Напомним некоторые
обозначения, часто употребляемые в математике, и
дополним их некоторыми новыми, быть может, не
встречавшимися раньше читателю. Большими
буквами, как правило, будем обозначать множества:
A, B, C, X, Y, ..., а малыми - их элементы: a, b,
c, x, y, ... и т. д. Запись A = {a,b,c, ...}
означает, что множество A состоит из элементов a,
b, c, ..., а запись A = {x: ...}
или A = {x| ...} означает, что
множество A состоит из всех таких элементов x,
которые удовлетворяют условию, написанному
после двоеточия или соответственно после
вертикальной черты (двоеточие и вертикальная
черта в этом случае читаются как "таких
что"). Отметим следующее: запись A = {a}
может означать либо, что множество A
состоит из одного элемента a, либо, что оно
состоит из множества каких-то элементов, каждый
из которых обозначен буквой a. Какой
именно из указанных двух случаев имеет место,
будет всегда ясно из контекста. Через a A и A
a обозначается
принадлежность элемента a множеству A, а
a
A или A
a означает, что
элемент a не принадлежит множеству A.
Для удобства вводится понятие пустого множества,
которое обозначается символом
. Пустое множество не
содержит элементов. Символы A
B
и A
B выражают
собой включение множества A в множество B.
В этом случае множество A называется подмножеством
множества B. В частности, здесь возможен
случай A = B. Если A
B
и A
B, то A называется собственным
подмножеством множества B.
|
Символом AB
обозначается объединение множеств A и B;
т. е. множество всех элементов, каждый из
которых принадлежит хотя бы одному из множеств A
и B, символом A
B - пересечение множеств A
и B, т. е. множество всех элементов,
принадлежащих одновременно A и B;
символом A \ B - разность
множеств A и B, т. е. множество всех
элементов, принадлежащих множеству A, но не
принадлежащих множеству B (рис. 1).
В случае семейства множеств {},
, где
- некоторое
множество индексов
, символом
обозначается объединение
всех множеств
,
, а символом
- их пересечение.
Вместо слов
"существует", "найдется", "имеется"
в логических формулах употребляется символ (перевернутая первая
буква английского слова exist - существовать),
называемый символом существования, а вместо
слов "любой", "каждый",
"произвольный", "какой бы ни" - символ
(перевернутая первая
буква английского слова all - "все"),
называемый символом всеобщности. Так,
запись
x
читается "существует x", а запись
x - "любое x"
или "для любого x" или "для всех x".
Соответственно запись
x,
y, или, короче,
x,y означает "существуют x
и y", а запись
x,
y, или, короче,
x,y - "любые x и y"
или "для любых x и y". Знак
означает "следует",
"вытекает", а знак
-
"равносильно". В этих обозначениях формула
AB
(x
A
x
B)
означает, что утверждение "множество A
является подмножеством множества B"
равносильно утверждению "из того, что элемент x
принадлежит множеству A, следует, что он
принадлежит множеству B". Символ означает определение выражения,
стоящего слева от этого символа (def - первые три
буквы английского слова definition, что означает
"определение"). Например, определение
объединения
и
пересечения
системы
множеств {
} можно
записать в виде формул следующим образом:
{x:
, x
},
{x:
, x
}.
Определение часто используемого в
математике символа
для обозначения суммы слагаемых ak
можно записать следующим образом:
|
Знак тождества между двумя уже ранее введенными символами означает, что они обозначают один и тот же объект. Например,
|
Наконец, символами и
будут
отмечаться начало и конец доказательства
высказываемого утверждения.