5.3. Переход к пределу в неравенствах

    Сформулируем и докажем три часто используемые свойства пределов последовательностей точек расширенной числовой прямой, связанные с равенствами и неравенствами для членов последовательностей.
    1^o. Если для всех n = 1, 2, ... имеет место равенство x_n = a , то =  a.
Действительно, в этом случае для любой окрестности U(a) точки a в качестве номера , указанного в определении предела последовательности, можно взять = 1, так как для всех n = 1, 2, ... имеет место включение

x_n = a U(a)

     2^o. Если x_n = , y_n = , z_n = ,

и

то

Зафиксируем произвольно окрестность U(a) точки a. В силу условий (5.14) существует такой номер n₁, что для всех номеров n > n₁ выполняется включение

и такой номер n₂, что для всех номеров n > n₂ выполняется включение

    Положим n₀ = max {n₁, n₂}. Тогда при n > n₀ будут одновременно выполняться включения (5.16) и (5.17), а следовательно, [x_n, z_n] U(a) (рис. 50). Но в силу условия (5.13) y_n   [x_n, z_n], поэтому для всех n > n₀ будет выполняться включение y_n  U(a) а это и означает справедливость утверждения (5.15). 

Следствие. Если x_n <  y_n, x_n  , y_n  , n = 1, 2, ..., и

то

а если y_n = -, то = -.
Пусть выполнено условие (5.18). Рассмотрим вспомогательную последовательность y_n = +, n = 1, 2, ...; тогда, очевидно, для последовательностей {x_n}, {y_n}, {z_n} выполняются условия (5.13) и (5.14) при а = +, а поэтому в силу (5.15) имеет место и равенство (5.19). Аналогично рассматривается и случай y_n = -. 
    3^o. Если x_n  ,  y_n  , n = 1, 2, ...,

и

то существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

 Пусть U = U(a) и V = V(b) - какие-либо непересекающиеся окрестности точек a и b (см. рис. 49); тогда из условия a < b следует, что для любых x U и y V выполняется неравенство

В силу условия (5.20) существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ выполняются включения

а поэтому согласно (5.23) имеют место неравенства (5.22). 

    Следствие 1. Пусть a, b и x_n, n = 1, 2, ..., принадлежат . Если = a и a < b (a > b), то существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

Пусть a < b. Рассмотрим вспомогательную последовательность y_n = b, n = 1, 2, ...; тогда для последовательностей {x_n} и {y_n} выполняются условия (5.20) и (5.21), а следовательно, и условие (5.22), которое в данном случае превращается в (5.25). Аналогично рассматривается случай a > b. 

    Следствие 2. Если  = a, y_n = b, x_n  , y_n  , n = 1, 2, ..., a , b , и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

то

Пусть выполнено условие (5.26). Если бы оказалось, что a < b, согласно свойству 3^o нашелся бы такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ выполнялось бы неравенство x_n < y_n, что противоречит условию (5.26). Следовательно, выполняется неравенство (5.27). 

    Из следствия 2, в частности, вытекает, что если x_n > b, n = 1, 2, ..., и = a, то имеет место неравенство a > b.
В самом деле, если взять вспомогательную стационарную последовательность  y_n = b, n = 1, 2, ..., n = 1, 2, ..., то для последовательностей {x_n} и {x_n} будут выполняться условия следствия 2, т. е. = a  ,
x_n  , n = 1, 2, ..., и для всех n = 1, 2, ... справедливы неравенства

x_n > b = y_n.

Поэтому согласно следствию 2 имеет место и неравенство

    Следствие 2 означает, что если последовательности {x_n}и {y_n}имеют пределы = a, y_n = b,
a  ,  b  , то в неравенствах x_n > y_n и x_n > y_n можно переходить к пределу, причем даже в первом случае в результате получается, вообще говоря, нестрогое неравенство

a = > y_n = b.

    Пример. Если для всех n = 1, 2, ... выполняется включение x_n U(a,1/n), x_n  , где либо a  , либо
a = , либо a = +, либо a = -, то

= a.

В самом деле, если a  , то условие x_n U(a,1/n) равносильно условию |x_n - a| < 1/n, а так как |x_n - a| > 0 и 1/n = 0, то согласно свойству 2^o имеет место равенство |x_n - a| = 0. Отсюда сразу и следует, что

= a.

    Если a = , то условие x_n U(a,1/n) равносильно условию |x_n| > n. Отсюда в силу следствия из свойства 2^o имеем |x_n| = +. Это и означает, что = .
    Аналогично рассматриваются случаи a = + и a = -. 
    В дальнейшем в этом параграфе будут рассматриваться только последовательности, все члены которых являются числами, т. е. только числовые последовательности, а не последовательности элементов расширенной числовой прямой, как это делалось выше.

Единственность предела последовательности  Оглавление    Ограниченность сходящихся последовательностей