Высокочастотная электропроводность металла

    Если на проводник действует переменное электрическое поле

то в модели Друде возникающий ток можно рассчитать, рассматривая уравнение движения электрона в переменном поле

Решение ищем в виде

Подставляя в (11.2) и приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что p() удовлетворяет уравнению

Так как j = -nep/m, плотность тока равна

или

где величина (), называемая высокочастотной проводимостью, дается выражением

Как и следовало ожидать при 0, это выражение переходит в формулу Друде.
    В данном подходе а) не учитывается действие магнитного поля электромагнитной волны, поскольку соответствующим добавочным членом -e/(mc)pхH в уравнении (11.2) можно пренебречь, т.к. v/c <~ 10^-10; б) не учитывается неоднородность электрического поля, резко затухающего с глубиной проникновения. Это допустимо, если длина волны электромагнитного излучения в материале >> - длины свободного пробега электрона. Если это условие нарушается, то необходимо использовать более сложные нелокальные теории.

Плазменная частота. Прозрачность щелочных металлов для УФ излучения

    При наличии некоторой плотности тока и в отсутствие наведенного заряда для немагнитного материала запишем уравнения Максвелла в виде:

Решение ищем с временной зависимостью типа exp(-it). Используем связь (11.6) для тока и электрического поля и взяв ротор от третьего уравнения (11.8) получим

Это уравнение имеет вид обычного волнового уравнения

с комплексной диэлектрической проницаемостью

Если частота достаточно велика, так что выполняется условие

то в первом приближении, исходя из (11.11) и полученного ранее выражения (11.7) для (), получаем

где величина _p , называемая плазменной частотой, определяется выражением

    Если - действительная отрицательная величина ( < _p), то уравнение (11.10) имеет лишь такие решения, которые экспоненциально спадают в пространстве, следовательно, в этом случае излучение не может распространяться. Если же - положительная величина ( >_p), то решение уравнения (11.10) представляет осциллирующей функцией, излучение может распространяться и металл должен быть прозрачным для такого излучения.
    Было обнаружено Вудом (Wood), что щелочные металлы действительно становятся прозрачными в УФ-диапазоне. Подставляя в (11.14) численные значения, для частоты и длины волны плазменных колебаний получаем

Эффект прозрачности щелочных металлов был объяснен Зинером (Zener).

    Из уравнения (11.13) вытекает еще одно важное следствие - возможность колебаний плотности заряда в электронном газе, т.е. колебаний, при которых плотность заряда ~ exp (-it). Из уравнения непрерывности

и закона Гаусса

и учитывая (11.6), мы получаем

Откуда

что точно совпадает с условием (11.13) для порога распространения э/м колебаний в веществе. В данном случае оно получается как условие, которому должна удовлетворять частота, чтобы волна плотности заряда, называемая плазмоном, могла распространяться. Более подробно о плазмонах мы будем говорить в курсе "Физика полупроводников и диэлектриков".

    Цвет металлов определяется зависимостью его коэффициента отражения, от частоты

где I_r , I₀ - интенсивности (энергия) отраженного и падающего света. Различие цвета меди, золота и алюминия указывает на то, что зависимость R() сильно меняется при переходе от одного металла к другому.
    В электродинамике сплошных сред (см. например, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика сплошных сред) выводится соотношение

где n и К - показатель преломления и коэффициент экстинкции, являются, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного коэффициента преломления, а именно,

