4. Микроскопическая картина формирования коллективного дипольного состояния. Схематическая модель Брауна-Болстерли

      Вернемся к представлению ядерного гамильтониана в виде выражения (42). Мы отмечали в предыдущем параграфе, что остаточное взаимодействие между нуклонами в многочастичной модели оболочек учитывается двояко. Во-первых, с помощью так называемого «нулевого приближения», сдвигающего энергии невозбужденных нуклонов (подоболочек) по сравнению с одночастичными, и, во-вторых, с помощью учета взаимодействия между возбужденным (поглотившем фотон) нуклоном, т.е. «частицей» и оставшейся частью ядра, из которой нуклон был удален, т.е. «дыркой». Этот последний вид остаточного взаимодействия называется частично-дырочным и мы его обозначим w. Если v₀ та часть остаточного взаимодействия, которая ответственна за поправку к одночастичным энергиям, включенную в нулевое приближение, то потенциал остаточного взаимодействия можно записать в виде

Именно частично-дырочное взаимодействие приводит к смешиванию чистых оболочечных конфигураций Ф_k и к представлению ядерных волновых функций в виде (44).
       Запишем секулярное уравнение (45) в матричном виде с учетом (46):

(47)

 Здесь , а w_ik = <Ф_i|w|Ф_k>. Мы видим, что остаточное взаимодействие с одной стороны сдвигает одночастичные энергии  на величину <Ф_i|v₀|Ф_i>, что достигается использованием нулевого приближения, а с другой - на величину w_ii = <Ф_i|w|Ф_i>, являющуюся диагональной частью частично-дырочного взаимодействия.
      Диагонализуя секулярную матрицу, получаем энергии E_n ядерных уровней в многочастичной модели оболочек. При этом недиагональная часть частично-дырочного взаимодействия w_ik (i k) приводит к дополнительному сдвигу возбужденных состояний.
     Дальнейшее рассмотрение проведем в упрощенном варианте [15], получившем название схематической модели Брауна-Болстерли. Во-первых, предположим, что все w_ik одинаковы:

Тогда решение секулярного уравнения становится особенно простым и для коэффицентов  можно записать выражение

(49)

где N - число одночастичных волновых функций Ф_i, использованных в разложении (44). Суммируя обе части этого выражения по всем N частично-дырочным состояниям, получаем

 Или, так как , после сокращения этой суммы слева и справа, получаем в качестве решения секулярного уравнения

(50)

        Прежде чем перейти к анализу этого уравнения, полезно выяснить знак w₀. Эта величина - некий усредненный матричный элемент взаимодействия частицы с «дыркой». Такие матричные элементы вычисляются по стандартным формулам модели оболочек, путем сведения к матричным элементам двухчастичных (нуклон-нуклонных сил) W_αβ. При этом оказывается, что потенциалу притяжения между нуклонами (W_αβ < 0) соответствует отталкивание частицы и «дырки», т.е. w₀ > 0. 
      Перейдем теперь к анализу уравнения (50). Его удобно провести графически (рис. 15). Очевидно, собственные значения E_n даются пересечением горизонтальной прямой, отстоящей от оси энергий на единицу, с функцией , имеющей полюса при E = E_i (i = 1, 2, … N) и вид, сходный с графиком котангенса. Искомые энергии E_n (обозначенные на рис. 15 как E₁*, E₂*, …) заключены между невозмущенными частично-дырочным взаимодействием энергиями E_i за исключением состояния с наибольшей энергией E_N*, которое оказывается сдвинуто вправо (к бòльшим энергиям) из области энергий E_i невозмущенных конфигураций Ф_i.
       Чтобы получить представление о величине энергетического сдвига этого состояния и вероятности возбуждения его при поглощении Е1-фотона, сделаем предположение о приближенной вырожденности невозмущенных состояний, т.е. положим, что все E_i ≈  E. Тогда можно записать

(51)

Откуда получаем

 т.е. энергетический сдвиг обсуждаемого состояния пропорционален числу конфигураций Ф_i, участвующих в формировании гигантского резонанса.

