ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Предисловие

Гл.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

• Функции и множества
  • 1.1. Множества
  • 1.2. Функции
• Числа
  • 2.1. Действительные числа
  • 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности
  • 2.3. Комплексные числа
  • 2.4. Перестановки и сочетания
  • 2.5. Формула бинома Ньютона
• Элементарные функции
  • 3.1. Числовые функции
  • 3.2. Понятие элементарной функции
  • 3.3. Многочлены
  • 3.4. Разложение многочленов на множители
  • 3.5. Рациональные дроби
  • 3.6. Графики рациональных функций
  • 3.7. Степенная функция
  • 3.8. Показательная и логарифмическая функции
  • 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
  • 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков
• Числовые множества
  • 4.1. Ограниченные и неограниченные множества
  • 4.2. Верхняя и нижняя грани
  • 4.3*. Арифметические свойства верхних и нижних граней
  • 4.4. Принцип Архимеда
  • 4.5. Принцип вложенных отрезков
  • 4.6*. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел
• Предел числовой последовательности
  • 5.1. Определение предела числовой последовательности
  • 5.2. Единственность предела последовательности
  • 5.3. Переход к пределу в неравенствах
  • 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей
  • 5.5. Бесконечно малые последовательности
  • 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями
  • 5.7. Монотонные последовательности
  • 5.8. Принцип компактности
  • 5.9. Критерий Коши
  • 5.10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями
  • 5.11. Предел последовательности комплексных чисел
• Предел и непрерывность функций
  • 6.1. Первое определение предела функции
  • 6.2. Определение непрерывности функции
  • 6.3. Второе определение предела функции
  • 6.4. Условие существования предела функции
  • 6.5. Предел функции по объединению множеств
  • 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность
  • 6.7. Свойства пределов функций
  • 6.8. Бесконечно малые
  • 6.9. Непрерывные функции
  • 6.10. Классификация точек разрыва
  • 6.11. Пределы монотонных функций
  • 6.12. Критерий Коши существования предела функции
  • 6.13. Предел и непрерывность композиции функций
  • 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента
• Свойства непрерывных функций
  • 7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений
  • 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций
  • 7.3. Обратные функции
  • 7.4. Равномерная непрерывность
• Непрерывность элементарных функций
  • 8.1. Многочлены и рациональные функции
  • 8.2. Показательная и логарифмическая функции
  • 8.3. Степенная функция
  • 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
  • 8.5. Элементарные функции
• Сравнение функций
  • 9.1. Замечательные пределы
  • 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки
  • 9.3. Эквивалентные функции
• Производная и дифференциал
  • 10.1. Определение производной
  • 10.2. Дифференциал функции
  • 10.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
  • 10.4. Физический смысл производной и дифференциала
  • 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
  • 10.6. Производная обратной функции
  • 10.7. Производная и дифференциал сложной функции
  • 10.8. Гиперболические функции и их производные
  • 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента
• Производные и дифференциалы высших порядков
  • 11.1. Производные высших порядков
  • 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически
  • 11.3. Дифференциалы высших порядков
• Дифференциальные теоремы о среднем
  • 12.1. Теорема Ферма
  • 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
• Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
  • 13.1. Неопределенности вида
  • 13.2. Неопределенности вида
• Формула Тейлора
  • 14.1. Вывод формулы Тейлора
  • 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора
  • 14.3*. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов
• Исследование функций
  • 15.1. Признак монотонности функций
  • 15.2. Локальные экстремумы функций
  • 15.3. Выпуклость и точки перегиба
  • 15.4. Асимптоты
  • 15.5*. Построение графиков функций
• Векторные функции
  • 16.1. Предел и непрерывность векторной функции
  • 16.2. Производная и дифференциал векторной функции
• Длина кривой
  • 17.1. Понятие кривой
  • 17.2. Касательная к кривой
  • 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые
• Кривизна кривой
  • 18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой
  • 18.2. Формула для кривизны
  • 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
  • 18.4. Центр кривизны. Эволюта
  • 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой

Гл.2. Интегральное исчисление функций одной переменной

• Определение и свойства неопределенного интеграла
  • 19.1. Первообразная и неопределенный интеграл
  • 19.2. Основные свойства интеграла
  • 19.3. Табличные интегралы
  • 19.4. Формула замены переменной
  • 19.5. Формула интегрирования по частям
• Интегрирование рациональных дробей
  • 20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей
  • 20.2. Общий случай
• Интегрирование некоторых иррациональностей
  • 21.1. Рациональные функции от функций
  • 21.2. Интегралы вида
  • 21.3. Интегралы от дифференциального бинома
• Интегрирование некоторых трансцендентных функций
  • 22.1. Интегралы
  • 22.2. Интегралы
  • 22.3. Интегралы 
    22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям
• Определенный интеграл
  • 23.1. Определенный интеграл Римана
  • 23.2. Ограниченность интегрируемых функций
  • 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу
  • 23.4. Нижний и верхний интегралы
  • 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций
  • 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций
• Свойства интегрируемых функций
  • 24.1. Основные свойства определенного интеграла
  • 24.2. Интегральная теорема о среднем
• Определенный и неопределенный интегралы
  • 25.1. Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования
  • 25.2. Существование первообразной
• Формулы замены переменной и интегрирования по частям
  • 26.1. Формула замены переменной
  • 26.2. Формула интегрирования по частям
• Площади и объемы
  • 27.1. Понятие площади плоского множества
  • 27.2*. Пример неограниченного множества положительной конечной площади
  • 27.3. Понятие объема
• Геометрические и физические приложения определенного интеграла
  • 28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций
  • 28.2. Вычисление площадей в полярных координатах.
  • 28.3. Вычисление длины кривой
  • 28.4. Площадь поверхности вращения
  • 28.5. Объем тел вращения
  • 28.6*. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей
• Несобственные интегралы
• 29.1. Определение несобственных интегралов
• 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
• 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
• 29.4. Критерий Коши
• 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы
• 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля
• 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента

Гл.3. Ряды

• Числовые ряды
  • 30.1. Определение ряда
  • 30.2. Свойства сходящихся рядов
  • 30.3. Критерий Коши
  • 30.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
  • 30.5. Знакочередующиеся ряды
  • 30.6. Абсолютно сходящиеся ряды
  • 30.7. Условно сходящиеся ряды
  • 30.8*. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля
  • 30.9. Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда
  • 30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических
• Функциональные последовательности и ряды
  • 31.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
  • 31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
  • 31.3*. Специальные признаки равномерной сходимости рядов
  • 31.4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
• Cтепенные ряды
  • 32.1. Радиус сходимости и круг сходимости
  • 32.2. Аналитические функции в действительной области 
  • 32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора 
  • 32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
  • 32.5. Формула Стирлинга

Предметный указатель

Математики

04.07.03