1.2. Функции

    Наряду с понятиями множества и элемента в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие неявным образом присутствует и в понятии множества, поскольку понятие множества предполагает, что каждый элемент данного множества обладает определенным свойством, отличающим его от элементов, не входящих в это множество. Иначе говоря, каждому из рассматриваемых элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является этот элемент элементом данного множества или нет.
    Среди всевозможных соответствий важную роль в математике играют соответствия, называемые функциями. Опишем эти соответствия.
    Пусть заданы непустые множества X и Y. Соответствие, при котором каждому элементу xX соответствует единственый элемент y Y, называется функцией, заданной (определенной) на множестве X со значениями в множестве Y, или отображением множества X в множество Y. Такая функция (такое отображение) обозначается с помощью некоторой буквы, например, буквы f одним из следующих способов:

y = f(x), x X, или   f: XY, или   f: xy, x X, y Y.

    Наряду с терминами "функция", "отображение" употребляются равнозначные термины "преобразование", "морфизм".
    Элемент x X называется независимым переменным или аргументом, а соответствующий элемент y Y - зависимым переменным. Множество X называется множеством задания (определения) функции f, а множество тех y Y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x X, - множеством значений функции f и обозначается Y_f . Очевидно, Y_f  Y. Если Y_f  = Y, то отображение  f называется отображением X на множество Y или сюрьекцией. Если при x x' выполняется неравенство f(x) f(x'), то отображение f называется взаимно однозначным отображением X в Y или инъекцией. Если f является взаимно однозначным отображением X на Y, т. е. является одновременно сюръекцией и инъекцией, то оно называется биекцией.
    Если задано отображение f: X Y, то элементы множеств X и Y часто называются точками.
    Символом  f(x) обозначается как сама функция, так и элемент, соответствующий элементу  x при этой функции. Обозначение одним и тем же символом  f(x) как самой функции, так и ее значения в точке  x не приводит к недоразумениям, так как всегда из контекста ясно, о чем идет речь.
    Значение функции в точке x обозначается также  f(x)|_xo.
    Если f: XY и E - подмножество множества X, то функция f_E: XY , такая, что для каждого xE выполняется равенство

называется сужением функции на множество E. Таким образом, сужение f_E функции f принимает в точках x множества E те же значения, что и функция  f. Иногда сужение f_E функции f   обозначают тем же символом  f, что и саму исходную функцию, и называют функцией f на множестве E.
    Пусть заданы функция f: X Y и A X. Множество всех yY, являющихся значениями функции f в точках
x X, называется образом множества A при отображении f и обозначается  f(A), т. е.

В частности, образ множества X есть множество значений функции: f(X) = Y_f.
    Если BY, то множество всех тех точек x X, значения функции  f   в которых принадлежат множеству B, называется прообразом множества B. То есть прообразом множества B является множество

Пусть Z - некоторое множество и Y = (Z) - множество всех его подмножеств. Если f: X Y, то значение  f(x) функции  f в точке x X является в этом случае некоторым подмножеством множества Z: f(x) Z. Если среди подмножеств  f(x), x X, имеется по крайней мере одно непустое множество, содержащее более одного элемента, то функция  f называется многозначной функцией. При этом всякий элемент z Z, принадлежащий множеству  f(x) Z, т. е. z f(x), часто также называется значением функции f в точке x X.
    Если каждое из множеств f(x) состоит только из одного элемента, то функцию f называют однозначной функцией.
    Пусть (X) - множество всех подмножеств множества X. Функция, определенная на множестве Y_f  =  f(X)   значений функции f: X Y, с областью значений, принадлежащей множеству (X), и ставящая в соответствие каждому элементу y Y_f его прообраз {x:  f(x) = y}, называемся обратной к  f функцией и обозначается через   f ^-1: Y_f (X). Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией.
    Если отображениевзаимно однозначно (т. е. является инъекцией), то обратная функция является однозначной.
    Если отображение  f является взаимно однозначным отображением X на Y, то обратное отображение  f ^-1 является взаимно однозначным отображением Y на X (т. е. если f: X Y - биекция, то и  f ^-1: Y X - биекция), и поэтому  f является в свою очередь отображением, обратным к отображению  f ^-1. Это означает, что при любом x X имеет место равенство f ^-1 f(x) = x, а при любом  y f(X) - равенство  f ^-1 f(y) = y. При этом для заданного инъективного отображения  f: X Y каждое из указанных двух условий однозначно определяет обратное отображение f ^-1. Если  f: X Y и g: Y Z, то функция F: X Z, ставящая в соответствие каждому элементу x X элемент F(x) = g(f(x)), называется композицией функций f и g (иногда - суперпозицией этих функций или сложной функцией) и обозначается gf. Таким образом, согласно определению для каждого x X имеет место равенство

Множества  Оглавление Действительные числа