Пусть задано множество элементов G g1, g2, ... , gn ,
обладающих следующими свойствами:
Определен закон умножения элементов gi
gj = gk, причем если gi, gj
G, то gi gj = gk
G,
i, j, l = 1, 2, ..., n.
Выполняется закон ассоциативности gi
(gj gk) = (gi gj) gk.
Существует единичный элемент e, egi
= gi, i = 1, 2, ... , n.
Существует обратный элемент g i-1,
g i-1gi = e, i = 1, 2, ... , n.
Тогда на множестве G задана группа
элементов g1, g2, ... , gn
В качестве простого примера
рассмотрим вращение на плоскости. Зададим
множество Ф всех поворотов на углы φ
Закон умножения в данном случае - это
сложение углов: φ1 +
φ2 =
φ3 Ф.
Закон ассоциативности запишется как (φ1 +
φ2) +
φ3 =
φ1 + (φ2 +
φ3).
Единичный элемент в данном случае -
поворот на угол 0 ( +2πn
).
Обратный элемент в данном случае
-поворот на угол - φ(+2πn).
Итак, вращения вокруг оси,
перпендикулярной выбранной плоскости, образуют
группу.
Рассмотрим поворот координатных осейx, y, z, задающих декартову
систему координат в 3-мерном пространстве, на
угол θ3 в
плоскости x y вокруг оси z:
(1.1)
Пусть ε - бесконечно малый поворот. Разложим матрицу поворота
R3(ε) в ряд
Тэйлора и ограничимся членами, линейными по
ε:
(1.2)
где использовано, что R3(0) суть
единичная матрица, и введена матрица
(1.3)
которую назовем генератором поворота
вокруг 3-ей оси (оси z). Выберем
ε = η3/n, тогда поворот на угол
η3 получится n-кратным применением
оператора R3(ε)
, и в пределе
(1.4)
Рассмотрим повороты вокруг оси у:
(1.5)
где, соответственно, введен генератор
поворота вокруг осиу:
(1.6)
и вокруг оси x:
(1.7)
где введен генератор поворота вокруг
оси x:
(1.8)
Теперь в трехмерном пространстве можно
уже записать поворот декартовой 3-мерной системы
координат на произвольные конечные углы,
например, как
.
(1.9)
Обычно, однако, вращение в 3-мерном
пространстве задают несколько иначе, а именно,
посредством углов Эйлера
(1.10)
Генераторы Al l = 1, 2, 3,
удовлетворяют коммутационным соотношениям
Ai·Aj - Aj·Ai
= [Ai, Aj] = i εijk Ak,
(1.11)
где εijk
- абсолютно антисимметричный тензор 3-го ранга.
Отметим,что матрицы Al l = 1, 2, 3,
антисимметричны, тогда как матрицы Rk-ортогональны,
т.е. , где значок T
означает транспонирование. Повороты могут быть
полностью заданы посредством генераторовAl
l = 1, 2, 3, другими словами, группа
3-мерных вращений (как, впрочем, и любая
непрерывная группа Ли с точностью до дискретных
преобразований) вполне характеризуется заданием
алгебры , т.е. заданием генераторов Al ,
l = 1, 2, 3, их линейных
комбинаций и коммутационных соотношений.
Определение алгебры
L - алгебра Ли над полем вещественных
чисел K, если:
(i) L -линейное пространство над К (для x L определено умножение на числа
из К),
(ii) для x,y L определен коммутатор [x, y], также принадлежащий L,
причем [x, y] обладает свойствами:
[x, y] = [x, y], [x, y] = [x, y] при K и [x1 + x2, y] = [x1,
y] + [x2, y],
[x, y1 + y2] = [x, y1] + [x, y2] для
всех x, y L;
[x, x] = 0 для всех x, y L;
[[x, y] z] + [[y, z] x] + [[z, x] y] = 0 (тождество Якоби).