Цель курса: научить студентов основам вычислений в рамках релятивистски инвариантной теории возмущений с использованием фейнмановских диаграмм на примере КЭД и КХД.

• Программа курса (pdf)

I. Общие принципы построения квантовой теории поля (КТП) (одна лекция) (Слайды к лекции в формате pdf)

• Лекция 1
  • Стандартные обозначения, верхние и нижние индексы.
  • Система единиц .
  • Система единиц Хевисайда ().
  • Закон Кулона и уравнение Максвелла в новой системе единиц.
  • Ограничения, накладываемые на измеряемые величины соотношением неопределенности при конечной скорости света.
  • Основное отличие КТП от КМ: возможность рождения и уничтожения частиц.
  • Чем характеризуются элементарные частицы в эксперименте?
  • Типичная постановка задачи в КТП: сечения рассеяния и ширины распадов. Примеры некоторых интуитивно ясных диаграмм Фейнмана.

II. Основы лагранжева формализма в КТП (одна лекция) (Слайды к лекции в формате pdf)

• Лекция 2
  • Принцип наименьшего действия. Лагранжиан и плотность лагранжиана.
  • Уравнение Лагранжа.
  • Гамильтониан, импульс, момент количества движения.
  • Пример лагранжева подхода для уравнения Максвелла.
  • Тензор напряженности электромагнитного поля.

III.  Электромагнитное поле (две лекции) (Слайды к лекциям в формате pdf)

• Лекция 3
  • Решение уравнений Максвелла для свободного электромагнитного поля в калибровке Лоренца.
  • Энергия и импульс классического электромагнитного поля.
  • Задача о гармоническом осцилляторе в пространстве Фока.
  • Квантование электромагнитного поля как набора гармонических осцилляторов.
  • Операторы рождения и уничтожения. Коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения.
  • 4-потенциал, энергия и импульс квантованного электромагнитного поля.
  • Калибровка Лоренца для квантованного электромагнитного поля. Решение проблемы скалярных и продольных фотонов.
• Лекция 4
  • Калибровочные преобразования и вектора поляризации.
  • Суммирование по поляризациям. Матрица плотности фотонов.
  • Коммутационные соотношения для операторов электромагнитного поля. Перестановочная функция электромагнитного поля.
  • Вакуумные средние и функции .
  • Определения нормального и хронологического произведений. Свертка операторов электромагнитного поля.
  • Связь свертки с вакуумным средним и причинной функцией Грина . Введение термина "пропагатор".
  • Правила обхода полюсов в пропагаторе виртуального фотона.

IV. Дираковское поле (семь лекций)

• Лекция 5
  • Что говорит эксперимент о частицах и античастицах?
  • Уравнение Паули. Алгебра матриц Паули.
  • Уравнение Клейна-Гордона-Фока.
  • Вывод уравнения Дирака для свободного фермиона в несимметричной форме. Естественное возникновение биспиноров.
  • Симметричная форма уравнения Дирака. Явный вид гамма-матриц в стандартоном представлении (представление Паули-Дирака). Спиральное и спинорное представления.
  • Явное решение уравнения Дирака для свободной частицы с положительной энергией в стандартном представлении. Нормировка решения.
• Лекция 6 ( в форме семинара)
  • Алгебра мптриц Дирака, определение матриц и .
  • Свойства матрицы .
  • Приемы вычисления следов и сверток матриц Дирака.
  • Базис в пространстве матриц Дирака. Разложение по базису.
  • Свертки по индексам и другие полезные формулы.
• Лекция 7
  • Введение внешнего поля в уравнения Дирака (, где e = -|e|).
  • Уравнение Дирака для античастицы ().
  • Операция зарядового сопряжения дираковского поля.
  • Явный вид оператора зарядового сопряжения в стандартном представлении () и его свойства.
  • Решение уравнения Дирака для свободной античастицы в стандартном представлении . Нормировка решения.
  • Релятивистское обобщение оператора спина 1/2 и проекционного оператора.
  • Преобразование Фолди-Вутхайзена.
  • Определение спиральности.
  • Соотношение в плоскости комплексной энергии .
• Лекции 8-10
  • Матрица плотности для свободного решения уравнения Дирака.
  • Лагранжиан свободного дираковского поля.
  • Введение взаимодействия с электромагнитным полем.
  • Энергия, импульс и заряд свободного дираковского поля.
  • Квантование свободного решения. Принцип Паули. Коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения.
  • Вакуумные средние произведения операторов дираковского поля.
  • Определение нормального и хронологического произведений операторов дираковского поля
  • Свертка операторов дираковского поля. Связь свертки с вакуумным средним и функцией Грина.
  • Пропагатор дираковского поля и правило обхода полюсов.
  • Полный лагранжиан КЭД.
  • Глобальные калибровочные преобразования. Сохранение заряда.
  • Локальные калибровочные преобразования. Фиксация вида взаимодействия.
  • Операция пространственного сопряжения для электромагнитного и дираковского полей.
  • Операция обращения времени для электромагнитного и дираковского полей.
  • Зарядовая четность фотона и теорема Фарри.
  • CPT-теорема на примере КЭД. Экспериментальная проверка CPT-теоремы.

  Лекция 11

  • Точное решение уравнения Дирака для электрона в поле плоской электромагнитной волны (решение Волкова)

V. S-матрица и правило Фейнмана (три лекции)

• Лекции 12 - 14
  • Гамильтониан взаимодействия в КЭД.
  • Представления Шредингера и Гейзенберга.
  • Представление взаимодействия. Особая роль представления взаимодействия в квантовых теориях поля.
  • Матрица рассеяния (S-матрица) и ее запись в виде ряда.
  • Теорема Вика (без доказательства).
  • Вывод правил Фейнмана для КЭД на примере вычисления матричных элементов процессов , (нефизические).
  • Продолжение вывода правил Фейнмана для КЭД на примере вычисления матричных элементов процессов (эффект Комптона) и реакции .
  • Правила Фейнмана для вычисления петлевых диаграм (без вывода).

VI. Сечения, ширины распадов и кинематика

• Лекция 15
  • Выражение для вероятности перехода if в единицу времени через .
  • Плотность конечных состояний и фазовый объем.
  • Выражение для ширины распадов.
  • Выражение для сечения реакции 2n.
  • Выражение для сечения реакции 22.
  • Мандельстамовские переменные.
  • Кросс-каналы и физические области.

VII. Вычисление процессов в КЭД (пять лекций)

• Лекции 16 - 20
  • Вычисления для эффекта Комптона .
  • Сечение реакции аннигиляции электрон--позитронной пары в мюоны: .
  • Сечение e⁺e^--аннигиляции в адроны и заряды кварков.
  • Образование пар.
  • Поля массивных векторных частиц.
  • Пропагатор нестабильной векторной частицы.
  • Сечение e⁺e^--аннигиляции в адроны вблизи резонансов и формула Брейта--Вигнера.
  • Поля заряженных скалярных мезонов.
  • Избранные вопросы "скалярной КЭД".
  • Рассеяние электрона на пионе . Электромагнитный формфактор заряженного пиона .
  • Излучение мягких фотонов. Инфракрасная катастрофа.
  • Излучение электроном фотона в поле плоской электромагнитной волны.
• Задачи  (pdf)

Литература

• А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика (djv 6493KB).
• Р. Фейнман.Квантовая электродинамика (djv 3401KB).
• Л.Б. Окунь. Лептоны и кварки (djv 4339KB).
• А.А. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский, А.В. Борисов. Калибровочные поля (djv 4323KB).

25.05.2009