4. Методы анализа процессов взаимодействия

4.1. Системы координат. Преобразования Лоренца

    Для описания процессов соударения частиц а и b с образованием частиц
c_i а + b → а' + b' + c₁ + c₂ + ...+ c_n наиболее часто применяются четыре системы координат:

• лабораторная или L-система (ЛАБ);
• симметричная или S-система (СИМ):
• система центра масс или С-система (СЦМ);
• зеркальная или М-система (ЗЕРК).

    В лабораторной системе мишень покоится, т.е. р_b = 0, Е_b = m_bc², а 4-импульсы взаимодействующих частиц будут _a{p_a,E_a/c} и _b{0, m_bс}.
    В симметричной системе сумма импульсов вторичных заряженных частиц равна нулю: ∑_зарp_i = 0.
    Система центра масс – это система, в которой сумма импульсов сталкивающихся частиц равна нулю: p_а* + Р_b* = 0 (параметры частиц в этой системе будем обозначать знаком *).
    Так. эксперименты на встречных пучках (ISR, ЦЕРН) проводятся в системе, близкой к СЦМ (пучки пересекаются под малым углом 15°).
    В зеркальной (или антилабораторной) системе покоится налетающая частица, т.е. р_а = 0, Е_а = m_ас². а 4-импульсы сталкивающихся частиц есть _a{0,m_ac} и _b{р_b, Е_b/с}.
    Из приведенных выше определений систем отсчета видно их отношение к состоянию движения первичных частиц: в L-системе практически вся полная энергия системы сосредоточена до столкновения на частице а, в М-системе – на частице b, в С-системе сталкивающиеся частицы равноправны, эта система наиболее часто употребляется для описания процесса соударения.
    Измерения обычно ведутся в лабораторной системе, а для анализа эксперимента используются другие системы.
    Переход из одной системы координат в другую осуществляется с помощью преобразований Лоренца. В физике высоких энергий и физике космических лучей экспериментатор имеет дело со скоростями частиц, близкими к скорости света. Поэтому при переходе от одной системы отсчета к другой нужно пользоваться релятивистскими формулами преобразования в четырехмерном пространстве.
    Как известно, релятивистская механика формулируется в четырехмерном пространстве, где сохраняется длина четырехмерного вектора. Другими словами, длина четырехмерного вектора с координатами x,y,z,ct является лоренц-инвариантом. Преобразования Лоренца устанавливают связь между координатами 4-вектора в лабораторной системе (x,y,z,ct) с его координатами в движущейся системе, например С-системе (x*, у*, z*, ct*).
    Переход из С-системы в L-систему осуществляется с помощью матрицы

Если А – 4-вектор с координатами {x₁x₂x₃x₄} в L-системе, то А = L^-1A*. где A*{x₁*x₂*x₃*x₄*} – 4-вектор в С-системе.
    Аналогичен переход из L-систeмы в С-систeму: А* = L·A,

где – матрица перехода.

    Пусть С-система движется так, что ее скорость vнаправлена вдоль оси х* и совпадает с направлением оси х лабораторной системы. При этом связь координат в L- и С-системах выразится соотношениями

х = γ_с(x* + vt),   y = y*,   z = z*,   ,

где

    Для перевода 4-импульса *(р_x*р_y*р_z*Е*) из С-системы в L-систему

    После применения матрицы L^-1получаем для отдельных компонент 4-импульса следующие соотношения: р_х = γ_с(р_x* + β_cE*), р_у = p_y*, р_z =р_z*.

Е = γ_с(Е* + β_cp_х*).

    Для перевода 4-импульса (p_xp_yp_zE) из L-системы в С-систему применяется матрица L

После этого получим для отдельных компонент 4-импульса: р_х* = γ_с(р_х – β_cЕ),   р_у* = р_у,   p_z* = p_z,

Е* = γ_с(Е – β_cp_х).

4.2. Инварианты лоренцевских преобразований

1. 4-импульс {р, E}, квадрат 4-импульса ² = Е² – р² = m² является инвариантом

Все квадратичные формы 4-импульсов также являются инвариантами.

2.  Инвариант квадрат эффективной массы , для двух частиц:

; ,

если массами m_i, и m_j можно пренебречь.

3.  Недостающая масса к частице с может быть вычислена по формулам

;

4.  Поперечный импульс является инвариантной величиной. Поперечная масса   используется для определения энергии Е_i, и продольного импульса
: , , где у_i, – быстрота.