Рис. 15. К анализу решений секулярного уравнения

      Теперь мы можем рассмотреть волновую функцию ψ_N сдвинутого состояния. Она является смесью частично-дырочных конфигураций и дается формулой (44):

(53)

 Оценим коэффициенты разложения , используя (49) и то, что E_i ≈  E:

(54)

 Отсюда следует, что все коэффициенты  одинаковы (= a^N = const) и для них условие нормировки  даёт N(a^N)² = 1 или a^N = (N)^-1/2. Таким образом,

(55)

Следовательно, все частично-дырочные конфигурации Ф_i дают одинаковый (как по величине, так и по знаку) вклад в волновую функцию сдвинутого состояния. Это одинаковое (конструктивное) участие отдельных частично-дырочных конфигураций в формировании состояния ψ_N, как мы увидим ниже, обеспечивает когерентный (усиливающий друг друга) вклад этих конфигураций в полную амплитуду, а значит и вероятность возбуждения этого состояния. По этой причине данное состояние часто называют когерентным дипольным или просто когерентным состоянием. Этот же смысл включают и в понятие дипольного состояния.
      Для остальных, состояний ψ_m (m = 1, 2, … N-1), энергии которых лежат в той же области, что и энергии исходных невозмущенных частично-дырочных конфигураций Ф_i, сумма коэффициентов разложения по этим конфигурациям . Т.е. эти конфигурации входят в ψ_m с различными по знаку коэффициентами, так что их вклад в амплитуду Е1-возбуждения оказывается взаимно ослабляющим друг друга (деструктивным). Покажем это. Во-первых, убедимся, что . Преобразуем, прежде всего, левую часть уравнения (45):

(56)

Здесь использованы символ Кронекера δ_ik (т.е. учтено свойство ортонормированности функций Ф_i), соотношения (46), (48) и то, что  (см. строчку под уравнением (47)).  С учетом преобразования (56) уравнение (45) приобретает вид

или

(57)

 Используя далее упрощающие рассмотрение условия вырожденности конфигураций Ф_i, т.е. E_m = E_i ≈ E и одинаковости w_ik (48), получаем

(58)

    Оценим вероятность возбуждения дипольного (когерентного) состояния. Из (40) следует, что эта вероятность пропорциональна |<ψ_N|D_z|Ф₀>|², т.е. определяется величиной матричного элемента <ψ_N|D_z|Ф₀>, где Ф₀ - волновая функция основного состояния ядра. С учетом (55) для матричного элемента <ψ_N|D_z|Ф₀> имеем

(59)

 Сделаем ещё одно упрощение, полагая, что все матричные элементы <Ф_i|D_z|Ф₀> дипольных переходов на невозмущенные остаточным взаимодействием одночастичные состояния одинаковы и равны ε (<Ф_i|D_z|Ф₀> = ε). Тогда

<ψN|Dz|Ф0> = ε и |<ψN|Dz|Ф0>|2 = ε2N.

(60)

В то же время для матричного элемента дипольного перехода в каждое из некогерентных состояний ψ_m имеем

<ψm|Dz|Ф0> = ·<Фk|Dz|Ф0> = ε = 0.

(61)

 Таким образом, когерентное состояние вбирает в себя всю силу (вероятность) Е1-перехода.
     Подведём итоги рассмотрения. Взаимодействие между частицей и дыркой помимо смешивания одночастичных конфигураций приводит к формированию выделенного когерентного состояния, сдвинутого вверх по энергии и вбирающего в себя основную часть вероятности Е1-перехода. Эти выводы получены при ряде упрощающих предположений, таких как вырожденность одночастичных конфигураций и одинаковость матричных элементов частично-дырочного взаимодействия (48) и дипольного перехода (<Ф_i|D_z|Ф₀> = ε). Конечно, для реальных ядер это является довольно существенной идеализаций. Тем не менее, как показывают детальные расчеты, использованные упрощения лишь более ярко подчеркивают обсуждаемые эффекты, не оказывая принципиального влияния на основные выводы. 
       Итак, многочастичная модель оболочек предсказывает появление сильных (когерентных) Е1-возбуждений  в области энергий существенно бòльших, чем энергии одночастичных Е1-возбуждений. Причем, как видно из (52), относительная величина энергетического сдвига этих состояний должна быть наибольшей в тяжелых ядрах, где число N возможных частично-дырочных возбуждений увеличивается (до 25-30). Как показывают конкретные численные расчеты (см., например, данные для ²⁰⁸Рb на рис. 16), учет этого взаимодействия приводит к правильному предсказанию положения максимума гигантского резонанса. В этой связи становится понятной причина неудачи одночастичной модели оболочек в объяснении энергии гигантского резонанса. Она кроется в пренебрежении остаточным взаимодействием между нуклонами. Впервые расчеты фоторасщепления ядер в рамках многочастичной модели оболочек были проведены Эллиотом и Флауэрсом в 1957 г. для ядра ¹⁶О [16]. Отметим также расчёты, выполненные теоретиками НИИЯФ МГУ для ⁴⁰Са [17] и ²⁰⁸Рb [18].

