Квазиклассический подход к динамике блоховских электронов

    Итак, на предыдущих лекциях мы познакомились с квантомеханическим подходом к описанию поведения электрона в периодическом поле решетки Браве. Мы узнали также какими методами решается уравнение Шредингера для электронов, волновая функция которых удовлетворяет условию Блоха. Тем самым мы знаем, каким образом можно определить собственную волновую функцию и собственные значения энергии электрона, а точнее, зависимость энергии от квазиимпульса где n - номер зоны. В основном состоянии электроны заполняют наинизшие энергетические состояния вплоть до энергии Ферми E_F(k), значение которой также зависит от направления квазиимпульса. Тем самым в k-пространстве формируются эквиэнергетические поверхности, одна из которых - есть поверхность Ферми.
    Мы убедились в том, что эти задача отыскания собственных волновых функций Ψ_n,k и зависимости Е_n(k) не решается легко. При этом решетка предполагалась идеальной и жесткой, а внешние поля отсутствовали. Однако, именно поведение материала во внешних электрических, магнитных, тепловых полях или под действием механических сил представляет наибольший практический интерес. Естественно, что внешние поля усложняют и без того сложное описание кристаллов в рамках квантовой механики. Оказалось, что многие свойства кристаллов можно описать, сделав пол-шага назад, а именно, применив квазиклассический подход.

Основные положения квазиклассической модели. Электроны как волновые пакеты. Уравнения движения во внешних полях.

    В классической механике электрон обладает траекторией, т.е. помимо энергии, в данный момент времени - координату и производные координаты по времени - скорость/импульс, ускорение и т.д.. Это, естественно, предполагалось в теории Друде. В теории Зоммерфельда утверждалось также, что для расчета динамического поведения электронов можно пользоваться обычными уравнениями классической механики, если только не требуется описывать местоположение электрона с точностью порядка межэлектолнных расстояний. Т.е., в промежутках между столкновениями, частица с импульсом hk подчиняется уравнениям:

(здесь и далее - в системе CGS, в системе СИ - нужно убрать фактор 1/c перед v). Для оправдания квазиклассического подхода с точки зрения квантовой механики можно сказать, что уравнения (4.1) в действительности описывают поведение волнового пакета, составленного из уровней свободных электронов с волновыми векторами k' :

где r и k -средние координата и квазиимпульс, вблизи которых сосредоточен волновой пакет
(с учетом xk > 1, согласно с принципом неопределенности). В теории Блоха состояние электрона характеризуется волновой функцией _n,k(r,t), соответствующей заданной зоне n и волновому вектору k. Волновой пакет блоховских электронов можно определить аналогично в. пакету свободных электронов:

Пусть ширина пакета по волновым векторам k мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна и поэтому E_n(k) мало меняется для уровней, входящих в волновой пакет. Тогда групповая скорость пакета будет равна

что совпадает со скоростью электронов в блоховском состоянии с волновой функцией _n,k (см. Приложение Д в АМ):

Поскольку  k мало по сравнению с зоной Бриллюэна, k << 1/a, то размер волнового пакета в конфигурационном пространстве

т.е. в. пакет “размазан” по большому числу элементарных ячеек в реальном пространстве. Полуклассическая модель описывает воздействие на электроны полей, которые медленно меняются на длине волнового пакета, и, стало быть гораздо медленней на межатомном расстоянии, т.е.  >> R >> a. (4.6)

1. Схема зонных уровней E_n(k) - известна. Модель применяется для расчетов кинетических коэффициентов (реакции электронов на внешние поля) по заданной (уже вычисленной) зонной структуре, а также для определения свойств зонной структуры по наблюдаемым кинетическим характеристикам. Электрон проводимости - классическая частица со сложным законом дисперсии. При движении во внешних полях E_n(k)играет роль кинетической энергии.
2. Номер зоны - интеграл движения. Возможностью межзонных переходов пренебрегается.
3. Изменение со временем координаты и волнового вектора с данным номером зоны n определяется уравнениями движения:

4. Наборы n,r,k и n,r,k+G описывают один и тот же электрон.

Траектория электрона в присутствии магнитного поля В 0.

В присутствии магнитного поля уравнения движения будут:

Т.е. в k-пространстве электрон будет двигаться  -но вектору магнитного поля и градиенту энергии, следовательно, вдоль поверхности E_n = const (т.к. dE/dk E-поверхности). Т.о. в присутствии магнитного поля Ферми-электрон будет двигаться все время по этой Ферми поверхности.
    Какова проекция орбиты на плоскость -ную В в r-пространстве? Запишем нормальную составляющую координаты в виде r = r - b(br), где b = B/|B|. Умножим (4.8б) векторно на b. Получим

После интегрирования получим:

Т.е. проекция орбиты в r-пространстве есть та же орбита в k-пространстве, повернутая на 90⁰ вокруг направления поля, причем размеры орбиты масштабированы с фактором c/eB.

