2. Коллективный образ гигантского дипольного резонанса.
Эффект Даноса-Окамото

    Коллективные Е1-возбуждения в ядре отвечают колебанию электрического дипольного момента ядра, т.е. колебанию всех протонов относительно всех нейтронов. Не случайно, поэтому, первые попытки интерпретации ГДР были связаны с коллективными моделями. Причем, без детальных расчетов было ясно, что энергия Е1-возбуждений, обусловленных движением всех нуклонов ядра, должна быть во много раз больше, чем энергия поверхностных колебаний ядра (< 1 МэВ), в которых участвует лишь несколько нуклонов, находящихся на поверхности.
    Первой коллективной (и вообще первой) моделью ГДР явилась модель Мигдала [6], давшая правильное объяснение этому явлению. В этой модели ядро рассматривается как совокупность взаимопроникающих сжимаемых протонной и нейтронной жидкостей. Внешнее электрическое поле вызывает колебания протонной жидкости относительно нейтронной и одновременно изменение их плотностей. Ниже мы более подробно рассмотрим гидродинамический подход Мигдала в том варианте, который позже развили Штейнведел и Йенсен [7] и Данос [8], а перед этим коснёмся модели Гольдхабера и Теллера [9], в которой в процессе электрических дипольных колебаний несжимаемые протонная и нейтронная сферы двигаются как целые друг относительно друга (так как это изображено на рис. 2).
    Резонансная частота такого осциллятора может быть оценена из классического соотношения

(13)

где k - коэффициент упругости, а m - масса осциллятора. Упругую силу создает притяжение сдвинутых (неперекрывающихся) частей протонной и нейтронной сфер с остальной частью ядра. При малых смещениях   протонной и нейтронной сфер число неперекрывающихся (оголенных) нуклонов, а, следовательно, и коэффициент упругости пропорциональны площади поверхности ядра, т.е. R². Масса ядра пропорциональна R³. Отсюда получаем

(14)

Гольдхабер и Теллер нашли для константы в этом выражении значение 45 МэВ и, таким образом, в рассматриваемой модели для энергии ГДР получается следующая формула

 которая, во-первых, дает слишком медленное падение энергии ГДР с ростом массового числа, а, во-вторых, сильно (в 1.5-2 раза для средних и тяжелых ядер) занижает эту энергию. Отметим, что максимальное смещение протонной сферы относительно нейтронной (амплитуда колебаний) оказывается небольшим, всего лишь ≈ 0.1 Фм.
    Значительно более успешной в объяснении ГДР оказалась гидродинамическая модель двухкомпонентной ядерной жидкости Мигдала, Штейнведела и Йенсена, к которой мы и переходим.
    В этой модели нейтроны и протоны рассматриваются как две взаимопроникающие сжимаемые жидкости, находящиеся внутри фиксированной ядерной поверхности. В основном состоянии обе жидкости равномерно распределены по объему ядра, так как ядерные силы благоприятствуют однородному перемешиванию нейтронов и протонов. Электромагнитное поле возмущает это равновесное распределение, поэтому при поглощении γ-кванта возникают колебания плотностей нейтронной и протонной жидкостей (поляризационные колебания), которые и проявляются как широкие пики (гигантские резонансы) в сечениях реакций под действием фотонов.
    Нейтрон-протонные поляризационные (изовекторных) колебания можно трактовать как колебания сжатия-расширения нейтронной и протонной жидкостей, которые колеблются в противофазе, так что общая ядерная плотность

ρ(,t) = ρp(,t) + ρn(,t) = ρ0

(16)

остается постоянной в любой точке ядра (здесь ρ_p(,t) – плотность протонной жидкости, ρ_n(,t) – плотность нейтронной жидкости и ρ₀     – константа, характеризующая полную плотность). Разделение протонной и нейтронной жидкостей под действием внешнего поля описывается флуктуацией плотности η(,t) . При этом ρ_p(,t) и ρ_n(,t) даются соотношениями

ρp(,t) = ρp(0)[1 + η(,t)], ρn(,t) = ρn(0)[1 - (Z/N)η(,t)]

(17)

