3.1 Электромагнитный ток в унитарной симметрии и в кварковой модели

    Основные свойства электромагнитного взаимодействия предполагаются известными на уровне обычных курсов физического факультета. Предполагается, в частности, известным вид лагранжиана взаимодействия электронов с электромагнитным полем. Электромагнитный ток отдельных барионов и кварков можно задать совершенно аналогичным образом через лагранжиан взаимодействия частицы заряда e, описываемой спинорным полем (x), с электромагнитным полем (x):

(При этом мы пока рассматриваем барион как точечный.)
    Переход к унитарной симметрии означает, что вместо ψ(x) для каждого бариона, следует подставить теперь весь октет целиком (x).
    А каковы свойства электромагнитного тока в унитарной симметрии? Поскольку электромагнитный ток есть суперпозиция изовектора и изоскаляра, и сам ток заряда не несет, его можно связать с компонентой октета векторных токов . Часть тока, связанная с электрическим зарядом, должна быть такой, чтобы заряды частиц оказались правильными. Опуская пространственные индексы, запишем

Здесь p =  и т.д.- октетная матрица барионов J^P = 1/2⁺. Легко видеть, что заряды барионов воспроизводятся правильно. То же справедливо и для мезонов.
    Рассмотрим в импульсном представлении часть лагранжиана взаимодействия, связанную с магнитным моментом,

(в импульсном представлении при выборе  = (0,0,k₃),  = -k₃₂, = k₃₁, = 0. Когда же мы хотим определить магнитный момент по взаимодействию частицы с внешним магнитным полем, обычно выбираем систему, в которой = (0,0,H₃).)
    Эта та часть магнитного момента, которая обычно именуется нормальным магнитным моментом, присущим частицам спина 1/2, чьи волновые функции удовлетворяют уравнению Дирака.
    Но есть еще одна структура Лоренца, которая приводит к аналогичному конечному выражению в нерелятивистском пределе:

()
    Эта часть магнитного момента частицы обычно именуется аномальным магнитным моментом, для заряженных адронов соразмерного с величиной нормального магнитного момента, так что полный магнитный момент есть для них сумма этих двух моментов, а для нейтральных составляет полный магнитный момент частицы.
    При построении октета барионного тока из произведения октетов барионов и антибарионов (с произвольной пространственной структурой тока!), возможны, как мы уже знаем, две различные унитарные тензорные структуры (что соответствует наличию двух октетов в разложении 8 × 8 =1 + 8 + 8 + 10 + 10* + 27)

причем = 0, α, β, γ, η =1,2,3, и тогда электромагнитный ток (мы опускаем пространственные индексы) запишется как

В результате для магнитных моментов барионов получим:

(Напомним, что здесь = p.) Во многих современных моделях именно этими формулами задаются лидирующие вклады в магнитные моменты барионов, к которым затем добавляются вклады, рассчитываемые часто в рамках очень сложных теоретических построений.
    А как построить электромагнитный ток кварков?

где в квадратных скобках выделен электромагнитный ток 3-х кварковой модели.
    А как здесь решить задачу построения тех же магнитных моментов барионов октета? Для этого придется в явном виде расписать барионные волновые функции через кварковые. В модели SU(3)_f-симметрии :

Тогда в нерелятивистском пределе магнитный момент бариона будет суммой вкладов магнитных моментов кварков, а оператор магнитного момента кварка q есть просто (кварк, на который действует оператор магнитного момента, будем отмечать звездочкой *).

где воспользовались тем, что два кварка из трех-спектаторы, так что

<u₁u₁d₂||u*₁u₁d₂> = <u₁||u*₁>=_u etc.

Соответствующие кварковые диаграммы можно записать как (приведена только часть из них, остальные сразу можно написать, исходя из подробно выписанного выше матричного элемента):

    Подобным образом можно получить в рамках кварковой модели магнитный момент нейтрона:

μ_n  = _q=u,s<n||n> =
=<2d₁d₁u₂ - d₁u₁d₂ - u₁d₁d₂| |2d₁d₁u₂ - d₁u₁d₂ - u₁d₁d₂> =
=μ_d - μ_u,

магнитный момент гиперона Σ⁺:

μ(Σ⁺) = _q=u,d<⁺||⁺> =
=<2u₁u₁s₂ - u1s1u₂ - s₁u₁u₂||2u₁u₁s₂ - u₁s₁u₂ - s₁u₁u₂> =
=μ_u - μ_s,

магнитный момент гиперона Σ^-:

μ(Σ^-) = _q=u,d<^-||^-> =
=<2d₁d₁s₂ - d₁s₁d₂ - s₁d₁d₂||2d₁d₁s₂ - d₁s₁d₂ - s₁d₁d₂> =
=μ_d - μ_s,

магнитный момент гиперона (получение которого мы выпишем подробнее из-за того, что он имеет волновую функцию другого вида) :

магнитный момент каскадного гиперона Ξ⁰:

μ(Ξ⁰) = _q=u,s<Ξ⁰||Ξ⁰> =
=<2s₁s₁u₂ - s₁u₁s₂ - u₁s₁s₂||2s₁s₁u₂ - s₁u₁s₂ - u₁s₁s₂> =
=μ_s - μ_u,

и магнитный момент каскадного гиперона Ξ^-:

μ(Ξ^-) = _q=d,s<Ξ^-||Ξ^-> =
=<2s₁s₁d₂ - s₁d₁s₂ - d₁s₁s₂||2s₁s₁d₂ - s₁d₁s₂ - d₁s₁s₂> =
=μ_s - μ_d.

Здесь q₁ = q, q₂ = q, q = u,d,s,c,b,t.

    Для примера приведем некоторые результаты теоретических расчетов магнитных моментов барионов и соответствующие экспериментальные данные.

μ(B) в N из [2]	μ(B) в μN из [3]	μ(B) в μN из [4]	μ(B) в μN из [5]	μ(B) в μN из [6]
2.69	2.78	2.75	2.793	2.79
-1.85	-1.86	-1.84	-1.69	-1.91
2.59	2.50	2.69	2.481	2.43
-1.22	-1.215	-0.98	-1.155	-1.15
-0.61	-0.6397	-0.66	-0.6507	-0.66
-1.33	-1.244	-1.58	-1.274	-1.25
-0.59	-0.631	-0.72	-0.604	-0.64

3.1.2 Радиационные распады векторных мезонов

    Обратимся к радиационным распадам векторных мезонов VP + γ.
Запишем в рамках модели унитарной симметрии электромагнитный ток, описывающий радиационные распады векторных мезонов, в виде компоненты 11 октета, построенного из произведения октета псевдоскалярных и нонета векторных мезонов:

Лагранжиан взаимодействия, описывающий эти переходы, выберем в виде:

Амплитуды радиационных распадов в модели унитарной симметрии:

Поскольку массы ρ и ω⁰ мезонов близки, пренебрежем разницей в фазовых объемах, тогда для ширин радиационных распадов получим:

тогда как эксперимент дает для них:

(720 + 50) кэВ:(120 + 30)кэВ.

Распад -мезона оказывается запрещен в унитарной симметрии,

Эксперимент показывает на очень сильное подавление этого распада (6 + 0.6) кэВ.

3.1.3 Лептонные распады векторных мезонов

    Построим теперь в рамках унитарной симметрии электромагнитный ток, описывающий лептонные распады векторных мезонов Vl⁺l^-.
    В свете предыдущих построений легко понять, что следует просто выделить октет в нонете векторных мезонов и взять компоненту 11:

Отношение ширин распадов предсказывается унитарной симметрией как

Г(⁰ e⁺e^-) : Г(⁰e⁺e^-) : Г(⁰ e⁺e^-) = 9 : 1 : 2,

что прекрасно согласуется с экспериментальными данными:

6.8 кэВ : 0.6 кэВ : 1.3 кэВ.

   Вычислим эти же радиационные распады в кварковой модели, воспользовавшись известными кварковыми волновыми функциями векторных мезонов.

Для ρ0 = (u - d)

Г(ρ⁰ e⁺ + e^-) =

= - = - - = .

Для ω0 = (u + d)

Г(ω⁰ e⁺ + e^-) =

= + = + - = .

Для = (s)

Г( e⁺ + e^-) =

=   = = .

Мы видим, что предсказания модели унитарной симметрии и кварковой модели для ширин лептонных распадов векторных мезонов совпадают между собой и согласуются с экспериментальными данными.