3.2 Фотон как калибровочное поле

    До сих пор мы подразумевали, что фотон- такая же частица как и все остальные : бозон со спином 1 и массой 0. Но оказывается, его существование может быть истолковано как проявление локальной калибровочной инвариантности лагранжиана, описывающего свободное поле заряженного фермиона спина 1/2, например, электрона. Свободное движение электрона подчиняется уравнению Дирака

(∂_μγ_μ- m_e)ψ_e(x) = 0,

которое может быть получено из лагранжиана

Этот лагранжиан инвариантен относительно калибровочного преобразования

ψ'_e(x) = е^iαψ_e(x),

где α - произвольная вещественная фаза. Потребуем теперь инвариантности лагранжиана относительно подобного, но локального калибровочного преобразования, когда является функцией x:

Но L₀ неинвариантен относительно подобного локального калибровочного преобразования:

Для того, чтобы убрать член, нарушающий калибровочную инвариантность, введем векторное поле А^μ с калибровочным преобразованием

 взаимодействие которого с электроном зададим лагранжианом

e_e(x)γ_μψ_e(x)A,

где e- константа связи или константа взаимодействия. Массу этого поля мы ввести не можем, поскольку очевидным образом массовый член в лагранжиане А_μА^μ неинвариантен относительно выбранного калибровочного преобразования для поля А_μ. Отождествим поле А_μ с электромагнитным полем и запишем окончательное выражение для лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований абелевой группы U(1)

где F описывает свободное электромагнитное поле,

F_μν = ∂_μА_ν - ∂_νА_μ,

удовлетворяющее уравнениям Максвелла

∂_μF_μν = 0,  ∂_μА_μ = 0.

Векторный 4-потенциал электромагнитного поля А_μ = (,) связан с измеряемыми на опыте магнитным и электрическим полями соотношениями

а тензор электромагнитного поля F_μν выражается через поля и как

Уравнения Максвелла в присутствии зарядов и токов имеют вид

где - плотность электрического заряда, j - плотность электрического тока. В 4-мерном виде уравнения Максвелла в присутствии зарядов и токов можно записать в виде: