30.8*. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля

    Рассмотрим одно преобразование конечных сумм вида a_jb_j , принадлежащее Абелю и часто весьма полезное при исследовании сходимости рядов.
    Пусть a_j C, b_j C, B_j = b₁ + ... + b_j,  j = 1, 2, ..., n и, следовательно, B₁ = b₁, b_j = B_j - B_j-1, j = 2, 3, ..., n. Тогда

a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n = a₁B₁ + a₂(B₂ - B₁)+ ... + a_n(B_n - B_n-1) =    
                  = (a₁ - a₂)B₁ + (a₂ - a₃)B₂ + ... +(a_n-1 - a_n)B_n-1 + a_nB_n, 

или, используя знак суммирования,

    Это равенство называется преобразованием Абеля суммы a_jb_j . Если его переписать в виде

a_j(B_j - B_j-1) = a_nB_n - a₁B₁ - (a_j+1 - a_j)B_j,

то видно, что его можно рассматривать как дискретный аналог интегрирования по частям.
    В дальнейшем числа a_j будут действительными, а b_j, вообще говоря, комплексными.
    Лемма 3 (Абель). Если для всех j = 1, 2, ..., n - 1 выполняются неравенства

и для всех j = 1, 2, ..., n - неравенства

то

    Имеем

a_jb_j |a_j - a_j+1||B_j| + |a_n||B_n| B|a_j - a_j+1| + |a_n|  Ba_j - a_j+1 + |a_n| =
= B(|a₁ - a_n| + |a_n|) < B(|a₁| + 2|a_n|).

Мы воспользовались здесь очевидным равенством

|a_j - a_j+1| = |(a₁ - a₂) + (a₂ - a₃) + ... +(a_n-1 - a_n)| = |a₁ - a_n|.  

    Теорема 16 (признак Дирихле). Если последовательность {a_n} монотонная и

а последовательность частичных сумм ряда b_n ограничена, то ряд

сходится.
    Из ограниченности последовательности частичных сумм B_n =  b_k, n = 1, 2, ..., ряда b_n следует, что существует такое число B > 0, что для всех n = 1, 2, ... выполняются неравенства |B_n| < B и, следовательно, для всех n = 2, 3, ... и всех p = 0, 1, ... - неравенства

    Зафиксируем произвольно > 0. В силу условия (30.76) существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ имеет место неравенство

Поэтому для всех n > n₀ и всех p = 0, 1, 2, ... будем иметь

a_n+kb_n+k 2B(|a_n| + 2|a_n+p|) 2B( + 2) = ,

т. е. ряд (30.77) удовлетворяет критерию Коши сходимости рядов и, следовательно, сходится. 

    Теорема 17 (признак Абеля). Если последовательность {a_n} ограничена и монотонна, а ряд

сходится, то сходится и ряд

    Из ограниченности и монотонности последовательности {a_n} следует существование конечного предела a_n = a, и потому последовательность {a_n -  a} монотонная и стремится к нулю. Из сходимости же ряда (30.80) следует, что последовательность {B_n} его частичных сумм B_n = b_k ограниченная. Теперь имеем

a_nb_n = [(a_n -  a) + a]b_n = (a_n -  a)b_n + ab_n.

    Второй ряд в правой части равенства сходится по условию теоремы, а первый - в силу признака Дирихле. Поэтому сходится и ряд, стоящий в левой части равенства, т. е. ряд (30.81). 
    Примеры.
    1. Ряд

сходится. Действительно, последовательность a_n = 1/n, n = 1, 2, ..., монотонно убывая, стремится к нулю, а

,    2m,   m = 0, +1, ...

Поэтому

т. е. при 2m,  m = 0, +1, ... , все рассматриваемые суммы ограничены. Отсюда в силу признака Дирихле следует, что при 2m,  m = 0, +1, ..., ряд (30.82) сходится. Он сходится, очевидно, и при = 2m,  m = 0, +1, ..., так как в этом случае все члены его обращаются в нуль.
    Итак, ряд (30.82) сходится при всех R.
    2. Ряд

сходится по признаку Абеля, ибо сходится ряд (30.82), а последовательность {cos /n} ограниченна и монотонна.

Условно сходящиеся ряды  Оглавление  Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда