

где ₀ = 10^-14 с - характерное время релаксации, оцениваемое из эксп. данных (см. Л1). Соответственно, вклад ее-процессов в электросопротивление ( ~1/) составляет малую долю. Отсюда вывод - ее-рассеяние не является главным механизмом рассеяния ни при комнатной температуре, ни тем более при низких Т (ввиду (10.14)).

    Тепловые колебания решетки представляют собой, также как и примесные атомы, дефекты - отклонения от идеальной (стационарной) решетки. Периодический потенциал жестко закрепленных ионов есть лишь некоторое приближение к истинному потенциалу

Разность U(r)-U^periodic(r) можно считать возмущением, которое действует на стационарные одноэлектронные уровни периодического гамильтониана, вызывая переходы между блоховскими уровнями, приводящие к разрушению тока (в теории Блоха = ).
    Процессы электрон-фононного рассеяния являются неупругими - происходит испускание или поглощение фононов ( т.е. обмен энергиями электронов с решеткой). Процесс аналогичен рассеянию нейтронов.
    В простейших теориях учитывается испускание/поглощение одного фонона. Законы сохранения энергии и квазиимпульса записываются в виде

где q - переданный фонону квазиимпульс, а G - произвольный вектор обратной решетки. Поскольку ~ 10^-3 - 10^-2 эВ, а E_k ~ 1 эВ, то составляет лишь малую долю от характерных энергий электронов. Поверхность разрешенных векторов q+G при заданном k очень близка к геометрическому множеству векторов, соединяющих вектор k со всеми другими точками на изоэнергетической поверхности E_k=E_k'.

Высокие температуры (T>>θ_D).

При высоких температурах наиболее вероятно испускание и поглощение фононов с большими энергиями
ω ~ ω_D, но при этом, поскольку ω_D << k_BT, число фононов, в каждой нормальной моде будет определяться выражением

Поэтому полное число фононов на поверхности разрешенных волновых векторов, отвечающей рассеянию данного электрона, пропорционально температуре.
    Полная вероятность рассеяния с испусканием фонона равна

Аналогичную формулу можно написать для поглощения. Интегрирование -функции по dq дает множитель порядка

Подставляя, получаем

W ~ 1/ (k_F)² _D/mn k_BT/_Dk_Fm.

В соответствии с (1.23) n ~ k_F³ , и мы имеем

Следовательно,

Из (10.23) 6·10¹⁶ эВ с / 10^-2 эВ 10^-14 c, т.е. при высоких температурах вклад электрон-фононного взаимодействия является основным процессом рассеяния.

Низкие температуры (T << θ_D).

При низких температурах необходимо принять к рассмотрению несколько факторов:

1. Электроны могут испускать или поглощать фононы с ω(q) < k_BT (лишь такие есть фононы для поглощения, и лишь такие возбужденные электронные состояния для испускания фононов).
2. Из первого условия следует |q| << k_D. Для малых частот vq, поэтому q < k_BT/v. Следовательно, реально участвовать в процессах поглощения и испускания могут не все фононы с волновыми векторами на поверхности, разрешенной законами сохранения, а лишь фононы с волновыми векторами на малой части этой поверхности, линейные размеры которой пропорциональны Т, а площадь ~Т², т.о. n_q ~T².
3. Когда q<<k_D, то квадрат константы электрон-фононной (e-ph) связи ~q

   Поскольку,

   

при |k-k'|<<k₀, где 4 е²/k₀² = 2E_F/ 3n_e ,

то вероятность рассеяния W_k,k'~ |g_k,k'|² ~ q⁰k_Bt/ V_s~ T.

С учетом этого

 ,

или

.

Исходя из времени релаксации может быть рассчитана теплопроводность. Имеем

κ ~ C_vλv ~ C_vv²τ_T~ (ћk_FmT/ћ³)(ћk_F/m)²(ћ/k_BT)(ћω_D/k_BT)²
~ κ(T>>ћω_D)(ћω_D/k_BT)² ~ 10⁸(θ_D/T)² эрг/(см с К) = 10(θ_D/T)² Вт/(см К)

κ(T>>ћω_D)~ .

4. При k_BT<<_D скорость, с которой происходит уменьшение эл. тока, не просто пропорциональна частоте рассеяния 1/_e^e-ph_. При k_BT<<_D|k-k'| = q << k_D, т.е. изменение k_F и скорость электронов v_e становится все меньше при понижении температуры. Рассеяние становится почти упругим.

    Воспользуемся приближением изотропной среды. При очень низких температурах рассеяние на фононах является почти упругим, т.е. <<_F. Частота столкновений в изотропной среде:

1/ = W()(1-cos)d/4

Поскольку sin/2=q/2k_F, то 1-cos=2sin²/2=1/2(q/k_F)². Но q=O(k_BT/ V_S) при T<<_D. Это приводит к 1/ ~ T³*T²d ~ T⁵ и, соответственно, ~ T⁵ - з-н Блоха при T<< _D. Дополнительный множитель Т², учитывающий возрастание роли процессов рассеяния вперед при понижении температуры (при обычных температурах вклад рассеяния вперед пренебрежимо мал), возникает даже в анизотропном металле. Возрастание роли рассеяния электронов вперед резко отличает случай Т<< _D и процесс рассеяния электрона на фононе от фонона-на-фононе. В отличие от ситуации с электропроводимостью, каждое столкновение фонона с фононом будет эффективно менять и энергию и квазиимпульс. Поэтому, множитель в зависимости ~ Т² не будет возникать, а поэтому ~ Т³. Т.е. закон Видемана-Франца выполняться не будет в этом случае.

Оценка:

1/τ_e^e-ph ~ <W()² > (k_BT/ )(k_BT/_D)⁴

и σ ~ σ(T>>ω_D)(ω_D/k_BT)⁴ ~ 10¹⁶(/k_BT)((ω_D/k_BT)⁴ c^-1.

Сопоставляя с теплоемкостью:

κ/σT~ (k_BT/e²)(k_BT/ω_D)³const(T)

Т.е., закон Видемана-Франца не выполняется.

    До сих пор мы рассматривали N-процессы, когда квазиимпульс сохраняется. При этом появляется дополнительный фактор Т² в сопротивлении, обусловленный преобладанием процессов рассеяния вперед. Это базируется на предположении, что электроны, находящиеся на уровнях с почти одинаковыми волновыми векторами, имеют почти одинаковые скорости. Однако, если поверхность имеет достаточно сложную форму и если возможно межзонное рассеяние, это предположение не выполняется. В таких случаях может происходить эффективное снижение эл. тока (увеличение эл. сопротивления), несмотря на то что изменение волнового вектора (но не скорости) мало в каждом из актов рассеяния, поэтому сопротивление может давать ~T^x, где х < 5.

Рис. 10.2. Переброс электронов вблизи брэгговской поверхности

    Один из примеров большого изменения скорости при малом изменении волнового вектора мы находим в том случае, когда поверхность Ферми почти свободных электронов близко подходит к брэгговской плоскости, рис. 10.2. Тогда достаточно малый волновой вектор q может соединять точки на поверхности Ферми, лежащие по разные стороны плоскости и электроны в этих точках имеют почти противоположно направленные скорости (эффект переброса Паерлса или U-процесс). Как уже отмечалось, что при низких температурах U-процессы в фонон-фононном рассеянии “вымерзает”. Однако, в электрон-фононном взаимодействии такие U-процессы имеют более широкий температурный интервал, поскольку энергия электрона >_F и выполнение закона сохранения квазиимпульса k₁ - k₂ - q = G с G0 (U-процесс) становится возможным при условии 2max(k_F) > G_min. Это условие не выполняется в щелочных металлах, и в других случаях, когда поверхность Ферми не достигает граней з.Б.

    С именем Р. Паерлса (R.E. Peierls) связан еще один возможный эффект, который, правда, еще не наблюдался. Паерлс обратил внимание, что при некоторых условиях сопротивление при низких температурах может падать быстрее, чем по закону Т⁵.
    При выводе закона Т⁵ предполагалось, что фононы находятся в состоянии теплового равновесия, тогда как в действительности при наличии тока распределение электронов имеет неравновесный характер, следовательно, за счет электрон-фононного рассеяния распределение также не будет равновесным.
    Если суммарный квазиимпульс объединенной электрон-фононной системы был отличен от нуля в начальный момент времени, то в отсутствие процессов переброса он оставался бы отличным от нуля во все последующие моменты времени, даже в отсутствие эл. поля и поэтому э-ф система не могла бы прийти в полное т-д равновесие. Вместо этого электроны и фононы совершали бы совместное дрейфовое движение, сохраняя отличные от нуля квазиимпульс и электрический ток.
    Металлы, свободные от дефектов, обладают конечной проводимостью только потому, что в них могут происходить процессы переброса. Именно, они уменьшают суммарный квазиимпульс и приводят к затуханию эл. тока в отсутствие Е. Если, однако, поверхность Ферми целиком помещается внутри 1-й з.Б., то существует минимальные волновой вектор, q_min, и энергия фонона, _min, ниже которых процессы переброса происходить не могут. Когда величина k_BT гораздо ниже такой энергии, число фононов, число фононов, способных участвовать в этих процессах, должно быть пропорциональным ехр(-_min/k_BT) и поэтому сопротивление:

.

При более внимательном рассмотрении можно получить (ААА.с.60)

 .

