Электрические свойства. Основы теории рассеяния

Вспомним. Электропроводность в теории Друде: j = s E; s = ne² /m; = v; где средняя скорость

З-н Видемана-Франца /Т = 3/2 (k_B/e)² = 1.11 10^-8 Вт/(омК²)

В теории Зоммерфельда, вместо средней скорости v = (3k_BT/m)^1/2 в качестве типичной скорости электрона берется скорость на поверхности (сфере) Ферми v_F = (/m)k_F ; k_F = (3²n)^1/3 = 0.363/(r_s/a₀)1/nm; r_s = (3/(4n))^1/3 . В основе же сохраняется подход Друде и, в частности Формула для s .

В теории Блоха - блоховские уровни = стационарные решения уравнения Шредингера в присутствии периодического потенциала ионов. Когда электрон в состоянии _nk имеет отличную от нуля среднюю скорость v_n(k) = (1/)N_kE_n(k), то эта скорость сохраняется неограниченно долго. Сопротивления движению электронов в теории Блоха нет и проводимость .

Конечное сопротивление кристаллов связано с процессами рассеяния электронов на фононах, электронах, дефектах, торцах образцов. Это не учитывается в теории Блоха.

Приближение времени релаксации (-приближение).

1. Будем считать, что вероятность столкновений за dt равна dt/.
2. Частота столкновений = (время релаксации)^-1, в общем случае зависит от пространственных координат, в. вектора и номера зоны, т.е. = _n(r,k).
3. Столкновения приближают систему электронов к локальному т/д. равновесию.
4. Распределение электронов через некоторое время после столкновений не зависит от вида неравновесной функции распределения g_n(r,k,t) непосредственно перед столкновениями.
5. Равновесное распределение электронов соответствует локальным температуре T(r)
   и хим. потенциалу (r)

Ввиду 4) изменение dg_n(r,k,t) не зависит от конкретного вида полной неравновесной функции распределения g_n(r,k,t). Поэтому достаточно найти dg при каком-то одном виде функции g, т.е. можно взять равновесную функцию:

Это уравнение и есть математическая формулировка приближения времени релаксации!!!
    Пусть, далее, r_n(t'), k_n(t') - решение полуклассических уравнений движения для электронов n-ной зоны, которые при t' = t проходят через точку r,k:

Предположим далее, что в момент t, электрон находился в элементе объема drdk около точки (r,k), а его последнее столкновение до момента t произошло в интервале времени от t' до t'+dt'. В результате этого столкновения электрон должен оказаться в объеме dr'dk' с центром в r_n(t'),k_n(t'), поскольку после момента t' его движение полностью детерминировано уравнениями движения, которые, согласно нашим условиям, должны привести его в точку r,k. Согласно приближению времени релаксации, полное число электронов, приходящих в результате столкновения в элемент объема dr'dk' точки r_n(t'),k_n(t') за время от t' до t'+dt', равно

(согласно теореме Лиувиля dr'dk' = drdk). Из этих электронов лишь доля P_n(r,k,t;t') действительно "выживет" в течение интервала времени от t' до t, не испытав при этом никаких столкновений.

Сравнивая с (9.2), получаем

Это выражение перепишем, введя сокращенные обозначения

Величина P(t;t') - относительное число электронов в зоне n, которые движутся по траектории, проходящей в момент t через r,k, не испытывая столкновений в промежутках времени от t' до t. Относительное число электронов, "доживших" от t' до t, меньше относительного числа электронов, выживших от t'+dt' до t, на фактор (1 - dt'/(t')). Поэтому,

В пределе dt' 0, отсюда получаем диф. уравнение

Решение имеет вид:

Частный случай. Если зависит от волнового вектора только через энергию E_n(k), то , в магнитном поле, поскольку энергия сохраняется, (t') = const и, следовательно,

Воспользовавшись уравнением (9.11), функцию распределения (9.9) можно записать

Если проинтегрировать (9.14) по частям, используя условие P(t,t)=1 и P(t,-) = 0 (без столкновения электрон не может жить долго), то получаем

т.е. функция распределения есть сумма локально-равновесного распределения и поправочного членов.
    Чтобы найти производную по времени от функции g⁰ , заметим, что
g⁰ = g⁰(E(k_n(t')),T(r_n(t')),μ(r_n(t')), поэтому

Воспользовавшись уравнениями движения

получаем

где f - фермиевская функция для локальных температуры и хим. потенциала.

    Более строгий подход не должен опираться на приближение времени релаксации, поскольку последнее предполагает, что форма неравновесной электронной функции распределения не оказывает никакого влияния ни на частоту столкновений данного электрона, ни на распределение электронов после столкновения. Конечно, эти предположения неправильны. Даже в приближении свободных электронов действует принцип Паули. Так что к результатам, полученным с помощью приближения времени релаксации нужно относиться критически.
    Вместо времени релаксации вводят в рассмотрение вероятность рассеяния W_k,k' с переходом из зоны n с волновым вектором k --> в (n',k'). Предполагают, что столкновения локализованы в пространстве и времени, т.е. столкновения в точке r в момент времени t определяются свойствами твердого тела в данной точке в данный момент. Считается, что рассеяние не меняет спина. Если при этом рассеяние происходит в одной зоне (n' = n), т.о. вероятность того, что электрон с волновым вектором k, за бесконечно малый интервал времени dt испытает рассеяние и перейдет на любой из уровней, содержится в объеме dk в пространстве около k', эта вероятность равна