где ρ_p(0)  и ρ_n(0) = (N/Z)ρ_p(0) - равновесные протонные и нейтронные плотности, а η( ,t)  играет роль отклонения плотности от равновесного значения. Видно, что для любого момента времени выполняется условие (16), отвечающее пренебрежению компрессионными колебаниями (сжатия и разряжения ядра). η( ,t)  можно представить в виде

η(,t)  = η()e-iωt,

(18)

где ω - частота колебаний плотности (предполагается, что колебания гармонические). Тогда  колебания протонной и нейтронной плотностей будут удовлетворять обычному волновому уравнению гидродинамики. При этом η( )  подчиняется уравнению Гельмгольца

Δη() + k2η() = 0

(19)

где  Δ - лапласиан, с граничным условием

.grad[η()]r = R = 0,

(20)

 означающим отсутствие потока нуклонов через поверхность ядра (    - вектор, нормальный поверхности ядра).
    Итак, колебания плотности описываются волновым уравнением. Волны плотности - своего рода звуковые волны в ядерной материи. Волновое число k связано с константой энергии симметрии β = 23.6 МэВ в формуле Вайцзеккера

(21)

В свою очередь

(22)

 где

(23)

 - скорость распространения в ядре колебаний плотности (аналог скорости звука в ядерной среде).
    Нормальные решения волнового уравнения (19), удовлетворяющие граничному условию (20), имеют вид

(24)

 где J - мультипольность колебаний,  - сферические функции,  - сферические функции Бесселя, а  - нормировочные константы. Волновые числа  получаются из граничного условия (20), которое теперь принимает вид

(25)

 Решения этого трансцендентного уравнения получаются численно. Они даны в табл. 2 до четвертого (n = 4) обертона мультипольности J = 4 (в таблице приведены R).
    Энергии колебаний даются соотношением

(26)

Таблица 2. Решения R уравнения (25)

Из (26) для энергии основных (n = 1) поляризационных колебаний, характеризующихся самыми низкими угловыми моментами J  =   0, 1 и 2, получаем (сравни с данными табл. 1):

(27)

    Оценка сделана для N/Z  ≈ 1.3, что соответствует типичному ядру с А  ≈ 100. Наименьшую собственную энергию имеет дипольная поляризационная мода ( J = 1). Все остальные поляризационные моды – квадрупольная ( J = 2), монопольная (J = 0), а также октупольная ( J = 3) и др. располагаются значительно выше по шкале энергий. Если оценить энергию дипольных колебаний по формуле (27) для ядра с массовым числом А  = 100, то получится 16.4 МэВ. Более высокие (n > 1) обертоны для всех J располагаются при существенно более высоких энергиях и возбуждаются с существенно меньшей вероятностью. Так, основная Е1-мода ( n = 1) вбирает 86% вероятности электрических дипольных возбуждений. На Е1-обертоны с n   =   2 и 3, располагающиеся при энергиях   ≈  47 МэВ и 72 МэВ, приходится соответственно 6% и 2% вероятности Е1-переходов. Отметим, что указанные Е1-обертоны на языке оболочечных переходов (см. рис. 3) отвечают возбуждениям с энергиями соответственно 3 ћω и 5 ћω .  
    На рис. 6 показано, как примерно выглядят поляризационные колебания нижайшей мультипольности для ядра с А ≈ 60 в крайней фазе колебаний, отвечающей максимальному разделению протонной и нейтронной жидкостей (протоны и нейтроны по разному окрашены). Для наглядности эффект разделения протонной и нейтронной жидкостей сильно утрирован. На самом деле максимальное их разделение (амплитуда поляризационных колебаний) составляет, как мы отмечали в связи с рассмотрением модели Гольдхабера-Теллера, всего лишь около 0.1 Фм.
    Отметим также, что рассмотренные коллективные модели применимы к достаточно массивным ядрам, содержащим не менее 50 нуклонов.

