Представления групп и алгебр Ли

1.3 Представления групп и алгебр Ли

Прежде чем перейти к определению представления , нам понадобятся понятия изоморфизма и гомоморфизма.

Определение изоморфизма и гомоморфизма

Пусть заданы группы G и G'. Отображение f группы G в группу G' называется гомо- или изоморфизмом,

Eсли f(g₁, g₂) = f(g₁) f(g₂) для любых g₁, g₂ G.

Это означает, что если f отображает g₁ в g₁' и g₂ в g₂', то f также отображает g₁g₂ в g₁'g₂'.

При этом если f(e) отображает e в единичный элемент в G', то обратное, вообще говоря, несправедливо, а именно, e' из G' отображается обратным преобразованием f^-1 в f^-1(e'), именуемый ядром гомоморфизма.

Если ядро гомоморфизма суть e из G , то такой однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Определение представления

Пусть теперь заданы группа G и некоторое линейное пространство L. Представлением группы G в L называется отображение T, которое каждому элементу g в группе G ставит в соответствие линейный оператор T(g) в пространстве L так, что выполнены следующие условия:

(1) T(g₁, g₂) = T(g₁)T(g₂) для всех g₁, g₂ G

(2) T(e) = 1, где 1 - единичный оператор в L.

Множество операторов T(g) гомоморфно группе G.

Линейное пространство L называется пространством представления, а операторы T(g) - операторами представления, причем они взаимно однозначно отображают L на L. Поэтому свойство (1) означает, что представление группы G в L есть гомоморфизм группы G в G^* (группу всех линейных операторов в L, взаимно однозначно отображающих L в L). Если пространство L конечномерно, то его размерность называется размерностью представления T и обозначается n_T. В этом случае, выбрав в пространстве L базис e₁, e₂, ..., e_n, можно задать операторы T(g) матрицами n-го порядка

(1.12)

t(e) = 1, t(g₁, g₂) = t(g₁) t(g₂).

    Матрица t(g) называется матрицей представления T. Если сама группа G состоит из матриц фиксированного порядка, то одно из простых представлений получается при T(g) = g (тождественное или присоединенное (adjoint) представление).
    Такое тождественное представление уже было нами рассмотрено выше и есть совокупность ортогональных матриц 3 x 3 группы вращений O(3) в 3-мерном пространстве. А совокупность антисимметричных матриц A_i, i = 1, 2, 3 есть тождественное представление соответствующей алгебры Ли. Понятно, что построив все представления данной алгебры Ли, мы тем самым построим все представления сответствующей группы Ли ( с точностью до дискретных преобразований ).
    Преобразованием подобия T'(g) = A^-1T(g)A можно получить из T(g) представление T'(g) = g, эквивалентное данному, но, скажем, более удобному (например, матрицу представлений можно сделать близкой к диагональной).
    Определим сумму представлений T(g) = T₁(g) + T₂(g) и скажем, что представление неприводимо, если оно в такую сумму не раскладывается ( для представлений групп Ли такое определение вполне корректно).
    Для отыскания и классификации неприводимых представлений (НП) важное значение имеет лемма Шура.

Лемма Шура: Пусть даны два НП и группы G. Любая матрица В, такая что B= B при всех g G либо равна 0 (если и неэквивалентны), либо кратна единичной матрице .

Следовательно, если существует B, коммутирующая со всеми матрицами НП T(g), то T(g) приводимо. Действительно, если T(g) приводимо и имеет вид

(1.13)

то

(1.14)

и [T(g), B] = 0.

Для группы вращений сразу видно, что, если [A_i, B] = 0, i = 1, 2, 3, то и [Rⁱ, B] = 0, т.е. нам достаточно найти матрицу B, коммутирующую со всеми генераторами данного представления, а собственные значения такого матричного оператора B можно использовать для классификации неприводимых представлений группы. Это справедливо для любой группы Ли и ее алгебры.
Итак, мы хотим найти все неприводимые конечномерные представления группы 3-мерных вращений, что сводится к отысканию всех неприводимых наборов эрмитовых матриц J_1,2,3, удовлетворяющих коммутационным соотношениям

[J_i,J_j] = iε_ijkJ_k.

(1.15)

Существует только один инвариант, составленный из генераторов группы - , для которого , i = 1, 2, 3. Следовательно, НП можно характеризовать индексом j, связанным с собственным значением оператора .
Чтобы пройти дальше, вернемся на момент к определению представления. Операторы T(g) действуют в линейном n - мерном пространстве L_n и могут быть реализованы матрицами n x n, где n - размерность представления. В этом линейном пространстве определены n - мерные вектора , причем любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации n произвольно выбранных линейно независимых векторов

, .

Другими словами, пространство L_n натянуто на n линейно независимых векторов , образующих базис в L_n. Например, для группы вращений O(3) произвольный 3-вектор можно задать, как мы уже видели, с помощью базисных векторов

, ,

(1.16)

как или = xe_x + ye_y + ze_z. А 3-мерное представление (тождественное или присоединенное представление в данном случае) реализуется матрицами R_i, i = 1, 2, 3. Мы сейчас представим его иначе.
Наша задача состоит в том, чтобы найти матрицы J_i некоторой размерности n в базисе из n линейно независимых векторов, причем нам известны, во-первых, коммутационные соотношения [J_i,J_j] = i_ijkJ_k, во-вторых, то, что НП можно характеризовать собственным значением. Кроме того, можно провести преобразование подобия над матрицами (8, 6, 3), так чтобы одна из матриц, J₃, стала диагональной. Ее диагональные элементы тогда будут собственными значениями базисных векторов.

(1.17)

В нашем примере 3-мерного представления

(1.18)

(1.19)

(1.20)

В качестве базисных векторов выберем

, , ,

(1.21)

при этом

J₃|l + l> = |l + l>, J₃|l 0> = 0|l 0>, J₃|l - l> = -|l - l>.

(1.22)

В теории углового момента в 3-мерном пространстве эти величины образуют базис представления с полным моментом 1. Но они же могут быть отождествлены с 3-вектором в любом, в том числе гипотетическом пространстие. Например, забегая вперед, заметим, что триплет -мезонов в изотопическом пространстве можно поместить в эти же базисные векторы:

π⁺, π^-, π⁰ |π^±> = |l + l>, |π⁰> = |l 0>.

(1.23)

Подробно выпишем матрицы для J = 2, т.e., для представления размерности n = 2J + 1 = 5:

(1.24)

(1.25)

(1.26)

Как и следует ожидать, эти матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям [J_i,J_j] = i_ijkJ_k, i, j, k = 1, 2, 3, т.е., реализуют представление размерности 5 алгебры Ли, соответствующей группе вращений O(3).
Базисные векторы выберем в виде:

, , ,

(1.27)

J₃|2,+2> = +2|2,+2>, J₃|2,+1> = +1|2,+1>, J₃|2,0> = 0|2,0>, J₃|2,-1> = -1|2,-1>, J₃|2,-2> = -2|2,-2>.

А сейчас формально положим J = 1/2, хотя строго говоря мы этого делать не вправе. Полученные матрицы с точностью до фактора 1/2 суть известные матрицы Паули:

, .

(1.28)

Эти матрицы действуют в линейном пространстве, натянутом на два 2-мерных базисных вектора

, .

(1.29)

Возникает реальная возможность описать состояния со спином или изоспином 1/2. Но корректно это можно сделать только переходом к другой группе, которая содержит все представления группы вращений O(3) плюс представления, соответствующие состояниям с полуцелым спином ( или изоспином, для группы это все равно). Это группа SU(2).