3. Гигантский дипольный резонанс в рамках модели оболочек

    До сих пор мы рассматривали гигантский дипольный резонанс как сугубо коллективное явление – колебание всех протонов ядра относительно всех его нейтронов. Приведенные выше экспериментальные данные и теоретические предсказания в целом свидетельствуют в пользу справедливости такой интерпретации. Микроскопический подход, и в частности, модель оболочек стал активно использоваться для описания Е1-резонанса существенно позже. И вызвано это было тем, что микроскопическая картина сугубо коллективного явления казалась ненужной. Однако, как оказалось "микроскопический подход" к проблеме описания коллективных состояний вполне правомерен. Более того, использование такого подхода позволило вскрыть механизм формирования коллективных состояний на микроскопическом уровне. Впервые это удалось сделать именно в процессе изучения гигантского дипольного резонанса и это явилось одним из важнейших принципиальных достижений теории ядра. Итак, покажем, как можно описать Е1-резонанс в рамках модели оболочек. Естественно, в начале применялся простейший вариант модели оболочек - одночастичная модель, которая рассматривает ядро как совокупность независимых нуклонов в общей потенциальной яме (осцилляторной, прямоугольной или более реалистичной яме Вудса-Саксона) со спин-орбитальным расщеплением. Одночастичная модель оболочек применялась для описания свойств ГДР различными авторами. Наиболее полное развитие такой подход получил в работах Уилкинсона [12]. Кратко рассмотрим суть такого подхода.
    Электромагнитная волна действует на систему зарядов посредством одночастичного (т.е. меняющего характеристики отдельной частицы) оператора. Поэтому с точки зрения модели оболочек процесс возбуждения ядра фотоном начинается с передачи всей его энергии одному из нуклонов подоболочки nlj (n - радиальное квантовое число нуклона (подоболочки), а l и j - его орбитальный и полный момент количества движения) и перехода этого нуклона на более высокую одночастичную орбиту. В оболочке, оставленной нуклоном, образуется дырка, а в оболочке, куда перешел нуклон, появляется частица. Возникает возбужденное состояние ядра типа "частица-дырка". Так как мы рассматриваем поглощение Е1-фотона, имеющего момент количества движения 1 и отрицательную четность, то в соответствии с правилами отбора для Е1-переходов, получаем следующую связь между полными моментами нуклона j и его четностью P до и после поглощения электрического дипольного фотона:

Здесь индекс i относится к начальному состоянию нуклона, а f – к конечному. Состояние нуклона характеризуется также орбитальным моментом l. Учитывая, что четность нуклона после поглощения Е1-фотона меняется на противоположную, приходим к выводу, что орбитальный момент нуклона должен измениться  на единицу, т. е.

Это означает, что возможны переходы в соседнюю оболочку (1ћω), через две оболочки (3ћω), через четыре (5ћω) и т. д. Достаточно, однако, ограничиться Е1-переходами в соседнюю оболочку, поскольку остальные переходы лежат слишком высоко по энергии и, как показывают расчеты, не дают существенного вклада в формирование гигантского дипольного резонанса.

 

Рис. 13. Подоболочки и Е1-переходы нуклонов в ядре ¹⁶О. Энергии переходов указаны в (38). Энергии одночастичных уровней (подоболочек) взяты из эксперимента

    Рассмотрим в качестве примера дважды магическое ядро ¹⁶О. У этого ядра заполнены оболочки 1s и 1р, а оболочка 1d2s пустая (см. рис.13). При поглощении Е1-фотона возможны лишь пять 1ћω-нуклонных переходов, отвечающих правилам отбора (36), (37):

    Энергии частично-дырочных Е1-переходов (38) лежат в интервале 12-23 МэВ, т. е. как раз в той области, где расположен гигантский резонанс. Таким образом, в одночастичной модели оболочек гигантский резонанс формируется группой сильных Е1-переходов нуклонов между соседними оболочками, занимающих сравнительно узкий энергетический интервал.
    Чтобы "построить" ГДР ядра ¹⁶О в одночастичной модели оболочек нужно помимо энергий Е1-переходов знать вероятности каждого из этих переходов. Эти вероятности могут быть рассчитаны в первом порядке теории возмущений с помощью известной формулы