 Рис. 6. Поляризационные колебания нижайшей мультипольности. Показана крайняя фаза колебаний, отвечающая максимальному разделению протонной и нейтронной жидкостей (протоны и нейтроны по разному окрашены)

      Как видно из рис. 4 а, гидродинамическая модель, давая  для энергии ГДР величину Е_m ≈ 75А^-1/3 МэВ, в целом  довольно успешно объясняет зависимость Е_m от массового числа (по крайней мере в области А ≈ 50-150). Более того, эта модель обеспечивает естественное и безупречное объяснение формы гигантского резонанса несферических (деформированных) ядер. Для таких ядер, имеющих, как правило, форму аксиально-симметричного эллипсоида, сечение поглощения Е1-фотонов должно иметь два гигантских резонанса, а не один, как в случае сферических ядер. Это непосредственно следует из зависимости Е_m от радиуса ядра

 Для сферического ядра наблюдается одна резонансная частота электрических дипольных колебаний. Если же ядро несферическое (например, аксиально-симметричное), то оно имеет два характерных размера  b и а - длины полуосей ядерного эллипсоида соответственно вдоль и перпендикулярно оси симметрии ядра. В соответствии с этим у такого ядра существует две резонансные частоты дипольных колебаний (см. также рис. 7)

 где r₀ = 1.2 Фм. Таким образом,

Более детальное рассмотрение Даноса [8] даёт

 Если, например, ядро имеет положительный электрический квадрупольный момент, т. е. вытянуто вдоль оси симметрии, то для такого ядра b > а  и дипольные колебания вдоль короткой оси совершаются с большей частотой, чем вдоль длинной. Различие в энергиях ΔЕ_m (частотах) этих колебаний можно получить из следующего соотношения

где β = (b - a)/<R> - параметр деформации ядра, а величину <R> = (ab)^1/2 можно оценить по формуле радиуса ядра <R> ≈ r₀ A^-1/3 с r₀  = 1.2 Фм.

Рис. 7. Электрические дипольные колебания вдоль короткой и длинной осей ядерного эллипсоида

    При больших деформациях за счет обсуждаемого эффекта должно наблюдаться расщепление гигантского резонанса на два максимума. При небольших деформациях будет виден один, но уширенный, максимум Е1-резонанса, причем ширина резонанса в этом случае Г ≈ Г ₀ + ΔГ, где Г ₀ ≈  4 МэВ - типичная ширина резонанса для недеформированного (сферического) ядра, а ΔГ - дополнительное уширение за счет деформации, оцениваемое по формуле (32).
       Эффект влияния деформации на форму гигантского резонанса иллюстрируется рис. 8, на котором представлены сечения реакции (γ,n) для изотопов неодима ^{142,143,144,145,146,148,150}Nd . Фотонейтронная реакция вносит основной вклад в сечение ядерного поглощения фотонов в этой области массовых чисел, а форма изотопов неодима по мере увеличения числа нейтронов плавно меняется от почти сферической для ¹⁴²Nd до вытянутой для ¹⁵⁰Nd (см. табл. 3). Из этой таблицы и рис. 8 видно, что с увеличением степени деформации растет ширина Г гигантского резонанса. Для изотопа ¹⁵⁰Nd деформация настолько велика, что гигантский резонанс расщепляется на две компоненты, отвечающие электрическим дипольным колебаниям вдоль короткой и длинной осей ядерного эллипсоида.

Рис. 8. Гигантский дипольный резонанс изотопов неодима

     Таким образом, мы видим, что между шириной ГДР и величиной деформации ядра существует отчетливая корреляция. На это впервые в 1958 г. указали Данос [8] и Окамото  [10], а само это явление получило название эффекта Даноса-Окамото.

Рис.9. Пояснение к опыту по фоторасщеплению поляризованных ядер ¹⁶⁵Но

       Одним из наиболее красивых экспериментов, демонстрирующих эффект Даноса-Окамото, является эксперимент, выполненный в Ливерморе (США) на поляризованной мишени из ядер ¹⁶⁵Но [11] . Использовался пучок квазимонохроматических фотонов от аннигиляции на лету быстрых позитронов. Измерялось суммарное сечение всех фотонейтронных каналов, которое для столь тяжелых ядер является хорошим приближением к сечению фотопоглощения:

 Было проведено два измерения, В одном из них поляризация ядер ¹⁶⁵Но была параллельна (||) пучку γ-квантов, а в другом - перпендикулярна () ему. Ядро ¹⁶⁵Но имеет форму аксиально-симметричного вытянутого эллипсоида с параметром деформации β = +0.313. Если учесть, что спин деформированного ядра ориентирован вдоль его оси симметрии, то два варианта измерений можно пояснить с помощью рис. 9.