    Зависимость от частоты комплексной диэлектрической проницаемости () в металлах диктуется зависимостью проводимости (), в соответствии с (11.11). Если подставить выражение (11.7) для () в приближении свободных электронов, то коэффициент отражения конкретного металла будет зависеть лишь от плазменной частоты и электронного времени релаксации. Этого явно недостаточно, чтобы объяснить реально наблюдаемую, достаточно резкую, структуру R().
    Недостаток модели свободных электронов заключается в том, что в ней столкновения являются единственным механизмом поглощения энергии. Поскольку металл непрозрачен для излучения с частотой ниже плазменной, то в отсутствие столкновений все падающее излучение должно было бы полностью отражаться. Излучение с >_p может проходить через металл и отражение уменьшается. Единственный эффект столкновений в этом случае состоит в том, что они сглаживают резкий переход от полного к частичному отражению. Из-за столкновений часть энергии, приобретаемой электронами от падающего излучения, преобразуется в тепловую энергию (например, ионов и примесей). Поскольку столкновения приводят к уменьшению отраженной энергии на всех частотах, то это не может приводить к резкой зависимости R().
    Для блоховских электронов возможно поглощение с переходом с уровня Е на уровень Е' = E + . Для свободных электронов такой процесс невозможен, поскольку при этом не соблюдается закон сохранения импульса p' = p + q, где q - импульс фотона. Для блоховских электронов должен соблюдаться закон сохранения квазиимпульса: k' = k + q + G, где G - один из векторов обратной решетке. Для видимого света
= 0.4-0.74 мкм, волновой вектор фотона q обычно имеет величину ~10⁵ см^-1, в то время как типичные размеры зоны Бриллюэна порядка k_F 10⁸ cм^-1, т.е. изменением волнового вектора при поглощении фотона можно пренебречь. При этом, однако, энергия электронов меняется на величину приблизительно нескольких эВ, то он должен перейти из одной зоны в другую с тем же волновым вектором, т.н. межзонные переходы.

Рис. 11.1.  (15.9 АМ)

    Межзонные переходы могут быть либо переходами из зоны проводимости на незанятые уровни более высокой (по отношению к уровню Ферми) зоны, либо переходами из занятых уровней нижней зоны на незанятые уровни на поверхности Ферми. В щелочных металлах заполненные зоны лежат гораздо ниже зоны проводимости, поэтому порог межзонных переходов определяется возбуждением электронов с уровня Ферми на более высокие уровни (см.рис.11.1)
    Поскольку поверхность Ферми в щелочных металлах очень близка к сфере свободных электронов, то энергетические зоны выше зоны проводимости также очень похожи на зоны свободных электронов, особенно для векторов k внутри поверхности Ферми, волновой вектор которой составляет k_F = 0.877 k₀, где k₀ = ГN - расстояние от центра до одной из граней зоны Бриллюэна, см. рис.11.1. Пороговая энергия фотонов, вызывающих межзонный переход, может быть оценена с помощью соотношения

Рис. 11.2 (15.10 АМ) Re[()] для 3-х щелочных металлов

    На рис. 11.2 изображена зависимость Re[σ(ω)] для 3-х щелочных металлов, определенные по измеренным коэффициентам отражения. В области низких частот происходит падение Re σ с увеличением , которое связано с поведением в соответствии с МСЭ и формулой (11.7)

Вблизи точки 0.64Е_F наблюдается рост Re[σ(ω)], что соответствует приведенной оценке в приближении почти свободных электронов.

Благородные металлы

Рис. 11.3 (15.11 АМ). Рассчитанная зонная структура меди

    Оптические свойства благородных металлов определяются наличием d-зон. На рис. 11.3 приведена рассчитанная зонная структура меди, включая наинизшие пустые зоны. Зонная структура близка к конфигурации, получаемой в МСЭ, как следует из сравнения верхнего и нижнего рисунков.

    Порог возбуждения электронов из зоны проводимости в вышележащую зону достигается в точке b (где "шейка " поверхности Ферми пересекает шестиугольную грань зоны Бриллюэна). Пороговая энергия составляет приблизительно 4 эВ. Электроны из d-зон могут, однако, переходить на незанятые уровни зоны проводимости и при более низких энергиях. Подобный переход происходит в той же точке b. Разность энергий при этом составляет приблизительно 2 эВ. Еще один, немного более низкочастотный переход происходит в точке a.
    Измеренный коэффициент поглощения в меди действительно возрастает примерно при 2 эВ. Следовательно, красноватый цвет меди непосредственно определяется довольно низким порогом возбуждения электронов d-зоны в зону проводимости. Действительно, энергия 2 эВ приходится на оранжевую часть видимого спектра.