(39)

где w - вероятность перехода микрообъекта в единицу времени из состояния i в состояние f под действием внешнего возмущения, описываемого оператором , а ρ(E_f) - плотность конечных состояний. Из (39) можно получить следующее выражение для интегрального сечения d_f поглощения ядром Е1-фотонов за счет отдельного перехода i → f :

,

где (E_f - E_i) - энергия перехода, а - z-компонента электрического дипольного момента ядра, куда в качестве электрических зарядов нуклонов входят их эффективные заряды ε_p = eN/A и ε_n = -eZ/A. Энергетический интервал между E_f и E_f + dE_f содержит лишь одно f-ое состояние. Напомним, что использование электрического дипольного момента системы в виде его z-компоненты предполагает (что не принципиально) направление вектора поляризации электромагнитной волны вдоль оси z. В дальнейшем величину d_f будем называть дипольной силой.
     Для того, чтобы рассчитать дипольную силу (40) нужно выбрать реалистическую ядерную потенциальную яму (обычно в форме Вудса-Саксона) и учесть спин-орбитальное расщепление. Далее необходимо найти ядерные волновые функции Ф_i ≡ |i> и Ф_f ≡ |f> в начальном и конечном состояниях и их энергии E_i и E_f. Состояния Ф_i ядра в одночастичной модели оболочек называются конфигурациями и определяются расположением нуклонов по подоболочкам (для ¹⁶О в основном состоянии оно дано на рис. 13). Эти состояния есть не что иное, как удовлетворяющие условию антисимметрии комбинации произведений волновых функций отдельных нуклонов, т.е. детерминанты Слэтера. Для нахождения волновых функций отдельных нуклонов решается одночастичное нерелятивистское стационарное уравнение Шредингера с выбранной ядерной потенциальной ямой.
    Основному состоянию Ф₀ ≡ |0> в одночастичной модели оболочек соответствует такое расположение нуклонов, при котором все подоболочки заняты вплоть до поверхности (энергии) Ферми. Возбужденные состояния получаются перемещением одного или нескольких нуклонов на более высокие свободные или частично свободные подоболочки. Основное состояние рассматривают как вакуум, тогда при возбуждениях, вызванных перемещением нуклона из подоболочки j₁ в подоболочку j₂, возникает "дырка" (hole) в подоболочке j₁ и частица (particle) в подоболочке j₂. Образуется так называемое частично-дырочное (1р1h) или двухквазичастичное состояние. Если возбуждение связано с перемещением двух нуклонов, то возникает двухчастично-двухдырочное (2р2h) или четырехквазичастичное состояние и т.д. Фотовозбуждение ядра начинается с перехода j₁ → j₂, т.е. с 1р1h -состояния, которое, таким образом, является входным при ядерном фоторасщеплении. В одночастичной модели оболочек рассматриваются лишь такие состояния. Переходами из входного состояния в более сложные, т.е. процессами 1р1h → 2р2h → … пренебрегается.

         В рассматриваемом нами случае фоторасщепления ядра ¹⁶О основное состояние имеет спин, четность и изоспин = 0⁺, T₀ = 0, как и у любого другого четно-четного самосопряженного ядра. Поглощение им Е1-фотона приводит к возбуждению 1р1h-состояний с J_p = 1^-, T = 1. Именно такие квантовые характеристики имеют Е1-переходы (38). Энергии этих переходов и их дипольные силы в процентах к полной дипольной силе , т.е. вероятности переходов, приведены в табл. 4.
     Из табл. 4 следует, что максимум сечения фотопоглощения ядра ¹⁶О располагается при энергии 17.65 МэВ, а его ширина (энергетический интервал, в котором располагаются основные Е1-переходы) составляет около 2 МэВ. Экспериментальное сечение фотопоглощения для ядра ¹⁶О приведено на рис. 14. Видно, что оно довольно существенно отличается от расчётного. Его максимум лежит на 5 МэВ выше, а ширина (на половине высоты) около 5 МэВ. Значительное занижение энергии максимума ГДР одночастичной моделью оболочек - характерный и основной недостаток этой модели. Неизбежность такого занижения проще всего увидеть из выражения (3) для энергии 1ћω-переходов в осцилляторном потенциале. Эта формула дает оценку центра тяжести Е1-переходов (т.е. энергии 1ћω) существенно более низкую, чем близкая к опыту оценка (27). Отличие особенно велико для массивных ядер. Если для ¹⁶О формула (3) дает 1ћω = 16.3 МэВ, то для 208Рв из (3) получаем всего лишь 1ћω = 6.9 МэВ против экспериментального значения ≈13 МэВ.