5. Быстрота .
При р ≈ Е псевдобыстрота
Для этих величин инвариантами являются интервалы Δу и Δη.

    Распределение dσ/dy – инвариант с точностью до переноса системы координат:

dσ/dy     y = y_с + y*;
ch y = (e^y + e^-y)/2;
sh y =  (e^y – e^-y)/2.

Определение границ изменения быстроты частицы "с" в пределах от y_min до y_mах дастся соотношениями:

6.  Переменные Мандельштама s, t, u являются инвариантами:

s= (_а+ _b)²; t = (_a  – _c)²; u = (_b – _с)².

7.  Инвариантом лоренцевских преобразований является фазовый объем – область фазового пространства, разрешенная законами сохранения. Элемент фазового объема определяется через произведение дифференциалов 4-импульсов частиц.
С учетом законов сохранения элемент трехмерного инвариантного фазового объема можнize:

где δ-функция учитывает закон сохранения 4-импульса.

Полный фазовый объем – это интеграл по всем импульсам частиц конечного состояния

Ф(s) = ∫dФ_i.

8. Переменная Фейнмана не является лоренцевским инвариантом, но часто используется для анализа экспериментальных данных. Ее связь с быстротой определяется соотношением

9. Некоторые полезные соотношения в С-системе:

в L-системе (если пренебречь массами сталкивающихся частиц):
s_ab ~ 2(Е_а·Е_ь - р_ар_b)² ~ 2Е_а·m_b ≈ 2р_аm_b.

Отсюда Е_а = s_ab/2m_b. Зная квадрат полной энергии в системе центра масс сталкивающихся частиц ·, можно определить эквивалентную энергию в лабораторной системе Е_а.

4.3. Применение кинематических соотношений для определения инвариантных масс частиц

    Метод применяется для частиц со временем жизни τ < 10^-16 с. К этому классу частиц относятся резонансы, а также промежуточные состояния неизвестных частиц с массой m_х, быстро распадающихся на регистрируемые частицы.
    Для резонансов τ_х ~ 6·10^-24 с. а β ~ 1, при этом путь l ~ vt ~ 1.5 фм (1.5·10^-13 см) измерить невозможно.
    Метод позволяет различить рождение частиц без промежуточного состояния от рождения частиц через промежуточное состояние m_х:

    Например, для реакции π^-р → π⁺π^-n определяется инвариантная масса частиц π⁺π^- с использованием соотношения

M²c⁴ = (∑E_i)² – (∑p_i)²c².

Инвариантная масса двух частиц

На опыте определяются ₁ и ₂, .

    Резонансный всплеск на фоне плавного распределения по фазовому объему свидетельствует о рождении π⁺π^--мезонов через промежуточное состояние m_1,2 (рис. 27).

Рис. 27. Схематическое изображение распределения инвариантных масс по фазовому объему (плавная кривая) и резонансный всплеск ((δ-функция) в реакции π-р → π+π-n; пунктир – брейт-вигнеровский резонанс в системе π+π-, Г – его полуширина.

    При анализе рождения J/ψ-частиц использовался аналогичный метод. Получившийся спектр инвариантных масс для J/ψ-системы схематически показан на рис. 28.

Рис. 28. Спектр инвариантных масс J/ψ-системы: J/ψ → μ+μ-  или → е+е-.

    Масса J/ψ-частицы (а также частиц ψ₁ и ψ₂) определялась с использованием соотношения

где индексы 1, 2 соответствуют μ⁺μ^- или е⁺е^- частицам.
    В первых экспериментах по обнаружению J/ψ-частиц, состоящих из с-кварков, были определены m_J/ψ = 3000 МэВ, m_J1 = 3770 МэВ, m_J2= 4040 МэВ. Обнаруженная система получила название кваркония и в последующем изучалась очень детально. Используя соотношение неопределенностей

ΔtΔE ≥ ћ,

можно определить время жизни зарегистрированных частиц. ΔE = Г = ћ/τ есть полуширина резонансной кривой, отсюда τ = ћ/Г. Оказалось, что τ ~ 10^-19 с.

Рис. 29. Схематический вид распределения инвариантных масс для ядерной реакции Вe8 → 2α.

   Аналогичный метод может быть использован в физике ядра при анализе быстро протекающих ядерных процессов, например:

    В этой реакции короткоживущим ядром является Be⁸. Для него τ_Вe ~ 2-10-¹⁶с (рис. 29). Аналогично определяется масса π⁰ → 2γ.