30.9. Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда

    Для того чтобы выяснить, сходится или расходится данный ряд u_n, бывает полезно разложить с помощью формулы Тейлора члены ряда u_n по степеням 1/ при подходящем показателе > 0, т. е. представить в виде (см. п. 14.2)

где число m выбрано так, что m > 1. Тогда ряд v_n с членами O(1/) сходится абсолютно по признаку сравнения, так как существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство
|v_n| < c/ (см. (9.20)), и ряд c/, m > 1, сходится.
    Таким образом, сходимость данного ряда u_n сводится к исследованию сходимости рядов

_n,k/,      k = 0, 1, ..., m - 1.

    Примеры.
    1. Рассмотрим ряд с общим членом u_n = ln cos (1/n).
Используя разложение функций cos и ln по формуле Тейлора (см. п. 14.2), получим

u_n = ln (1 - 1/2n² + O(1/n⁴)) = -1/2n² + O(1/n⁴) + O((-1/2n² + O(1/n⁴))²) = -1/2n² + O(1/n⁴),   n.

Поскольку ряды -1/2n² и O(1/n⁴) сходятся, то сходится и ряд

ln cos (1/n).

    2. Рассмотрим ряд с общим членом u_n = ln cos ((-1)ⁿn^-1/2). имеем

u_n = ln cos ((-1)ⁿn^-1/2) = ln (1 - 1/2n + O(1/n²)) =
= - 1/2n + O(1/n²) + O((-1/2n + O(1/n²))²) = -1/2n + O(1/n²),       n.

Ряд -1/2n расходится, а ряд O(1/n²) сходится, поэтому данный ряд

ln cos ((-1)ⁿn^-1/2)

расходится.
    3. Рассмотрим ряд с общим членом u_n = ln (1 + (-1)ⁿn^-1/2). Заметим, что

ln (1 + x) = x - x²/2 + O(x³),      x0;

в частности, при x = (-1)ⁿ/(n)^-1/2 имеем

где

a_n (-1)ⁿn^-1/2,  b_n -1/2n, c_n O(n^-3/2),

    Ряд a_n знакочередующийся; он сходится по признаку Лейбница. Ряд b_n расходится, так как он только постоянным множителем -1/2 отличается от гармонического ряда, а ряд с_n сходится. Поэтому в силу равенства (30.85) данный ряд

ln (1 + (-1)ⁿn^-1/2)

расходится.
    Таким образом, ряды a_n и u_n являются еще одним примером рядов, члены которых эквивалентны: u_n = a_n + o(a_n) , x, но один из них сходится, а другой расходится (см. замечание в п. 30.5).

Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля  Оглавление  Суммирование рядов методом средних арифметических