Рис. 14. Экспериментальное сечение фотопоглощения для ядра ¹⁶О. Столбики дают дипольные силы Е1-переходов, полученные в многочастичной модели оболочек [20] (см. табл. 5)

   Отметим, что в оболочечных расчетах наиболее сильными оказываются Е1-переходы между состояниями с наибольшими орбитальными l и полными j моментами нуклонов. В данном случае это переход 1p_3/2 → 1d_5/2. Такие переходы оказываются особенно сильными по двум причинам. Во-первых, в этом случае радиальные волновые функции начального и конечного нуклонных состояний не имеют узлов и поэтому в радиальном интеграле перекрытия, входящем в матричный элемент <f|D_z|i> дипольного перехода (см. (40)), отсутствует интерференция, ослабляющая переход. Во-вторых, подоболочкам с радиальной волновой функцией без узлов соответствуют наибольшие орбитальные квантовые числа, т.е. такие подоболочки содержат наибольшее число нуклонов.
    В одночастичной модели оболочек, где не учитывается остаточное взаимодействие между нуклонами, нуклоны на одночастичных орбитах не взаимодействуют между собой, что является довольно существенным упрощением реальной ситуации. Остаточные силы заставляют нуклоны испытывать дополнительное взаимодействие между собой, не сводящееся к некоторому среднему полю. Это приводит к следующим важным эффектам, ярко проявляющимся именно в гигантском резонансе. Во-первых, энергии подоболочек в исходном ядре за счет дополнительных остаточных сил уже отличаются от одночастичных и поэтому изменяются и энергии самих одночастичных переходов. Во-вторых, нуклон, поглотивший Е1-фотон и перешедший в свободную подоболочку, продолжает за счет остаточных сил взаимодействовать с нуклонами заполненных оболочек, в остове которых образовалась дырка. Это взаимодействие также меняет энергию частично-дырочного перехода. Как показывает более детальное рассмотрение, энергия Е1-переходов нуклонов за счет этих двух эффектов в средних и тяжедых ядрах увеличивается почти в 2 раза. В-третьих, изначально возникшее 1р1h-возбуждение (например, 1p_3/2 → 1d_3/2) частично-дырочной частью остаточных сил может быть передано другой 1р1h-паре (скажем, 1p_3/2 → 2s_1/2), затем третьей и т. д. За счет такого "блуждания" Е1-возбуждения по разным частично-дырочным конфигурациям происходит эффективное вовлечение многих нуклонов ядра в процесс формирования гигантского резонанса, который приобретает статус коллективного. Учет остаточного взаимодействия между нуклонами отвечает тому варианту модели оболочек, который получил название многочастичной модели оболочек.
    Прежде чем продолжить рассмотрение этой модели, отметим, что в энергии 1р1h-переходов ядра ¹⁶О, приведенные в табл. 4, мы уже включили эффект изменения остаточными силами энергий подоболочек в исходном ядре (до поглощения им фотона). Для этого использована экспериментальная информация об уровнях соседних ядер, имеющих на один нуклон меньше (А = 15) и на один нуклон больше (А = 17). Дело в том, что дырочные (1h) состояния ядра А проявляют себя как одночастичные уровни ядра А-1, а энергии состояний типа "частица" (1p) ядра А - как соответствующие одночастичные уровни ядра А+1. Уровни того и другого типа в ядрах А-1 и А+1 как правило хорошо известны из опыта. Таким способом полученные энергии 1р1h-состояний являются как бы затравочными для более последовательных расчетов в рамках многочастичной модели оболочек и носят название "нулевого приближения". Энергии нулевого приближения в среднем уже существенно больше 1р1h-энергий одночастичной модели оболочек и сами по себе могут увеличивать энергию ГДР до полутора-двух раз (в данном случае ядра ¹⁶О, правда, это увеличение не слишком значительно, - примерно 1-2 МэВ). В этом состоит отличие нулевого приближения от одночастичной модели Уилкинсона [12].  