    В случае параллельной пучку ориентации ядер ¹⁶⁵Но возбуждаются Е1-колебания вдоль короткой оси ядерного эллипсоида, имеющие бòльшую энергию, и поэтому в сечении поглощения σ  _|| в основном должна наблюдаться высокоэнергичная компонента ГДР (в данном случае её энергия 15.6 МэВ). При ориентации ядра ¹⁶⁵Но перпендикулярно пучку Е1-колебания генерируются вдоль длинной оси ядерного эллипсоида, имеющие меньшую резонансную энергию, равную в данном случае 12.3 МэВ, т.е. < Е _||, и поэтому в соответствующем сечении поглощения должен выделяться пик с меньшей энергией. Это прекрасно видно на рис. 10. При идеальной постановке опыта (в частности, 100%-ной поляризации мишени) каждое из представленных на рис. 10 сечений вообще должно состоять из одного максимума, отвечающего одной моде Е1-колебаний в направлении перпендикулярном пучку. Неизбежная неидеальность такого рода экспериментов приводит к примешиванию в каждом из сечений пика, обусловленного «незапланированным» Е1-колебаниям вдоль другой оси ядерного эллипсоида.

Рис. 10. Сечения фотопоглощения на поляризованных ядрах ¹⁶⁵Но, ориентированных параллельно γ-пучку (светлые точки) и перпендикулярно γ-пучку (тёмные точки)  [11]

      Форма атомного ядра - сферическое оно или несферическое -, знак и величина β  его параметра деформации (в случае несферичности) легко могут быть найдены из вида сечения фотопоглощения. Ситуация, которая здесь возникает, поясняется рис. 11. В неаксиальном ядре, т.е. ядре, характеризующимся тремя несовпадающими по размеру полуосями a, b и с, существует три различные резонансные энергии Е1-колебаний: Е_а, Е_b и Е_с и должны возникать три одинаковые по величине максимума в сечении фотопоглощения σ_γ. Величину каждого из этих максимумов мы показываем отдельным столбиком на рис. 11. Он даёт третью часть полного сечения σ_γ, приходящуюся на каждую резонансную моду Е1-колебаний. Неаксиальных ядер мало и, кроме того, степень неаксиальности, как правило, мала и характеризуется небольшим отличием величин двух полуосей, например, а и с (а ≈ с). По существу неаксиальные ядра близки к аксиальным ядрам (а = с ≠ b) и именно два варианта этого случая (аксиальные вытянутые и аксиальные сплюснутые ядра) и иллюстрируются рис. 10б и 10в. Рис. 10а показывает форму σ_γ для сферического ядра (a = b = с).

Рис. 11. Влияние деформации ядра на форму сечения фотопоглощения

      Рис. 11 вместе с соотношениями (30-32) устанавливает однозначный рецепт определения по сечению фотопоглощения формы ядра, а также характера и степени его деформированности в случае, если оно несферическое. Подчеркнем, что этот подход применим лишь к достаточно массивным ядрам (А > 100), где другие факторы, влияющие на форму σ_γ, становятся несущественными.
       В заключение данного параграфа приведём систематику параметров β квадрупольной деформации ядер с Z ≈ N > 50 и ширин Г сечений фотопоглощения этих ядер (рис. 12). Видна хорошая корреляция между сравниваемыми величинами, доказывающая, что ширина ГДР ядер с  Z ≈ N > 50 определяется, прежде всего, их формой. Записывая ширину Г (ширину на половине высоты) гигантского резонанса в виде

 где Г₀ ≈ 4.2-4.3 МэВ - характерная ширина ГДР для массивного сферического ядра с магическим числом протонов и (или) нейтронов, а ΔГ - уширение за счет несферичности, можно по данным рис. 12 выразить ΔГ через параметр деформации β с помощью эмпирического соотношения

     Определенным выводом из данных этого параграфа является то, что статическая деформация ядра (его деформация в основном состоянии, определяемая параметром β) не разрушается быстрыми и мощными коллективными электрическими дипольными осцилляциями, частота которых в десятки раз превосходит частоту вращения несферического ядра. На вопрос о том, почему это происходит (по крайней мере для ядер с А > 100), мы попытаемся дать ответ в разделе Заключение. 

Рис. 12. Сравнение ширин Г гигантских дипольных резонансов ядер (точки) с параметрами β их  квадрупольной деформации (крестики)  [25]

07.11.2016