1.1. Множества.

    Напомним некоторые обозначения, часто употребляемые в математике, и дополним их некоторыми новыми, быть может, не встречавшимися раньше читателю. Большими буквами, как правило, будем обозначать множества: A, B, C, X, Y, ..., а малыми - их элементы: a, b, c, x, y, ... и т. д. Запись A = {a,b,c, ...} означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, ..., а запись A = {x: ...} или A = {x| ...} означает, что множество A состоит из всех таких элементов x, которые удовлетворяют условию, написанному после двоеточия или соответственно после вертикальной черты (двоеточие и вертикальная черта в этом случае читаются как "таких что"). Отметим следующее: запись A = {a} может означать либо, что множество A состоит из одного элемента a, либо, что оно состоит из множества каких-то элементов, каждый из которых обозначен буквой a. Какой именно из указанных двух случаев имеет место, будет всегда ясно из контекста. Через a A  и A$A\ni a$ a обозначается принадлежность элемента a множеству A, а aA или A$A\ni a$ a означает, что элемент a не принадлежит множеству A. Для удобства вводится понятие пустого множества, которое обозначается символом $\emptyset $. Пустое множество не содержит элементов. Символы AB и AImage21.gif (58 bytes)B выражают собой включение множества A в множество B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. В частности, здесь возможен случай A = B. Если AB и AB, то A называется собственным подмножеством множества B.

Рис.1
Рис. 1

    Символом AB обозначается объединение множеств A и B; т. е. множество всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B, символом Acrs.gif (60 bytes)B - пересечение множеств A и B, т. е. множество всех элементов, принадлежащих одновременно A и B; символом A \ B - разность множеств A и B, т. е. множество всех элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих множеству B (рис. 1).
    В случае семейства множеств {}, 1_1.gif (843 bytes) , где 1_1.gif (843 bytes) - некоторое множество индексов , символом обозначается объединение всех множеств , 1_1.gif (843 bytes), а символом - их пересечение.
    Вместо слов "существует", "найдется", "имеется" в логических формулах употребляется символ существует (перевернутая первая буква английского слова exist - существовать), называемый символом существования, а вместо слов "любой", "каждый", "произвольный", "какой бы ни" - символ Image24.gif (61 bytes) (перевернутая первая буква английского слова all - "все"), называемый символом всеобщности. Так, запись существуетx читается "существует x", а запись Image24.gif (61 bytes)x - "любое x" или "для любого x" или "для всех x". Соответственно запись существуетx, существуетy, или, короче, существуетx,y означает "существуют x и y", а запись Image24.gif (61 bytes)x, Image24.gif (61 bytes)y, или, короче, Image24.gif (61 bytes)x,y - "любые x и y" или "для любых x и y". Знак означает "следует", "вытекает", а знак - "равносильно". В этих обозначениях формула

AB (x Ax B)

означает, что утверждение "множество A является подмножеством множества B" равносильно утверждению "из того, что элемент x принадлежит множеству A, следует, что он принадлежит множеству B". Символ означает определение выражения, стоящего слева от этого символа (def - первые три буквы английского слова definition, что означает "определение"). Например, определение объединения и пересечения системы множеств {} можно записать в виде формул следующим образом:

 {x: существует, x}, {x: Image24.gif (61 bytes), x}.

    Определение часто используемого в математике символа для обозначения суммы слагаемых ak можно записать следующим образом:

  a1 + a2 + ... +ak.

    Знак тождества между двумя уже ранее введенными символами означает, что они обозначают один и тот же объект. Например,

  a1 + a2 + ... +ak.

    Наконец, символами и будут отмечаться начало и конец доказательства высказываемого утверждения.

Оглавление  Функции