3.3 Ро-мезон как калибровочное поле

    В 1954 году Янг и Миллс решили попробовать получить ρ-мезон также в качестве калибровочного поля. ρ-мезоны были тогда только что открыты, и представлялось, что они могут оказаться искомыми квантами сильного взаимодействия. Подобно рассмотренному случаю с фотоном, напишем лагранжиан для свободного нуклонного поля, где нуклон есть спинор группы изотопических преобразований SU(2) с компонентами +1/2 (протон) и -1/2 (нейтрон):

L0 = N(x)psiN(x) + mNN(x)psiN(x).

(3.23)

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования в изотопическом пространстве

N(x) = psiN(x),

где vec_alpha = (альфа1, альфа2, альфа3) - три произвольные вещественные фазы. Потребуем теперь инвариантности лагранжиана относительно подобного, но локального калибровочного преобразования в изотопическом пространстве, когда vec_alpha является функцией x:

N(x) = psiN(x).

(3.24)

Но, как и в предыдущем случае, L0 неинвариантен относительно подобного локального калибровочного преобразования:

L'0 = N(x)N(x) + mNN(x)N(x) =
= N(x)psiN(x) + iN(x)psiN(x) + mNN(x)psiN(x).

(3.25)

Для того, чтобы убрать член, нарушающий калибровочную инвариантность, введем изотриплет векторных полей с калибровочным преобразованием

' = UU - U,

(3.26)

где U = . Взаимодействие этого изовекторного поля с нуклоном зададим лагранжианом

N(x)psiN(x),

где - константа связи или константа взаимодействия нуклонов с ро-мезонами. Массу этого поля мы ввести не можем, поскольку очевидным образом массовый член в лагранжиане неинвариантен относительно выбранного калибровочного преобразования для поля . Запишем окончательное выражение для лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований неабелевой группы SU(2)

L = N(x)psiN(x) + mNN(x)psiN(x) + N(x)psiN(x) - vecb_Fvecb_F,

(3.27)

где vecb_F - свободное безмассовое ρ-мезонное поле. Оно инвариантно относительно калибровочных преобразований Uvecb_F'U = vecb_F. Подробнее выпишем тензор свободного ρ-мезонного поля
vecb_F = тауkteqv,  ([тауi, тауj] = 2iijkтауk, i, j, k = 1, 2, 3):

= ( - ) - 2iijki14_14c.gif (890 bytes)i14_14d.gif (884 bytes)

(3.23)

или

= ( - ) - [, ]

и убедимся, что это выражение ковариантным образом преобразуется при калибровочным преобразовании над полем ρ:

U(' - ')U =
(' - ') + [UU, ] - [UU, ],
U[', ']U = [, ] + [UU, ] - [UU, ].

(3.23)

Окончательно

Uvecb_F'U = U(' - ' - [', '])U =
- - [, ] = vecb_F.

(3.23)

    Важно отметить здесь особенность неабелева векторного поля - оно оказывается самодействующим, т.е. в лагранжиане в члене (-1/4)|vecb_F|2   появляются члены не только билинейные по полю ρ, как это получалось в случае (абелева) электромагнитного поля, но и члены 3- и 4- линейные по полю ρ вида ρν ρμ νρμ  и .
    Этот формализм был обобщен на SU(3)f, где был построен лагранжиан, описывающий барионы октета. Требование локальной калибровочной инвариантности относительно группы ароматов SU(3)f приводит к появлению октета безмассовых векторных мезонов с квантовыми числами знакомого нам октета мезонов 1-.
    К сожалению, на этом пути не удалось построить теории сильных взаимодействий с векторными мезонами в качестве квантов сильного поля. Но был создан формализм, позволивший решить эту задачу уже не в пространстве ароматов с группой калибровочной симметрии SU(3)f, а в пространстве цветов с группой калибровочной симметрии SU(3)C, где квантами поля оказались безмассовые векторные бозоны, несущие цвет - глюоны.

Содержание  Продолжение

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru