5. Структура материи

    Для исследования структуры материи следует простейшую частицу направлять на частицу более сложную, структура которой неизвестна. Этот метод впервые использовал Э. Резерфорд в 1911 году, когда α-частицу стал рассеивать на атоме и обнаружил атомное ядро. Сейчас нам известны бесструктурные частицы: е, μ, τ и их нейтрино, и мы можем изучать структуру материи, используя эти бесструктурные объекты.

5.1. Лептоны − точечные частицы

    Сначала посмотрим, как было доказано, что лептоны не имеют структуры, т.е. являются истинно элементарными − иными словами, фундаментальными частицами.
    При доказательстве отсутствия структуры у лептонов проявляется необыкновенная точность квантовой электродинамики. Среди современных теоретических моделей квантовая электродинамика − самая точная модель, описывающая процессы, происходящие в микромире. В связи с этим при рассмотрении других моделей реализуются подходы, использующиеся в квантовой электродинамике. Стандартная Модель в физике элементарных частиц включает квантовую электродинамику как свою основную составляющую. Рассмотрим, как доказывается отсутствие структуры у лептонов, и в первую очередь − у заряженных лептонов (е, μ, τ).
    Электрон − простейшая, бесструктурная частица материи. Доказательством служит величина гиромагнитного отношения − "g"-фактора электрона. Эта величина может быть определена после измерения магнитного момента электрона.
    Магнитный момент = g·μ_B, где μ_B − магнетон Бора,

    По теории Дирака для точечной частицы = _B. Для электрона спин J = 1/2, отсюда g = 2, т.к. g = μ/(μ_BJ). На опыте определяется, насколько "g" отличается от 2, если электрон имеет магнитный момент, равный μ_B. Теория Швингера (КЭД) предсказывает более точное значение "g"-фактора.

    Рассмотрим классический пример определения магнитного момента заряженной частицы (рис. 30).
μ =1/c  (ток × площадь),
(Q – электрический заряд, L – орбитальный момент),
; g-фактор,
,  – магнетон.

    Магнитный момент электрона складывается из нормального и аномального магнитных моментов. Нормальный магнитный момент определяется магнетоном Бора, аномальный магнитный момент возникает из-за квантово-электродинамических поправок.
    Существование электрического поля электрона схематически можно изобразить следующим образом:

    Реальный электрон, окруженный электрическим полем, испускает и поглощает фотоны. Испущенный фотон может образовать виртуальную электрон-позитронную пару. Такой процесс многократно повторяется. Его описание можно представить в виде разложения по степеням константы взаимодействия α_е.
    В квантовой электродинамике точность описания возрастает, т.к. учитываются все более высокие порядки в разложении по степеням α_е = 1/137.
    Изучая отклонения g-фактора электрона от 2, можно определить вклад КЭД-поправок, использующихся для описания реального электрона. Для этого вводится величина а:

a = (|g| – 2)/2;

для электрона Дирака a = 0, т.к. g = 2.
    По КЭД расчет а^теор с использованием разложения по степеням α соответствует расстояниям до 10^-16 см.

    Определение величины а на опыте может быть осуществлено при изучении движения электрона в магнитном поле В (рис. 31).

Рис. 31. Схема опыта для определения величины а.

    Постановка опыта состоит в следующем: между полюсами магнита N и S располагается сосуд, из которого выкачан воздух. В сосуд впускается электрон, спин которого направлен по импульсу ||. После движения электрона в магнитном поле он выводится из сосуда и измеряется угол ˆ.
    Если g = 2, то в однородном магнитном поле угол ˆ = 0, a = 0.
    Если g ≠ 2, то а ≠ 0 и угол ˆ = aωt, ω = еВ/m_ес, t − время нахождения электрона в сосуде, ω − частота вращения электрона в магнитном поле.
    После вылета электрона из сосуда и измерения угла между спином и импульсом определяется величина а^эксп:

    Сравнение а^теор и а^эксп дается величиной ξ

    Ничтожное различие между теоретическим и экспериментальным значением величины а позволяет сделать вывод, что вплоть до расстояния 10^-16 см электрон − точечная частица.

    Эксперимент для измерения величины а_μ = [(g-2)/2]_μ (рис. 32) выполнялся на циклотроне радиусом 7 м в Брукхейвенской национальной лаборатории (США). Мюоны накапливались в кольце с магнитным полем В = 1.47 Тс. создаваемым 40 электромагнитами. Мюоны возникали от распада пионов с импульсом 3.098 ГэВ/с по каналу π^± → μ^± + ν() и были поляризованы вдоль пучка пионов (97%). Счетчики, окружавшие кольцо циклотрона, регистрировали электроны от распада мюонов μ^± → е^± + ν_μ + _e. Спиновая ориентация мюонов сохраняется и у электронов.
    Если g_μ ≠ 2, то однородное магнитное поле перемещает вектор и счет электронов изменяется со временем. Результаты измерений дали значение а_μ:

    Расчетное значение а_μ получилось следующим:

    Для электрона а_е определяется числом диаграмм Фейнмана, обусловленных квантовой электродинамикой, и точность вычисления можно увеличить, увеличив число диаграмм (например, для электрона член С_еα⁴ включает 891 диаграмму). Для мюона при вычислении а_μ, требуется учитывать эффекты, происходящие на меньших расстояниях (из-за большей массы мюона m_μ ~ 200m_е). Такими эффектами являются слабые радиационные и адронные поправки. По оценкам а_μ^сл ~ 20·10^-10, а_μ^адр ~ 702(9)·10^-10, а_μ^КЭД ~ 11658480.(3)^-10 и эти поправки известны с плохой точностью (γ → е⁺е^- и γ → h⁺h^- − адронная поправка).
    Разложения по степеням а для электрона и мюона для величин α имеют вид:

    Высокая степень согласия расчетов на основе КЭД с экспериментом подтверждает надежность этой теории.
    Вывод: первые указания на наличие у элементарной частицы структуры заложены в величине g-фактора или магнитного момента.
    Магнитные моменты протона и нейтрона, рассчитанные на основе КЭД в предположении о точечности этих частиц, резко расходятся с экспериментом. Для описания магнитного момента протона и электрона используется ядерный магнетон μ_N = eћ/2m_pc = 3.1525·10^-18 гс , который отличается от магнетона Бора из-за различия в массах нуклонов и электронов.
    В опытах Штерна было найдено, что магнитный момент протона μ_p = 2.5μ_N а нейтрона μ_n = –1.9μ_N, где μ_N − ядерный магнетон. Причины расхождения μ_N и μ_p, μ_n кроются в наличии у этих частиц адронных взаимодействий: р и n − ядерно-активные частицы, окруженные облаком виртуальных мезонов, а не только фотонным облаком.
    Для протона следует учитывать диаграммы с испусканием и поглощением разных адронов: π, ρ, ...

    Реальный протон окружен облаком виртуальных пионов. Пионы отвечают за структуру "внешних" частей облака вокруг "голого" протона.
    Поглощение и испускание пионов может происходить на расстояниях порядка комптоновской длины волны пиона λ_π ~ ћ/m_πc и реально на расстоянии λ_π ~ 0.7 фм.
    Магнитные моменты некоторых барионов:

M_Σ = (-1.157 ± 0.025)μ_N;
М_Λ = (-0.613 ± 0.004)μ_N.

    Измерения магнитных моментов барионов показывают, что барионы имеют структуру.
    Дальнейшее изучение структуры адронов осуществляется в экспериментах по рассеянию точечных лептонов на адронах.

5.2. Определение размеров ядер

    Наилучшим способом изучения структуры частиц являются эксперименты по рассеянию бесструктурных частиц на структурных (типа опытов Резерфорда).
    Формула Резерфорда дает эффективное сечение рассеяния бесспиновой α-частицы на угол θ на ядре:

2р₀sin²(θ/2) = q − переданный при рассеянии импульс. Дальнейшее изучение структуры атомных ядер проводилось в Стэнфордской национальной лаборатории в экспериментах по рассеянию электронов на разных атомных ядрах.