    Эффект фононного ветра не наблюдался, скорее всего из-за того что сопротивление при низких температурах определяется не зависящим от температуры вкладом рассеяния на дефектах (примесных атомах), см. Д3.
    Итак, для температурной зависимости сопротивления при низких Т: = c + aT² + bT⁵.
    При высоких температурах: =AT.
    Для электронной теплопроводности при низких Т: ^-1=dT + fT = gT².
    При высоких Т: =const

Д3. Оценка сечения рассеяния электронов на примесном атоме

    Пусть ион введен в решетку. Если n_e' - соответственное изменение электронной плотности, то уравнение Максвелла, определяющее изменение потенциала, имеет вид:

Соответственно энергия электрона Е становится Е - е, а хим. потенциал заменяется на + e, поскольку в распределении Ферми (1.17) энергия входит в комбинации Е -. Тогда изменение электронной плотности можно записать как

Уравнение Максвелла приобретает вид

Решение этого уравнения:

где - Ze - заряд иона, а параметр r_D^-1 - обратный дебаевский радиус, равный

    Итак, кулоновский потенциал примесного атома экранируется на расстояниях, больших дебаевского радиуса r_D = _D^-1 . По порядку величины имеем

_D = [4 e² (n_e = k_F³/3²) / (( E_F=²k_F/2m))]^1/2 [4e² k_F2m/3²]^1/2
k_F[me²/²k_F]^1/2 k_F[e²/v]^1/2 k_F

Т.е. _D k_F , или r_D 1/_D 1/ k_F a 10^-8 см.

“Изотопическое” рассеяние.

    Эксперимент показывает, что нельзя избавиться от конечного остаточного сопротивления в металле, если не очистить последний изотопически. Предположение о вкладе изотопов в сопротивление было сделано Померанчуком (1958).
    Какие изменения возникают в кристалле, если в узлах решетки находятся атомы с одинаковой электронной структурой, но с разными массами. Т.к. потенциальная энергия зависит от электронной структуры только, то она не меняется от присутствия изотопов. Однако кинетическая энергия ионов будет разной.
    Детальный анализ “изотопического” рассеяния дан в ААА, с.62. Схема рассуждения такова. Полная кин. эн. системы ионов может быть разделена на среднюю кин. энергию и добавку, зависящую от разностей масс:

= <>+ ₁.

Запишем эту добавку как сумму по всем атомам:

₁= Ѕ_i(M_i - <M>)u_i².

    Эта добавка рассматривается как возмущение, т.к. разница в массах является в малой. [N.B.: Обычно возмущение – это часть потенциальной энергии, а в данном случае – кинетической!]. Вероятность рассеяния за счет наличия изотопов:

1/_I ~ W ~ {<(M - <M>)²/M²} (m/M) (/)

Для свободного пробега ~ v ~10^-8 {M²/(M-<M>)²} (M/m), [см]. Для олова

<(M - <M>)²>/<M>² ~ 10^-3 и, след-но, ~ 10^-810^-310⁵ ~ 1 см. Это значение согласуется с экспериментальными данными.

    Рассмотренные механизмы рассеяния приводят к заключению, что при понижении т-ры сопротивление падает или (при низких температурах) остается постоянным. Однако, сопротивление некоторых немагнитных материалов, например, на основе золота, серебра, меди, алюминия и т.д., в присутствии магнитных примесей переходных элементов (Fe, Cr, Co, V) или редкоземельных (Ce, Yb, Tm) элементов, наблюдается обратный эффект, а именно, при понижении температуры проходит через минимум и затем растет. Эффект объяснил Кондо (1964). Эффект Кондо обусловлен антиферромагнитным обменным взаимодействием электронов проводимости немагнитных материала с электронами d- или f-оболочек магнитных примесей. Энергия взаимодействия электрона с такими атомами, помимо обычного члена _IV(r-R_i) содержит член, зависящий от спина электрона проводимости, , и примеси, S. Этот вклад во взаимодействие запишем в виде

U_s = -(J/n)∑_iσSδ(r-R_i).

Здесь σS = σ_xS_x+ σ_yS_y+ σ_zS_z, σ_k – матрицы Паули. Поскольку, спин S происходит от внутренних оболочек атомов, то взаимодействие считается точечным.
    Выражение для U_s соответствует физическому процессу рассеяния, при котором спин электрона может перевернуться с одновременным изменением ориентации спина примеси. (При рассеянии электрона на обычном атоме его спин сохраняет свою ориентацию). Коэффициент J имеет размерность энергии (n = N/V введено для нормировки). Как правило, J в несколько раз меньше электронных энергий (т.е. ), в то время как обычное взаимодействие электрона с примесным атомом, не зависящее от спина, имеет порядок . Анализ показывает, что вклад спинов обменного рассеяния может быть записан (ААА, с.65-69) в виде

ρ = ρ_v + ρ_J⁽⁰⁾[1-2(J/n)ν(μ)ln(μ/k_BT)],

где ρ_v – вклад обычного потенциального рассеяния, а второй член – спин-обменного, причем ρ_J⁽⁰⁾ – результат в первом борновском приближении.