Рис. 16. Сечение фотопоглощения для ядра ²⁰⁸Рb. Сплошная линия - эксперимент [19]. Столбики - расчет по модели оболочек [18]: верхний рисунок - без учета смешивания конфигураций; нижний - с учетом смешивания конфигураций остаточными силами. Число конфигураций 30. Сдвиг максимума гигантского резонанса в результате диагонализации - 7 МэВ.

      Мы видим, что существенным результатом расчетов в рамках многочастичной модели оболочек явилось предсказание в области гигантского резонанса одного доминирующего возбуждения. Полученный результат практически близок к тому, что даёт простейшая коллективная модель, предсказывающая одну частоту резонансных колебаний всех протонов относительно всех нейтронов. Это, конечно, не случайно, так как когерентное дипольное состояние модели оболочек, являясь суперпозицией многих чистых частично-дырочных конфигураций, эффективно формируется за счет многих нуклонов. Вместе с тем дипольное состояние модели оболочек является далеко не полным аналогом, дипольного состояния коллективной (например, гидродинамической) модели. Действительно, во-первых, в оболочечное дипольное состояние дают вклад лишь нуклоны внешней оболочки (в немагических ядрах - двух внешних оболочек), а доля таких нуклонов быстро падает с увеличением массы ядра. Таким образом, у тяжелого ядра большинство нуклонов, согласно оболочечной картине вообще не вовлечено в процесс фотовозбуждения, что, конечно, никак не согласуется с сугубо коллективным образом Е1-колебаний. Во-вторых, даже в отношении внешних нуклонов, участвующих согласно модели оболочек в формировании ГДР, трудно в полной мере говорить о безусловной коллективности, так как когерентное состояние, по существу, остается в любой момент своего существования состоянием типа «одна частица - одна дырка», т.е. состоянием, которое возникло за счет перехода всего лишь одного нуклона. Коллективность когерентного состояния проявляется здесь довольно своеобразно - в быстром и равномерном «блуждании» частично-дырочного возбуждения по всем нуклонам внешней оболочки.
      Если отвлечься от квантовомеханического содержания полноценных оболочечных расчетов ядерного фоторасщепления и даже упрощенного рассмотрения в рамках схематического подхода Брауна-Болстерли, то можно предложить совсем простую механистическую картину возникновения когерентного дипольного состояния. Сопоставим отдельным частично-дырочным возбуждениям одночастичной модели оболочек несвязанные маятники. Каждому 1p1h-возбуждению отвечает маятник со своей собственной частотой. Общая картина фотовозбуждения выглядит как одновременное (и несвязанное) колебание всех этих маятников. Есть некая средняя частота (энергия) этих колебаний - максимум ГДР, и разброс этих частот, формирующий структуру и ширину ГДР. Теперь свяжем эти маятники (это эквивалентно учету остаточного взаимодействия между нуклонами). Тогда маятники начинают колебаться совместно, воспринимая воздействие со стороны других маятников, и оказывая со своей стороны воздействие на эти другие маятники. При достаточно жёсткой связи между маятниками легко представить результат такого взаимодействия маятников. Все маятники, в конце концов, начинают колебаться синхронно (с одной частотой) как один более массивный маятник и полная энергия колебаний, ранее распределенная по разным, несвязанным маятникам, оказывается теперь собранной этим новым массивным (и единственным) маятником. В результате такой синхронизации осталась одна частота более мощных колебаний - когерентное состояние.
        Вернёмся теперь к ядру ¹⁶О, фоторасщепление которого мы рассматривали выше в рамках одночастичной модели (табл. 4), т.е. без учета взаимодействия частица-дырка, приводящего, как мы сейчас понимаем, к смешиванию частично-дырочных конфигураций Ф_i и формированию когерентного дипольного состояния, сдвинутого в область более высоких энергий. Ещё раз отметим, что данные табл. 4 отличаются от тех, что дает истинная одночастичная модель, использованием так называемого «нулевого приближения», т.е. энергий подоболочек, взятых по экспериментальным данным уровней ядер, отличающихся от ¹⁶О на один нуклон (А = 15 и 17). Тем самым автоматически учитывается поправка на энергии Е1-переходов, обусловленная той частью остаточного взаимодействия между нуклонами, которая не приводит к смешиванию конфигураций Ф_i. Приведем теперь (табл. 5) данные расчета гигантского резонанса ядра ¹⁶О в рамках многочастичной модели оболочек, выполненного в работе [20].
       Как видно из табл. 5 и рис. 14, учет взаимодействия частица-дырка привел к «правильной» энергии гигантского дипольного резонанса. Более того, воспроизвелась общая форма (так называемая гросс-структура) резонанса в виде двух основных максимумов в сечении фотопоглощения при энергиях 22-23 и 24-25 МэВ. Первый из этих максимумов обусловлен главным образом переходом 1p_3/2→1d_5/2, второй - переходом 1p_3/2→1d_3/2, которые доминировали и в исходном одночастичном расчете (табл. 4) примерно с теми же вероятностями возбуждения.