    Это были эксперименты Хофштадтера, в которых изучалось распределение электрического заряда во всех ядрах периодической системы элементов. Отличие опытов Хофштадтера от экспериментов Резерфорда состоит в том. что он использовал электроны, которые имеют спин 1/2ћ и не имеют с структуры (рис. 33).
    Упругое рассеяние на точечном протоне электрона со спином 1/2ћ и передачей 4-импульса q описывается формулой Мотта:

    Упругое рассеяние электрона на протяженном объекте, каковым является ядро, может быть представлено следующим соотношением:

где F(q²) − форм-фактор ядра,

где − распределение электрического заряда в ядре.

Можно определить среднеквадратичный радиус ядра:

<r²> = ∫ρ(r)r³d³r.

    В результате многочисленных измерений было определено распределение плотности электрического заряда в разных ядрах. Для ядер Са и Рb оно показано на рис. 34 и для ядра Са может быть аппроксимировано в виде ρ(r):

где ρ₀ = 0.17нукл/фм³,с= (1.18А^1/3-0.48) фм − радиус половинной плотности, t − 41n3 = 2.4 фм − толщина поверхностного слоя ядра, ∫ρ(r)d³r = 1 − нормировка.
    Распределение ρ(r) для Са лучше всего соответствует усредненному распределению плотности электрического заряда для ядер со средним атомным номером. Радиусы ядер с атомным номером А определяются соотношением R_A = r₀А^1/3; г₀ = 1.2 − 1.15 фм.
    Как видно из приведенных рассуждений, плотность электрического заряда не является непосредственно измеряемой величиной. На опыте измеряется форм-фактор ядра по эффективному сечению рассеяния электронов dσ/dΩ, где dΩ = 2πsinθdθ.

    Измеренная на опыте зависимость dσ/dΩ еще не дает представления о размерах ядра (рис. 35). Размер ядра определяется его форм-фактором

|F(q²)| = .

Таким образом, для определения |F(q²)|² следует:

1)  измерить эффективное сечение рассеяния ;
2)  вычислить моттовское сечение ;
3)  определить |F(q²)|² и затем |F(q²)|;
4)  вычислить ρ(r). используя обратное Фурье-преобразование,

.

    В описанной процедуре возникают неопределенности, связанные с использованием бесконечных пределов при интегрировании, в то время как на опыте эти пределы всегда конечны. Кроме того, переход от экспериментально измеренного квадрата форм-фактора к форм-фактору также создает неопределенность. Поэтому поступают иначе:

1)  предполагают разные формы распределения ρ(r);
2)  вычисляют F(q²), а затем |F(q²)|²;
3) сравнивают полученные результаты с экспериментальной зависимостью и подбирают ту форму зависимости, которая лучше всего согласуется с экспериментом.

На рис. 36 показана связь функций ρ(r) и F(q²).

Рис. 36. Связь функций ρ(r) и F(q2).

    Наиболее важной для дальнейшей интерпретации является первая строка, из которой видно, что, если ρ(r) = δ(r), т.е. ρ(r) представляется δ-функцией от r, то форм-фактор от q² является константой, и обратно, если форм-фактор не зависит от q², то это означает, что распределение ρ(r) является δ-функцией.
    В остальных строках представлены разные предположения о функциях ρ(r) и соответствующие им форм-факторы.
    Такая процедура была выполнена для ядра Са, при этом оказалось, что ρ(r), показанное на рис. 34, наилучшим образом согласуется с измеренным форм-фактором (рис. 35).

5.3. Структура нуклона

Упругое рассеяние

Рис. 37. Схематическое изображение упругого рассеяния электрона на протоне с помощью фейнмановской диаграммы.