    Полная вероятность столкновений в единицу времени получается суммированием по всем незанятым векторам k'

В отличие от приближения временем релаксации (k) не является заданной функцией k, а зависит от конкретного вида неравновесной функции распределения g.
    Полная скорость изменения функции распределения за счет столкновений будет определяться уравнением баланса

или

или

Это т.н. интеграл столкновений, который в -приближении приобретает вид:

поскольку в -приближении

Отказавшись от -приближения, мы уже не можем получить явного выражения для неравновесной функции распределения g через решения полуклассических уравнений движения, путем рассмотрения всех прошедших моментов времени. Однако, можно найти функцию g в момент t, исходя из ее значения в момент t-dt. А именно, распределение в точке (r,k,t) будет представляться суммой бесстолкновительного и 2-х столкновительных членов:

где первое слагаемое в правой части представляет бесстолкновительный член, отвечающий дрейфу в соответствии с законами движения классической механики (9.17) с F = dk/dt, второе слагаемое соответствует выбыванию из точки за счет столкновений, а третье - приходу в точку. Если разложить правую часть, оставив лишь линейные по dt члены, то в пределе dt 0 из (9.25) следует

Это - уравнение Больцмана. Члены в левой части называют дрейфовыми, а правая часть - столкновительным членом или, как уже сказано, интегралом столкновений. В качестве интеграла столкновений можно взять (9.22), тогда уравнение Больцмана, вообще говоря, становится нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Это уравнение лежит в основе теории эффектов переноса в твердых телах. Если воспользоваться t -приближением для столкновительного члена (9.23), тогда уравнение Больцмана упрощается и становится линейным уравнением в частных производных. Можно показать, что функция распределения (9.15), полученная в -приближении, является решением такого уравнения.

    Проиллюстрируем изложенный аппарат теории рассеяния на примере рассеяния электронов в изотропной среде. Допустим, что
    а) Энергия E(k) электронов зависит только от абсолютной величины волнового вектора |k| = k,
    б) рассеяние является упругим, т.е. W_k,k' = W_k',k (E(k')-E(k)), т.е. вероятность рассеяния W_k,k' = W() зависит от угла между k и k'.

Для пространственно-однородного электрического поля, а также в силу а) функция распределения в -приближении для электронов в эл. поле Е имеет следующий вид:

[Е (вектор) - напряженность эл.поля, Е (скаляр) - энергия, не путать!!!] что может быть записано в общем виде как

где

а g⁰(k) - равновесная функция. Можно показать (не будем), что решение ур. Больцмана в приближении времени релаксации, если выполнены условия а) и б), служит также решением полного уравнения (9.26). Запишем интеграл столкновений:

Неравновесная ф-я распределения g = g⁰ + g₁, где g₁ - поправочная функция, |g₁| << |g⁰|, если градиент температуры или напряженности эл. поля не велики. Тогда интеграл столкновений

Если подставить в (9.32б)

и, учитывая W_k,k' = W()(E(k’)-E(k)) (см. выше), получаем

или

Величина cos(,a) может быть преобразована следующим образом. Выберем направление полярной оси z вдоль k. Тогда

где _k',a - угол между проекциями k' и а на плоскость, перпендикулярную k. При интегрировании (9.34б) второй член исчезает. Подставляя (9.35) в (9.34б), получаем

Сопоставляя это выражение с выражением (9.23) для I(g) в -приближении

получаем

Т.о. величина играет роль среднего времени между столкновениями.

При H=0, E,N T=const, интегрирование (9.18) элементарно. При N T=0, приходим к

Число электронов в элементе в dk равно g(k)dk/4³, поэтому вклад одной зоны в плотность тока равен

Такой вклад в плотность тока дает каждая частично заполненная зона и полная плотность тока = сумме вкладов от всех зон. С учетом (9.38), (9.39) можно записать в виде j = E, где тензор проводимости представляет собой сумму выражений для отдельных зон

= nn.	(9.40а)
n = e2(dk/43)n(En(k))vn(k) vn(k)(-f/E)E=En(k).	(9.40б)

Здесь мы воспользовались тем, что поскольку в равновесии ток отсутствует, то основное слагаемое g⁰ в (9.38) не дает вклада в (9.39). Для тензора мы используем стандартное обозначение, при котором = bc означает a_ij = b_ic_j.
    В теории свободных электронов ток j || E, т.е. тензор диагонален: . Для произвольной кристаллической структуры ток j не обязательно параллелен E и s -тензор не будет диагональным. В кристалле с кубической симметрией, однако, ток j остается ||-ным Е, т.к. если x,y,z направить по ребрам куба, то
_хх = _yy = _zz. Кроме того, если бы поле в направлении х вызвало бы ток в направлении y, то, воспользовавшись кубической симметрией, можно было бы показать, что такой же ток должен возникнуть и в противоположном направлении -, т.е. должно быть _xy = 0 и в кристаллах с кубической симметрией .
    В металле при Т = 0 имеем (f/E) = (E-E_F). Время релаксации _n(E_n) (E_F) = const и его можно вынести из-под интеграла в (9.30б). Кроме того,

Проделав интегрирование по частям в результате получаем:

где

-тензор обратной эффективной массы, введенный ранее (см. (4.26))

Для свободных электронов эффективная масса не зависит от k для всех занятых уровней

  Тогда тензор проводимости

где m* - эффективная масса. При m* = m получаем формулу Друде (1.2).

Высокочастотные свойства металлов мы будем обсуждать в Л.11.