1. Особенности электронных и фононных спектров

Плотность электронных уровней в периодическом потенциале. Как следует из (6.56) плотность электронных состояний в теории свободных электронов Зоммерфельда:

Для электронов Блоха:

Рис.7.1. Пояснение к выводу уравнения (7.5)

    Пусть S_n(E) -площадь поверхности E_n(k) = E, которая лежит внутри данной элементарной ячейки, а (k) - некоторое бесконечно малое расстояние по нормали (рис. 7.1). Тогда

Заметим, что _kE_n(k) - есть вектор перпендикулярный S_n(E).

Тогда

Сингулярности Ван Хова (van Hove singularities)

Рис.7.2. Особенности Ван Хова

    Поскольку E_n(k) периодична в обратной решетке и при каждом значении n ограничена сверху и снизу, а, кроме того, в общем случае всюду дифференцируема, то отсюда следует, что в каждой элементарной ячейке должны быть такие k, в которых
|_kE_n(k)| = 0. Это может быть локальный максимум или минимум (рис.7.2). В 3-х мерном случае особенность в (7.5) интегрируема, но dg_n/dE , а g_n(E) испытывает изломы в особенностях Ван Хова. Физические свойства металлов при низких температурах испытывают аномалии в точках _kE_n(k) = 0. Это легко понять, воспользовавшись разложением Зоммерфельда (6.57), куда производные по энергии входят во все члены, за исключением первого.

Плотность фононных уровней

    При вычислении средних величин, типа теплоемкости,

аналогично процедуре для электронных уровней, возникает вопрос о плотность нормальных мод или плотность фононных уровней, возбужденной решетки, через которую такое вычисление производится

где

число нормальных мод на единицу объема. После преобразований, аналогичных плотности электронных состояний g_е(), имеем

    Интеграл берется по 1-й зоне Бриллюэна, на которой _s(k) = . При |_ks(k)| = 0 получаем знакомые нам сингулярности Ван Хова. Неизбежность таких сингулярностей обусловлена периодичностью и ограниченностью _s(k). Пример приведен на рис. 7.3. Плотность уровней в приближении Дебая можно получить, используя линейный закон дисперсии и считая, что все волновые векторы нормальных мод в (7.8) ограничены сферой k < k_D:

g( ) = s k<kD dk/(2)2 ( - vk) =	3/222/v3, < D = vkD,	(7.10)
	0, >D

Рис. 7.3. Фононная плотность уровней в алюминии (из результатов по рассеянию нейтронов [Анималу]), (а), и разложение (качественное) фононного спектра на моды [AM], (б)

   Выбор k_D осуществляется таким образом, что площадь под кривой g_D () будут иметь такую же величину, как и под реальной кривой.
    Аналогичным образом, модель Эйнштейна для оптических ветвей соответствует аппроксимации

Экспериментальные методы определения фононного спектра

    Для экспериментального исследования дисперсии нормальных мод _s(k) используются, в основном, рассеяние нейтронов и фотонов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (поглощением) фононов. Измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения.

Рис.7.4. Схема эксперимента по рассеянию нейтронов с использованием 3-х осного спектрометра [Анималу]

Рассеяние нейтронов

    Схема эксперимента приведена на рис. 7.4. Предположим, что до рассеяния кристалл находился в состоянии с фононными числами заполнения n_ks (т.е. присутствует n_ks фононов типа k_s), а после рассеяния в состоянии n'_ks. В силу закона сохранения энергии должно выполняться соотношение

Соответственно, для импульса нейтронов

где G - произвольный вектор обратной решетки. Величина k - называется квазиимпульсом фонона.
    Обычно используют медленные ("холодные") нейтроны с энергией ~ тепловых, т.е. 10^-3 - 10^-1 эВ. Полезно запомнить соответствие между энергией и волновым вектором нейтрона E_n = (q)²/2m_n . Если волновой вектор нейтрона q = 10ⁿ 1/см, то E_n = 2.07·10^2n-19 эВ, т.е. волновому вектору на границе 1-й з.Б. q ~ 10⁸ 1/см соответствует область холодных нейтронов E_n = 2·10^-3 эВ. Поскольку энергия фононов тоже 10^-3 эВ, то испускание/поглощение фонона существенно изменяет энергию нейтрона.

    В случае бесфононного рассеяния - процесс является упругим, энергия не изменяется, а квазиимпульс может измениться на величину G. А именно:

Это полностью совпадает с условиями Лауэ для рассеяния рентгеновского излучения. Т.е. упруго рассеянные нейтроны могут быть обнаружены только лишь в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга и дают в точности ту же информацию о структуре кристалла, как и упруго рассеянные рентгеновские лучи.

