1.4 Унитарная унимодулярная группа SU(2)Итак, познакомившись с группой 3-мерных вращений, в которой размерность минимального нетривиального (отличного от 1) представления равна 3, рассмотрим более сложную группу, в которой есть представление размерности 2. Для этого зададим совокупность 2 x 2 унитарных унимодулярных матриц U, т.е., U+U = 1, det U = 1. Такая матрица U может быть выражена в виде
k, k = 1, 2, 3 - эрмитовы матрицы, , которые мы выбираем в виде матриц Паули
а ak, k = 1, 2, 3 - произвольные вещественные
числа. Эти матрицы образуют группу с обычным
законом умножения матриц и реализуют
присоединенное или тождественное представление
размерности 2, натянутом на два базисных вектора. |
Детерминант т.е. определяет квадрат длины вектора. Взяв совокупность унитарных унимодулярных матриц U , U+U = 1, detU = 1 в 2-мерном пространстве, определим X' = U+XU, причем Мы делаем вывод, что преобразования U оставляют инвариантной длину вектора и, стало быть, соответствуют вращениям в 3-мерном пространстве, причем +U соответствуют одному и тому же вращению. Соответствующая алгебра SU(2) задается эрмитовыми матрицами σk, k = 1, 2, 3, с коммутационными соотношениями [σi,σj] = 2iεijkσk, а U = .
Прямое произведение двух спиноров и можно разложить в прямую сумму двух неприводимых представлений (НП) просто симметризуя и антисимметризуя произведение: |