Рис. 4.1. Электронные a), дырочные б) и открытые в) орбиты

    Для электронов в магнитном поле на поверхности Ферми возможны 3 типа орбит: электронные, дырочные и открытые орбитали. На рис. 4.1. изображены схематично траектории электронов в 1-й зоне Бриллюэна в магнитном поле, перпендикулярном плоскости чертежа. Замкнутые траектории могут охватывать заполненную (рис.4.1а) и "пустую" (рис.4.1б) область. Градиент энергии направлен в сторону незаполненной области, т.е. в первом случае наружу, а во втором случае внутрь замкнутой траектории. Соответственно ур. (4.8б), направление движения в первом и во втором случае противоположны, что можно представить как движение частиц с противоположным знаком заряда. Поэтому, траектории типа рис. 4.1а и рис. 4.1б, называют, соответственно, "электроноподобные" и "дыркоподобные", или просто электронные и дырочные орбиты.
    В отличие от предыдущих, траектории типа изображенных на рис. 4.1в не замкнуты 1-й зоной Бриллюэна, это т.н. открытые траектории. При достижении точки В на границе 1-й з.Б., частица перемещается в точку А, и движение повторяется.

    В r-пространстве. Из электродинамики известно, что полный (или обобщенный) импульс частицы р может быть представлен в виде суммы кинетического р_кин и потенциального р_пот слагаемых:

где

где q-заряд, А - вектор потенциал, который удовлетворяет ур-ю

Следуя полуклассическому подходу Онсагера и Лифшица, мы полагаем, что орбиты в магнитном поле квантуются в соответствии с правилом квантования Бора-Зоммерфельда:

где n-целое, g =1/2 - (коррекция фаз). Тогда,

Интегрируя (4.8б), с точностью до константы имеем

Отсюда и из (4.10в) для 1-го слагаемого в правой части (4.12) имеем:

где Ф - магнитный поток через площадь, ограниченную орбитой. Для второго слагаемого

Отсюда сумма

Т.о. орбита электронов квантуется т.о., что поток через нее равен

где (2c/e) = 4.14 10^-7 Гс·см² (или 4.14·10^-15 Т·м²) -квант магнитного потока (заметим, что в литературе также используется обозначение Ф₀ = Ѕ (2c/e)=2.0710^-15 Т·м², соответствующее минимальному потоку при n = 0 в (4.17)).

Квантование в k-пространстве. Учитывая фактор масштабирования в (4.9) имеем:

 r = (c/eB)k, и, соответственно, площадь A_n, охватываемая контуром в r-пространстве, соотносится с площадью S_n в k-пространстве:

Отсюда: Ф_n = BdA_n = BA_n = (c/eB)² S_n/B = (n + )(2c/e)

Одинаковая площадь S в k-пространстве на поверхности Ферми будет для двух последовательных значений магнитного поля:

Равные инкрименты 1/B соответствуют подобным орбитам! Соотношение (4.20) получил Онсагер (1952), он же показал, что S - площадь экстремальной орбиты (подробнее - в следующей лекции). Это объясняет наблюдаемые осцилляторные эффекты при низких температурах в электросопротивлении, магнитной восприимчивости, теплоемкости при изменении магнитного поля (см. следующую лекцию).

Уровни Ландау для свободных электронов в магнитном поле (Ландау, 1930, 1969).

    Пусть имеем образец, помещенный в магнитное поле, направленное вдоль оси z перпендикулярно торцу с квадратным сечением. Волновые векторы имеют дискретные разрешенные значения k_i = 2n_i /L, где L - сторона квадрата. Площадь, занимаемая орбитой, в плоскости k_xk_y -плоскости, составляет (2 /L)² (спином пренебрегаем). Площадь между соседними орбитами:

Отсюда, число электронных орбит, которые вырождены в один магнитный уровень (рис.4.2в):

Рис. 4.2. Уровни Ландау

где = eL²/(2c). Такой (вырожденный) магнитный уровень называется уровнем Ландау. Рис.4.2 иллюстрирует описанный процесс формирования уровней Ландау. При В0 движение электронов в поперечной (по отношению к В) k-плоскости ограничено окружностью (рис.4.2б). Площадь колец между соседними окружностями удовлетворяет (4.21), т.е. при фиксированном поле не зависит от n. Число разрешенных состояний (орбиталей) на окружности равно площади между кольцами, умноженной на число орбиталей на единицу площади, что дает (4.22).

    В соответствии с классической механикой движения заряда в магнитном поле, приравнивая центростремительную силу силе Лоренца mv²/r = evB/c, где v - нормальная к B составляющая скорости электрона, а r - радиус орбиты, получаем для частоты кругового движения (т.н. циклотронной частоты)

В квазиклассическом приближении, движение электрона в магнитном поле представляется как колебание осциллятора с частотой _c. Соответственно, энергия такого осциллятора квантуется с образованием равноотстоящих уровней

Энергетический спектр свободных электронов при В = 0 перераспределяется по магнитным уровням Ландау при В0 как показано на рис. 4.2в.

    Траектории блоховских электронов не являются окружностью, однако, правила квантования (4.20, 21, 22) остаются в силе. Это позволяет использовать их для исследования поверхности Ферми в реальных кристаллах. Другое отличие: - в выражении для циклотронной частоты (4.23), эффективная масса блоховской частицы (электрона или дырки), m*, может отличаться от массы свободного электрона. В общем случае из уравнений движения (4.7) следует, что ускорение, приобретаемое частицей в поле сил

Т.е. обратная эффективная масса

в общем случае является тензором, зависящим от k:

Так что циклотронная частота в общем виде определяется соотношением

Дополнительная литература

• АМ, Гл.12.
• Onsager L., Phil. Mag., 43, 1006 (1952)
• Ландау Л.Д., Zs. Phs., 64, 629 (1930), Собрание трудов, М., Наука, 1969, т.1., стр.47