Таблица 5. Энергии En, дипольные силы и волновые функции ψn состояний гигантского дипольного резонанса ядра 16О, рассчитанные в рамках многочастичной модели оболочек [20]. В качестве волновых функций приведены числовые коэффициенты  в разложении . Соответствующие этим коэффициентам 1р1h-конфигурации Фi и их энергии Ei в нулевом приближении даны в верхней строчке

       Оба обсуждаемых дипольных состояния (их энергии теперь 22.7 и 25.4 МэВ) оказались «вытолкнуты» частично-дырочным взаимодействием вверх по энергии соответственно примерно на 5 и 3 МэВ. Это можно считать основным эффектом смешивания конфигураций в ядре ¹⁶О. Что касается коллективности (когерентности) этих состояний в смысле схематического подхода Брауна-Болстерли, то она довольно слабо проявилась в структуре этих состояний. Оба главных дипольных состояния, по существу, сохранили свою одночастичную природу. Первое из них (22.7 МэВ) на (0.88)²×100 = 77%, а второе (25.4 МэВ) на (0.943)²×100 = 89% оказались состоящими из одной (всё той же, исходной) частично-дырочной конфигурации. Это является характерным и для других легких ядер вплоть до ядер с А = 40-50. Для всех них эффект коллективизации в многочастичных оболочечных расчетах выливается в основном в увеличение энергии максимума ГДР до экспериментально наблюдаемых значений. Вместе с тем неполнота этой коллективизации проявляется в возникновении не одного абсолютно доминирующего дипольного состояния, а часто нескольких сравнимых по величине Е1-состояний, заметно отстоящих друг от друга и формирующих гросс-структуру сечения фотопоглощения.  В средних и тяжелых ядрах степень когерентности дипольного состояния возрастает за счет увеличения общего числа частично-дырочных переходов (до 25-30) и гигантский дипольный резонанс действительно собирается, по-существу, в одно главное состояние, в котором в сравнимых пропорциях смешаны многие частично-дырочные конфигурации. Так, например, в ядре ²⁰⁸Рb основной уровень, ответственный за ГДР, является суперпозицией 15-20 частично-дырочных конфигураций со сравнимыми весами.
       Выражение (52) позволяет оценить масштаб величины остаточного частично-дырочного взаимодействия w₀ для различных ядер. Увеличение ΔЕ энергии гигантского резонанса за счет частично-дырочного взаимодействия дается соотношением