    Классические эксперименты по изучению структуры нуклона были выполнены американским физиком В.К. Панофски в 1964 году в Стэнфордской национальной лаборатории (СЛАК, США). Изучалось упругое рассеяние электронов на протонах. Измерялся угол отклонения электрона после упругого взаимодействия (рис. 37).
    На опыте измерялось эффективное сечение рассеяния в зависимости от квадрата переданного импульса q². Учитывая, что у протона существуют электрический и магнитный форм-факторы, сечение может быть представлено в виде:

b = −q²/4m²c², где m − масса нуклона, θ − угол рассеяния, − q2 − 4-импульс, переданный нуклону. G_E и G_M − электрический и магнитный форм-факторы, являющиеся функциями q².
    При q² = 0,  G_E(q² = 0) = Q/e, G_M(q² = 0) = M/μ_N.

    Для удобства анализа рассматривается отношение R (формула Розенблата):

    Зависимость R от tan²(θ/2) изображается прямой линией (рис. 38)

Рис. 38: Зависимость R от tan2(θ/2) при фиксированном значении q2.

    Как видно из рисунка, значения A(q²) и B(q²) могут быть определены и, таким образом, можно вычислить форм-факторы G_E и G_M в зависимости от q².
    На рис. 39 представлены результаты этого анализа.
    Оказалось, что зависимости магнитного форм-фактора для протона и нейтрона одинаковы и их стали называть дипольным форм-фактором. Зависимость электрического форм-фактора для протона также соответствует дипольному форм-фактору:

Рис. 39. Дипольный форм-фактор.

    Дипольный форм-фактор оказался зависящим от q². Это свидетельствует о том. что протоны и нейтроны не являются точечными объектами, а имеют протяженную структуру. Распределение плотности ρ(r) для протона не описывается средним распределением, а хорошо аппроксимируется функцией ρ(r) = ρ₀ехр(r/а), где а = ћ/q₀ = 0.23 фм. Из этой формулы следует, что протон не имеет резко очерченных границ, причем среднеквадратичные радиусы распределения электрического заряда и намагниченности практически равны: <r²_E>_p = <r²_M>_p = <r²_M>_n = 0.7 фм². Значение радиуса протона, полученного в расчетах, в которых предполагалось, что протон окружен облаком виртуальных пионов, качественно согласуется с этой величиной. Определение среднеквадратичного радиуса нейтрона <r²_E>_n экспериментально затруднено из-за того, что приходится работать с мишенью из дейтерия, а потом вычитать из полученных величин значения радиусов для протонов. Тем не менее получено, что <r²_E>_n = 0.008 ± 0.006 фм². Отсюда следует, что нейтрон намагничен, но почти не содержит электрического заряда.
    Таким образом, изучение упругого рассеяния электронов на протонах привело к следующим выводам.

1. Протон и нейтрон не являются точечными образованиями, т.к. их форм-факторы зависят от q².
2. Протон и нейтрон имеют сходные структуры.
3. Имеется связь между распределением электрического заряда и магнитного момента.
4. Все форм-факторы имеют одинаковые зависимости от q², кроме Gⁿ_E.
5. Распределение электрического заряда в протоне должно иметь следующий вид:
   ρ(г) = ρ(0)·ехр(-r/а), где а = ћ/q₀ = 0.23 фм.
6. <r²_E>_p ≈ <r²_M>_p ≈ <r²_M>_n ≈ 0.7 фм².
7. <r²_E>_n ≈ 0.008 ± 0.006 фм².

    Дальнейшее изучение внутренней структуры протона было выполнено в той же лаборатории в Стэнфорде в экспериментах по глубоконеупругому рассеянию электронов на протонах.

Глубоконеупругое рассеяние

    Разница между упругим и неупругим процессами соударения состоит в том, что при упругом рассеянии новые частицы не возникают и энергия электрона после рассеяния остается без изменений (изменяется только направление вылета электрона после столкновения), а при неупругом процессе рождаются новые частицы. Энергия, унесенная новыми частицами, может быть определена по энергии электрона после взаимодействия Е'. В случае неупругого процесса следует рассматривать двойное дифференциальное сечение d²σ/dEdΩ в зависимости от q².
    На рис. 40 представлена диаграмма Фейнмана для глубоконеупругого рассеяния электронов на протонах.

