1. Особенности электронных и фононных спектров

Плотность электронных уровней в периодическом потенциале. Как следует из (6.56) плотность электронных состояний в теории свободных электронов Зоммерфельда:

g(E) = 3/2 n/Ef (E/Ef)1/2

(7.1)

Для электронов Блоха:

g(E) = sumn gn(E), где gn(E) = integralпо 1й з.Б.dk/4pi3 delta(E-En(k)).

(7.2)

Рис. 7.1
Рис.7.1. Пояснение к выводу уравнения (7.5)

    Пусть Sn(E) -площадь поверхности En(k) = E, которая лежит внутри данной элементарной ячейки, а delta(k) - некоторое бесконечно малое расстояние по нормали (рис. 7.1). Тогда

gn(E) = integralSn dS/4pi3delta(k).

(7.3)

Заметим, что kEn(k) - есть вектор перпендикулярный Sn(E).

E + dE = E + dE/dk delta(k) -----> delta(k) = dE/ |kEn(k)|.

(7.4)

Тогда

gn(E) = integralSn dS/4pi3 1/|kEn(k)|.

(7.5)

Сингулярности Ван Хова (van Hove singularities)

Рис. 7.2
Рис.7.2. Особенности Ван Хова

    Поскольку En(k) периодична в обратной решетке и при каждом значении n ограничена сверху и снизу, а, кроме того, в общем случае всюду дифференцируема, то отсюда следует, что в каждой элементарной ячейке должны быть такие k, в которых
|kEn(k)| = 0. Это может быть локальный максимум или минимум (рис.7.2). В 3-х мерном случае особенность в (7.5) интегрируема, но dgn/dE -----> infin, а gn(E) испытывает изломы в особенностях Ван Хова. Физические свойства металлов при низких температурах испытывают аномалии в точках kEn(k) = 0. Это легко понять, воспользовавшись разложением Зоммерфельда (6.57), куда производные по энергии входят во все члены, за исключением первого.

Плотность фононных уровней

    При вычислении средних величин, типа теплоемкости,

<Q> = 1/V sumks Q(omega(k,s) = sumsintegraldk/(2pi)2 Q(omegas(k))

(7.6)

аналогично процедуре для электронных уровней, возникает вопрос о плотность нормальных мод или плотность фононных уровней, возбужденной решетки, через которую такое вычисление производится

<Q> = integraldomega g(omega) Q(omega),

(7.7)

где

g(omega) = sums integraldk/(2pi)2 delta (omega -omegas(k))

(7.8)

число нормальных мод на единицу объема. После преобразований, аналогичных плотности электронных состояний gе(omega), имеем

g(omega) = sums integralпо 1й з.Б. dS/(2pi)2 1/|kEn(k)|.

(7.9)

    Интеграл берется по 1-й зоне Бриллюэна, на которой omegas(k) = omega. При |komegas(k)| = 0 получаем знакомые нам сингулярности Ван Хова. Неизбежность таких сингулярностей обусловлена периодичностью и ограниченностью omega s(k). Пример приведен на рис. 7.3. Плотность уровней в приближении Дебая можно получить, используя линейный закон дисперсии и считая, что все волновые векторы нормальных мод в (7.8) ограничены сферой k < kD:

g(omega ) = sums integralk<kD dk/(2pi)2 delta(omega - vk) =

3/2pi2omega2/v3, omega < omegaD = vkD,

(7.10)

0, omega >omegaD
Рис. 7.3aРис. 7.3b
Рис. 7.3. Фононная плотность уровней в алюминии (из результатов по рассеянию нейтронов [Анималу]), (а), и разложение (качественное) фононного спектра на моды [AM], (б)

   Выбор kD осуществляется таким образом, что площадь под кривой gD (omega) будут иметь такую же величину, как и под реальной кривой.
    Аналогичным образом, модель Эйнштейна для оптических ветвей соответствует аппроксимации

g(omega) = sums integralпо 1-й з.Б. dk/(2pi)2 delta(omega - omegaE) = ndelta(omega -omegaE)

(7.11)

Экспериментальные методы определения фононного спектра

    Для экспериментального исследования дисперсии нормальных мод omegas(k) используются, в основном, рассеяние нейтронов и фотонов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (поглощением) фононов. Измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения.