 где N - число частично-дырочных конфигураций. Для ¹⁶О N = 5 и  ΔЕ ≈ 5 МэВ. Откуда w₀(¹⁶О) ≈ 1 МэВ. Учитывая, что для ⁴⁰Са N = 8 и ΔЕ ≈ 5 МэВ, а для ²⁰⁸Рb N = 30 и  ΔЕ ≈ 7 МэВ, получаем w₀(⁴⁰Са) ≈ 0.6 МэВ, а для ²⁰⁸Рb w₀(²⁰⁸Рb) ≈ 0.2 МэВ. Таким образом, с увеличением числа нуклонов w₀ уменьшается, но это компенсируется ростом числа N частично-дырочных конфигураций.
    Описанный в данном параграфе микроскопический механизм формирования коллективного Е1-возбуждения, имеет универсальный характер, т.е. применим и к возбуждениям другого типа и мультипольности - М1, Е2, … . Все виды мультипольных гигантских резонансов с точки зрения модели оболочек возникают как возбуждения типа «одна частица -  одна дырка», сдвинутые по энергии остаточным взаимодействием, смешанные и собранные его «частично-дырочной» частью в одно когерентное состояние - микроскопический аналог сугубо коллективного состояния. В зависимости от характера движения протонов и нейтронов в коллективном возбуждении когерентное состояние либо выталкивается вверх по энергии, либо вниз. Для реальных двухчастичных сил частично-дырочное взаимодействие сводится к отталкиванию, когда протоны и нейтроны двигаются в противофазе (изовекторные или поляризационные возбуждения), и притяжению - когда их движение осуществляется в фазе (изоскалярные возбуждения). Последнее имеет место, например, для синфазных М1₀- и Е2₀-возбуждений.
     В заключение данного параграфа отметим, что мы рассмотрели тот вариант многочастичной модели оболочек, который, будучи примененным к описанию коллективных состояний, носит название частично-дырочной модели в приближении Тамма-Данкова. Она характеризуется двумя существенными предположениями: 1) принимается, что основное состояние представляет собой конфигурацию, в которой все одночастичные уровни (подоболочки) максимально заполнены ниже уровня Ферми; 2) пространство одночастичных конфигураций Ф_i  ограничивается, как правило, самыми низкими по энергии 1р1h-состояниями (1ћω в случае Е1-возбуждений). Помимо упрощения реальной картины,  реализация такой модели приводит к определенным «идеалогическим» трудностям. Так, основное состояние ядра в таком подходе не является собственной функцией оператора полного импульса ядра. Это приводит к тому, что становится возможным смешивание «духового» (spurious) состояния, обусловленного движением центра масс ядра, с обычными возбуждениями ядра, описываемыми частично-дырочными конфигурациями. Духовые состояния соответствуют движению невозбужденного ядра как целого в потенциальной яме.
    В настоящее время для теоретической интерпретации гигантских резонансов в основном используется более совершенная модификация частично-дырочной модели, заимствованная из методов развитых для описания электронного газа. В ней дополнительно учитывается поляризация вакуума (корреляции в основном состоянии) по методу так называемых случайных (или хаотических) фаз. Дело в том, что в основном состоянии благодаря взаимодействию уже могут существовать примеси частично-дырочных возбуждений, т.е. допускается ситуация, когда в ядре в любой момент времени может существовать любое число возбужденных частично-дырочных пар. В этом случае при поглощении ядром фотона наряду с рождением новой пары частица-дырка может происходить и аннигиляция уже существовавшей в ядре другой такой пары. Таким образом, в рассмотрение можно включить некоторые возбуждения с более чем одной парой частица-дырка.
      Такое обобщение частично-дырочной модели можно сделать несколькими способами (квази-бозонный формализм, метод функций Грина и зависящий от времени метод Хартри-Фока). В нижайшем порядке все эти способы приводят к приближению хаотических фаз. Мы не будем рассматривать этот метод, отсылая интересующегося читателя к монографии [21] и лекциям Жилле [22]. Подчеркнем лишь, что для изовекторных (т.е. с изоспином Т = 1) возбуждений, к которым и относится гигантский дипольный резонанс, поправки, вносимые приближением хаотических фаз, не влияют существенно на характеристики ГДР и тем самым не меняют основных выводов частично-дырочной модели в простейшем варианте Тамма-Данкова. Приближение хаотических фаз особенно важно, если рассматривается случай притяжения частицы и дырки (изоскалярные возбуждения), когда коллективный уровень заметно опускается по сравнению с нулевым приближением и вакуум сильно поляризуется.

24.04.2014