Рис. 40: Диаграмма Фейнмана для реакции е + р → е' + р' + ∑hiW(Eh,h).

    Глубоконеупругое рассеяние можно представить как двухчастичный процесс: е + р → е' + W. Степень возбуждения протона электроном определяется величиной W(E_h,P_h).
    На опыте измеряются угол отклонения электрона θ, энергия Е' и импульс к' электрона после взаимодействия с протоном. Этих данных достаточно, чтобы вычислить степень возбуждения протона после соударения с электроном, используя законы сохранения энергии и импульса и приведенные ниже формулы:
ΔE = Е − Е' − энергия, которую теряет электрон; q² = (ΔE/c)² − (к −к')2 − 4-импульс, который электрон передает протону, где к, к' − импульсы электрона до и после соударения; E_h = ΔE + mс² − энергия и _h = − ' − импульс, унесенные рожденными частицами.
    Таким образом, степень возбуждения протона или масса рожденных частиц определяется по формуле

W2 = E_h² − (_hc)² = m²c⁴ + q²c² + 2ΔEmc².

    На рис. 41 показано двойное дифференциальное сечение в зависимости от q² и W = E'.

Рис. 41. Двойное дифференциальное сечение в зависимости от q2 для неупругого процесса с различными энергиями Е'. Для сравнения показано сечение для упругого рассеяния (кривая 1). Кривые 2, 3, 4 получены при энергиях 2, 3, 3.5 ГэВ соответственно.

    При увеличении W от 2 ГэВ до 3.5 ГэВ наблюдается отсутствие зависимости этого сечения от q². Это свидетельствует о том, что взаимодействие электрона происходит на точечных объектах, содержащихся внутри протона (рис. 36).
    Таким образом, было доказано существование в протоне точечных образований, названных партонами. Дальнейшее изучение свойств партонов, спин которых оказался равным J = ћ/2, позволило отождествить их с кварками, предложенными Гелл-Манном и Цвейгом для объяснения структуры адронов.
    Последующие эксперименты по глубоконеупругому рассеянию других точечных (бесструктурных) лептонов − мюонов и нейтрино − на протонах привели к еще более убедительным результатам, которые помогли уточнить представление о структуре так называемых "элементарных" частиц − адронов. Эти результаты показаны на рис. 42, на котором изображены структурные функции протона F₂ в зависимости от q² и для разных значений фейнмановской переменной х. Отсутствие зависимости этих распределений от q² при х > 0.02 свидетельствует о точечности объектов, на которых происходит рассеяние.
    В многочисленных экспериментах по изучению глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах (ер, μр, νp) получены структурные функции F₂ и F₃ для партонов внутри нуклонов, из которых определены импульсные спектры кварков в нуклоне. По сформированному в настоящее время представлению барионы состоят из трех кварков, мезоны − из кварка и антикварка. Точечное строение адронов проявляется только при очень больших передаваемых импульсах, на расстояниях r ~ ћ/q < 10^-14 см.
    При малых передаваемых импульсах q налетающий лептон взаимодействует не с отдельным кварком, а с совокупностью кварк-антикварковых пар и глюонов, окружающих точечно-подобный кварк, который называется валентным.
    Окружающие его кварк-антикварковые пары называются морскими кварками. На рис. 43 приведены энергетические спектры кварков и антикварков из моря (1) и валентных кварков (2). Другая часть партонов с целым спином была отождествлена с глюонами. Из этих данных можно определить долю энергии нуклона х = Е_i/Е_р, заключенную в валентных и морских кварках. Оказывается, <x>_v = 0.4, <х>_s = 0.1. Оставшаяся доля <х>_g = 0.5 содержится в глюонах, играющих существенную роль в структуре нуклона.

Рис. 42. Протонная структурная функция F2, измеренная в электромагнитном рассеянии злектронев и мюонов для х > 0.00003. Эксперименты выполнены на ускорителе HERA.