Рис. 7.4
Рис.7.4. Схема эксперимента по рассеянию нейтронов с использованием 3-х осного спектрометра [Анималу]

Рассеяние нейтронов

    Схема эксперимента приведена на рис. 7.4. Предположим, что до рассеяния кристалл находился в состоянии с фононными числами заполнения nks (т.е. присутствует nks фононов типа ks), а после рассеяния в состоянии n'ks. В силу закона сохранения энергии должно выполняться соотношение

E' - E = - sumksh/omegaksdeltanks ,
deltanks = n'ks - nks

(7.12а)

Соответственно, для импульса нейтронов

p' - p = - sumksh/kdeltanks + h/G

(7.12б)

где G - произвольный вектор обратной решетки. Величина h/k - называется квазиимпульсом фонона.
    Обычно используют медленные ("холодные") нейтроны с энергией ~ тепловых, т.е. 10-3 - 10-1 эВ. Полезно запомнить соответствие между энергией и волновым вектором нейтрона En = (h/q)2/2mn . Если волновой вектор нейтрона q = 10n 1/см, то En = 2.07·102n-19 эВ, т.е. волновому вектору на границе 1-й з.Б. q ~ 108 1/см соответствует область холодных нейтронов En = 2·10-3 эВ. Поскольку энергия фононов тоже neaeqv10-3 эВ, то испускание/поглощение фонона существенно изменяет энергию нейтрона.

Бесфононное, однофононное и двухфононное рассеяние.

    В случае бесфононного рассеяния - процесс является упругим, энергия не изменяется, а квазиимпульс может измениться на величину h/G. А именно:

p = h/q p' = h/q' q' = q q' = q + G.

(7.13)

Это полностью совпадает с условиями Лауэ для рассеяния рентгеновского излучения. Т.е. упруго рассеянные нейтроны могут быть обнаружены только лишь в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга и дают в точности ту же информацию о структуре кристалла, как и упруго рассеянные рентгеновские лучи.

При однофононном рассеянии

E’ = E + omegas(k), p' = p + h/k + h/G.

(7.14a)

где "+" соответствует поглощению, а "-" - испусканию фонона. Кроме того:

En = p2/2mn, E'n = p' 2/2mn

(7.14б)

    При фиксированном направлении импульса p' для данной энергии рассеянных нейтронов с использованием (7.14) определяется как частота, так и волновой вектор нормальной моды. Таким образом получается точка в фононном спектре. Варьируя энергию и направление детектирования восстанавливают весь фононный спектр. Возникает, однако, трудность, связанная с вкладом двухфононных и многофононных процессов. Уже в двухфононном процессе возникает дополнительный канал, связанный с испусканием/поглощением 2-го фонона и обуславливающий плавный фон в энергетическом спектре, на котором базируются пики однофононного рассеяния (рис.7.5). Эти пики необходимо отделить от вкладов двух- и многофононного рассеяния для определения плотности фононных состояний g(omega). Ширина однофононных пиков Г, связанная со временем жизни фонона tau = h//Г, т.е. с распадом конкретного фононного возбуждения на другие фононные состояния, содержит важную информацию об ангармонизме динамики решетки.

Рассеяние электромагнитного излучения

    Рассеяние фотонов описывается теми же законами сохранения, что и нейтронов. Однако, количественное соотношение между энергией и импульсом у фотонов совсем другое. При q = 10n 1/cм -----> Eγ = 1.97·10 n-5 эВ, т.е при q = 108 1/cм -----> Eγ  neaeqv 2·103 эВ (рентгеновский диапазон), что на 6 порядков больше, чем типичная энергия фононов (neaeqv10-3 эВ). Так что спектрометрия неупругого рассеяния фотонов на фононах относится к разряду достаточно сложных задач. Тем не менее, основанные на этом методы исследования фононных спектров достаточно распространены, ввиду большей доступности (дешевизны).