При однофононном рассеянии

где "+" соответствует поглощению, а "-" - испусканию фонона. Кроме того:

    При фиксированном направлении импульса p' для данной энергии рассеянных нейтронов с использованием (7.14) определяется как частота, так и волновой вектор нормальной моды. Таким образом получается точка в фононном спектре. Варьируя энергию и направление детектирования восстанавливают весь фононный спектр. Возникает, однако, трудность, связанная с вкладом двухфононных и многофононных процессов. Уже в двухфононном процессе возникает дополнительный канал, связанный с испусканием/поглощением 2-го фонона и обуславливающий плавный фон в энергетическом спектре, на котором базируются пики однофононного рассеяния (рис.7.5). Эти пики необходимо отделить от вкладов двух- и многофононного рассеяния для определения плотности фононных состояний g(). Ширина однофононных пиков Г, связанная со временем жизни фонона = /Г, т.е. с распадом конкретного фононного возбуждения на другие фононные состояния, содержит важную информацию об ангармонизме динамики решетки.

Рассеяние электромагнитного излучения

    Рассеяние фотонов описывается теми же законами сохранения, что и нейтронов. Однако, количественное соотношение между энергией и импульсом у фотонов совсем другое. При q = 10ⁿ 1/cм E_γ = 1.97·10 ^n-5 эВ, т.е при q = 10⁸ 1/cм E_γ  2·10³ эВ (рентгеновский диапазон), что на 6 порядков больше, чем типичная энергия фононов (10^-3 эВ). Так что спектрометрия неупругого рассеяния фотонов на фононах относится к разряду достаточно сложных задач. Тем не менее, основанные на этом методы исследования фононных спектров достаточно распространены, ввиду большей доступности (дешевизны).

    Ввиду трудности получения необходимого разрешения по энергии (10^-3 эВ) , характерная структура однофононных процессов оказывается утерянной и их вклада в полное излучение, рассеянное под произвольным углом, уже нельзя отличить от вклада многофононных процессов. Обычно вклад многофононного спектра пытаются учитывать теоретически. Дополнительная трудность связана с достаточно интенсивным взаимодействием фотонов с электронами, т.н. "комптоновский" фон.

Рис. 7.6 а) Типичный пример спектров мандельштам-бриллюэновского рассеяния. Видны один пик рассеяния на продольных фононах (LA) и два пика рассеяния на поперечных фононах (TA1,2)[по АМ]. б) Пример мандельштам-рамановского рассеяния

    Изменение энергии оптических квантов (получаемых с помощью лазеров достаточно высокой интенсивности), связанное с рассеянием на фононах, также мало. Однако, это изменение удается измерить, например, с помощью интерференционных методов. Поэтому вклад однофононных процессов в рассеянном свете можно выделить. Поскольку, при длине волны лазерного излучения ~1мкм E_γ = ~ 1эВ. Соответственно,
|q| = E_γ/c 0.5·10⁵ 1/см << размеров 1-й з.Бр (~ 10⁸ 1/см). Поэтому информацию удается получить лишь о фононах вблизи точки k = 0. Процесс называют мандельштам-бриллюэновским рассеянием (в международной литературе чаще - Brillouin scattering), когда испускается или поглощается акустический фонон, и мандельштам-рамановским рассеянием (в международной литературе чаще - Raman scattering), когда этот фонон относится к оптической ветви.
    Необходимо иметь в виду, что волновые векторы фотонов внутри кристалла отличаются от своих значений в вакууме множителем 1/n, где n- показатель преломления кристалла. Т.е. законы сохранения выглядят как

Eγ' = Eγ + s(k).	(7.15а)
nq' = nq + k + G	(7.15б)

Знак "+" относится к поглощению фонона (антистоксовская компонента), знак "-" связан с испусканием фонона (стоксовская компонента). Поскольку q и q' малы по величине по сравнению с з.Б., для волновых векторов фононов k, лежащих в 1-й з.Б., з-н сохранения квазиимпульса может быть выполнен при условии |G| = 0. Поскольку энергия фононов не превышает _D 10^-2 эВ, то энергия фотона меняется мало и поэтому треугольник "nq - nq' - k" является практически равнобедренным. Отсюда следует, что абсолютная величина |k| волнового вектора фонона связана с угловой частотой света и углом рассеяния соотношением

    В случае мандельштам-бриллюэновского рассеяния в процессе участвует акустический фононов с волновым вектором вблизи начальной точки в k-пространстве, а зависимость _s(k) = v_s(k)k. Тогда соотношение (7.16) можно переписать в виде зависимости скорости звука от угла рассеяния и сдвига частот

    Примеры спектров мандельштам-бриллюэновского и мандельштам-рамановского рассеяния приведены на рис. 7.6.