    Рассмотрим теперь более формально подход к проблеме ГДР в многочастичной модели оболочек.
    Итак, взаимодействие между нуклонами можно лишь приближенно свести к некоторому полю (потенциальной яме V), одинаковому для всех нуклонов. Наряду с этим полем между нуклонами действует дополнительное парное взаимодействие (парный потенциал v_αβ), принципиально не сводимое к одинаковому для всех нуклонов потенциалу. Это дополнительное взаимодействие и носит название остаточного. В соответствии с этим ядерный гамильтониан

(41)

где W_αβ - энергия взаимодействия нуклонов a и b, а _α и M_α- импульсы и массы нуклонов, может быть представлен в виде

где - гамильтониан одночастичной модели оболочек с одинаковым для всех нуклонов потенциалом V, а - потенциал остаточного взаимодействия.

     Запишем уравнение Шредингера для собственных функций ψ_n и собственных энергий E_n ядра

Для того, чтобы решить это уравнение, представим ψ_n в виде разложения

(44)

по полному (и известному) набору ядерных волновых функций Ф_k одночастичной модели оболочек. Они, очевидно, представляют собой (как правило, известные) решения уравнения . Подставляя (44) в (43), имеем

Используя свойство ортонормированности функций Ф_k, проведём очевидные преобразования с интегрированием по объёму ядра

, ,

или

(45)

где H_ik = <Ф_i|H|Ф_k>.
     Соотношения (45) образуют систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов . Для её решения необходимо знать величины E_n. Собственные значения E_n гамильтониана Н находятся приведением так называемой секулярной матрицы H_ik к диагональному виду [14]. Диагональные элементы такой матрицы и будут являться искомыми собственными значениями. Далее находятся коэффициенты . После того как коэффициенты  определены, задача нахождения волновых функций  ядерных состояний в многочастичной модели оболочек оказывается решенной, и вычисление характеристик ГДР (дипольных сил или вероятностей возбуждения этих состояний Е1-фотонами) уже не представляет труда (см. формулу (40)).  
     Разложение (44) ψ_n по собственным функциям Ф_k одночастичной модели оболочек означает, что возбужденные состояния ψ_n ядра в многочастичной модели оболочек являются смесью чистых оболочечных конфигураций Ф_k. Естественно, что полный набор функций Ф_k бесконечен и необходимо его разумным образом ограничить. В этом состоит основная проблема многочастичной модели оболочек. Если исходный гамильтониан ядра верен и если бы можно было составить и диагонализовать  в этом полном наборе состояний бесконечную секулярную матрицу H_ik, то мы получили бы корректное описание свойств ядра. Однако, это невозможно и вместо этого приходится удовлетворяться весьма малым набором базисных состояний. Если с физической точки зрения они выбраны настолько удачно, что охватывают важные виды возбуждений, которыми обладает ядро, то получаются результаты, которые разумно согласуются с экспериментом. В противном случае рассматриваемый подход терпит неудачу.
     В многочастичной модели оболочек предполагается, что можно ограничиться лишь теми состояниями Ф_k, которые имеют структуру  "одна частица - одна дырка", т.е. состояниями типа (38). Это предположение непосредственно следует из того, что микроскопические теории рассматривают процесс возбуждения ядра, как изменение состояния отдельного нуклона. Более того, среди возможных 1р1h-конфигураций, как правило, оставляются лишь самые низкие по энергии. Это означает, что при электрических дипольных возбуждениях учитываются переходы нуклона лишь в соседнюю оболочку, имеющие энергию ≈ ћω, и отбрасываются переходы через 2, 4 и т.д. оболочки, энергия возбуждения которых (3ћω, 5ћω и т.д.) много больше. Основное состояние ядра в многочастичной модели оболочек считается в первом приближении совпадающим с основным состоянием Ф₀ в одночастичной модели оболочек (H₀Ф₀ = E₀Ф₀).
     В следующем параграфе мы вернёмся к математической стороне задачи, используя схематический подход, впервые предложенный Брауном и Болстерли [15].

24.04.2014