5.2. Единственность предела последовательности

    Докажем теорему о единственности предела последовательности.

    Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

 Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2, ..., что = a  и = b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U  V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие. 

Определение предела числовой последовательности  Оглавление    Переход к пределу в неравенствах