Измерение фононных спектров с помощью рассеяния рентгеновского излучения.

    Ввиду трудности получения необходимого разрешения по энергии (neaeqv10-3 эВ) , характерная структура однофононных процессов оказывается утерянной и их вклада в полное излучение, рассеянное под произвольным углом, уже нельзя отличить от вклада многофононных процессов. Обычно вклад многофононного спектра пытаются учитывать теоретически. Дополнительная трудность связана с достаточно интенсивным взаимодействием фотонов с электронами, т.н. "комптоновский" фон.

Измерение фононных спектров с помощью рассеяния света в видимом и инфракрасном диапазоне.

Рис. 7.6a
fig07_06b.gif (3445 bytes)
Рис. 7.6 а) Типичный пример спектров мандельштам-бриллюэновского рассеяния. Видны один пик рассеяния на продольных фононах (LA) и два пика рассеяния на поперечных фононах (TA1,2)[по АМ]. б) Пример мандельштам-рамановского рассеяния

    Изменение энергии оптических квантов (получаемых с помощью лазеров достаточно высокой интенсивности), связанное с рассеянием на фононах, также мало. Однако, это изменение удается измерить, например, с помощью интерференционных методов. Поэтому вклад однофононных процессов в рассеянном свете можно выделить. Поскольку, при длине волны лазерного излучения ~1мкм -----> Eγ = h/omega ~ 1эВ. Соответственно,
|q| = Eγ/h/c neaeqv 0.5·105 1/см << размеров 1-й з.Бр (~ 108 1/см). Поэтому информацию удается получить лишь о фононах вблизи точки k = 0. Процесс называют мандельштам-бриллюэновским рассеянием (в международной литературе чаще - Brillouin scattering), когда испускается или поглощается акустический фонон, и мандельштам-рамановским рассеянием (в международной литературе чаще - Raman scattering), когда этот фонон относится к оптической ветви.
    Необходимо иметь в виду, что волновые векторы фотонов внутри кристалла отличаются от своих значений в вакууме множителем 1/n, где n- показатель преломления кристалла. Т.е. законы сохранения выглядят как

Eγ' = Eγ + h/omegas(k).

(7.15а)

h/nq' = h/nq + h/k + h/G (7.15б)

Знак "+" относится к поглощению фонона (антистоксовская компонента), знак "-" связан с испусканием фонона (стоксовская компонента). Поскольку q и q' малы по величине по сравнению с з.Б., для волновых векторов фононов k, лежащих в 1-й з.Б., з-н сохранения квазиимпульса может быть выполнен при условии |G| = 0. Поскольку энергия фононов не превышает h/omegaD neaeqv10-2 эВ, то энергия фотона меняется мало и поэтому треугольник "nq - nq' - k" является практически равнобедренным. Отсюда следует, что абсолютная величина |k| волнового вектора фонона связана с угловой частотой света и углом рассеяния phi соотношением

k = 2nq sin phi/2 = 2n /c sin phi/2

(7.16)

    В случае мандельштам-бриллюэновского рассеяния в процессе участвует акустический фононов с волновым вектором вблизи начальной точки в k-пространстве, а зависимость omegas(k) = vs(k)k. Тогда соотношение (7.16) можно переписать в виде зависимости скорости звука от угла рассеяния и сдвига частот

k = omegas /v = 2n /c sin phi/2 -----> v = c/2nomegas/ 1/sin phi/2

или v = c/2n delta/ cosec phi/2.

(7.17)

    Примеры спектров мандельштам-бриллюэновского и мандельштам-рамановского рассеяния приведены на рис. 7.6.


[Содержание]

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru