Тема 3. Законы сохранения

1. Законы сохранения в распадах и реакциях

    Структура и свойства частиц и атомных ядер исследуются уже около ста лет в распадах и реакциях.
    Распады представляют собой спонтанное превращение любого объекта физики микромира (ядра или частицы)

    Реакция − превращение двух взаимодействующих между собой частиц или ядер в два или более продуктов реакции:

    Как распады, так и реакции подчиняются ряду законов сохранения, среди которых должны быть упомянуты, во-первых, следующие законы:

    В дальнейшем будут обсуждаться и другие законы сохранения, действующие в распадах и реакциях. Перечисленные выше законы являются важнейшими и, что особенно существенно, выполняются во всех типах взаимодействий (возможно, что закон сохранения барионного заряда не обладает такой универсальностью, как законы сохранения 1 − 4, однако пока не обнаружено его нарушения).
    Процессы взаимодействий объектов микромира, проявлением которых являются распады и реакции, имеют вероятностные характеристики.

2. Распады

    Спонтанный распад любого объекта физики микромира (ядра или частицы) возможен в том случае, если масса покоя продуктов распада меньше массы первичной частицы.
    Распады частиц и ядер характеризуются вероятностями распада λ, либо обратной вероятности λ величиной среднего времени жизни τ. В физике ядра используется связанная с этими характеристиками величина периода полураспада Т_1/2.

Примеры спонтанных распадов:

226Ra → 222Rn + 4He; π0 → γ + γ; π+ → μ+ + νμ;

n → p + e- + e; μ+ → e+ +μ + νe; 137Cs → 137Ba + e- + e.

(3.4)

    В распадах (левая колонка) в конечном состоянии – две частицы. В распадах (правая колонка) – три.
    Получим закон распада для частиц (или ядер). Убыль числа частиц (или ядер) за интервал времени пропорциональна этому интервалу, числу частиц (ядер) в данный момент времени и вероятности распада:

Интегрирование (3.5) с учетом начальных условий дает для связи числа частиц в момент времени t с числом этих же частиц в начальный момент времени t = 0:

    Периодом полураспада называется время, за которое число частиц (или ядер) уменьшится вдвое:

    В таблицах частиц обычно указывают среднее время жизни τ, в таблицах ядер – периоды полураспада Т_1/2.

3. Кинематика распадов

    Разность масс первичной частицы и продуктов распада распределяется среди продуктов распада в виде их кинетических энергий.
    Законы сохранения энергии и импульса для распада следует записывать в системе координат, связанной с распадающейся частицей (или ядром). Для упрощения формул удобно использовать систему единиц ћ = c = 1, в которой энергия, масса и импульс имеют одну и ту же размерность (МэВ). Законы сохранения для данного распада:

M_X = M_A + T_A + M_B + T_B;
0 = _A + _B;   p_A = (2M_AT_A)^1/2 = p_B = (2M_BT_B)^1/2.

Сумма кинетических энергий продуктов определяется разностью масс

T_A + T_B = Q = M_X − M_A − M_B,

а отношение кинетических энергий

T_A/T_B = M_B/M_A.

Отсюда получаем для кинетических энергий продуктов распада

    Таким образом, в случае двух частиц в конечном состоянии кинетические энергии продуктовопределены однозначно. Это утверждение не зависит от того, релятивистские или нерелятивистские скорости имеют продукты распада. Для релятивистского случая формулы для кинетических энергий выглядят несколько сложнее, чем (3.8), но решение уравнений для энергии и импульса двух частиц опять-таки является единственным. Если в конечном состоянии возникает три (или более) продуктов, решение уравнений для законов сохранения энергии и импульса не приводит к однозначному результату. Это означает, что только в случае распада на две частицы спектры продуктов распада − дискретные.
    В случае, если частиц в конечном состоянии больше двух, спектры продуктов имеют непрерывный характер (в дальнейшем на примере β-распадов эта ситуация будет рассмотрена детально.)
    В расчетах кинетических энергий продуктов распада ядер удобно воспользоваться тем фактом, что число нуклонов А сохраняется (это проявление закона сохранения барионного заряда,поскольку барионные заряды всех нуклонов равны 1).

Применим полученные формулы (3.8) к α-распаду радия – ²²⁶Ra. Тогда величина

Q = M(²²⁶Ra) − M(²²²Rn) − M(⁴He) = Δ(²²⁶Ra) − Δ(²²²Rn) − Δ(⁴He) = 4.87 МэВ.

    По определению (3.9) Δ(¹²С) = 0. Кинетические энергии ядер радона и гелия (α-частицы), возникших в результате α-распада, равны

    Суммарная кинетическая энергия, выделившаяся в результате α-распада, меньше 5 МэВ и составляет около 0.5% от массы покоя нуклона. Соотношение выделившейся в результате распада кинетической энергии и энергий покоя частиц или ядер − критерий допустимости применения нерелятивистского приближения. В случае α-распадов ядер малость кинетических энергий по сравнению с энергиями покоя позволяет ограничиться нерелятивистским приближением.
    Возникающее в результате α-распада радия (Т_1/2 = 1600 лет) ядро радона также испытывает α-распад с периодом полураспада Т_1/2 = 3.82 дня.

Q = Δ(²²²Rn) –  Δ(²¹⁸Po) – Δ(⁴He) 5.59 МэВ

    Возникающее в этом распаде ядро ²¹⁸Po также распадается с излучением α-частиц (период его полураспада Т_1/2 = 3.1 мин): ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + ⁴He. Продукт этого распада ²¹⁴Pb "перегружен" нейтронами (стабильными являются изотопы свинца ²⁰⁶Pb, ²⁰⁷Pb, ²⁰⁸Pb). Поэтому ядро ²¹⁴Pb распадается (Т_1/2 = 27 минут) по каналу β-распада.
    Рассмотренная нами «цепочка» распадов является характерной особенностью распадов тяжелых ядер. Образовавшиеся при синтезе элементов более 10 миллиардов лет тому назад, тяжелые ядра распадаются, образуя снова нестабильные ядра. Распады продолжаются вплоть до образования стабильных элементов. В распадах происходит излучение α-частиц или пар лептонов (β-распады). В α-распадах число нуклонов А в ядрах изменяется на 4, β-распады происходят без изменения А. Поэтому существует всего 4 ряда (семейства) радиоактивных распадов тяжелых ядер с массовыми числами А = 4n, 4n+1, 4n+2 и 4n+3.
    Первичные ядра второго из семейств с А = 4n+1 практически распались за время, прошедшее после их образования. Распады остальных трех рядов являются источником радиоактивности вещества Земли. Рассмотренные выше распады ²²⁶Ra, ²²²Rn, ²¹⁸Po относятся к семейству 4n+2.

    Период полураспада ²³⁸U на несколько порядков величины больше, чем периоды полураспадов всех остальных членов радиоактивного семейства. Для всех членов семейства, например i-го, (за исключением первого − ²³⁸U и последнего − стабильного изотопа ²⁰⁶Pb), изменение числа ядер связано с ростом числа ядер за счет распада предыдущего члена "цепочки", т.е. (i-1)-го элемента, и распадом ядер данного i-го элемента:

За время, прошедшее после образования элементов, установилось т.н. "вековое" равновесие, когда прибыль и убыль ядер данного нестабильного элемента в цепи распадов компенсируют друг друга. При этом активности (т.е. числа распадов в 1 секунду) всех членов радиоактивного семейства выравниваются:

    Суммарная активность радиоактивного препарата, т.е. число распадов в секунду, которое этот препарат испытывает, определяется не только числом распадов в единицу времени первичного ядра, но и активностями всех получаемых в результате распадов продуктов. Часто эти продукты распадов вносят в суммарную активность значительно больший вклад, чем первичный распад.
    Распад с излучением ядер гелия − α-распад − возможен потому, что внутри ядер возможно образование кластеров − систем из нескольких нуклонов. Наибольшей вероятностью обладает как раз образование α-кластеров, или ядер гелия, поскольку ядра гелия имеют большую энергия связи на нуклон и, соответственно, меньшую массу, чем сумма масс 2 протонов и 2 нейтронов. Туннельный эффект делает возможным испускание таких α-кластеров, если сумма масс продуктов реакции меньше массы исходного ядра.
    Рассмотрим кинематику π⁺-распада как пример использования релятивистских формул для продуктов распада.

    Наиболее вероятный (99.98%) распад π⁺-мезона происходит на две частицы: π⁺ → μ⁺ + ν_μ. Масса π⁺-мезона равна 139.6 МэВ, масса мюона μ равна 105.7 МэВ. Точное значение массы мюонного нейтрино ν_μ  неизвестно, но установлено, что она меньше 10 кэВ. Из наблюдения нейтринных осцилляций следует, что все типы нейтрино имеют ненулевую массу покоя. Так как разность масс π⁺-мезона и продуктов его распада равна 33.8 МэВ, для нейтрино необходимо использовать релятивистские формулы связи энергии и импульса. В дальнейшем расчете малой массой покоя нейтрино можно пренебречь и считать нейтрино ультрарелятивистской частицей. Законы сохранения энергии и импульса в распаде π⁺-мезона:

m_π = m_μ + T_μ + E_ν,   0 = _μ + _μ.

    Кинетическая энергия мюонного нейтрино π⁺-распада равна

E_ν ≈ T_ν = (m_π − m_μ) − T_μ = 29.7 МэВ.

    Примером двухчастичного распада является также излучение γ-кванта при переходе возбужденного ядра ¹²С^* на низший энергетический уровень: ¹²С^* →  ¹²С_gr.state + γ.

    Законы сохранения системе покоя возбужденного ядра имеют вид:

M(¹²С^*) =  M(¹²С) + T_C + E_γ;    p_C = p_γ = E_γ.
E_возб(¹²С^*) = M(¹²С^*) −  M(¹²С) = 4.43 МэВ = T_C + E_γ.

    Поскольку второй член (энергия отдачи) в последнем уравнении на несколько порядков меньше первого, вместо решения квадратного уравнения удобно применить метод последовательных приближений:

    Поправка к энергии γ-кванта равна энергии отдачи ядра и она меньше третьей значащей цифры в полученном результате для энергии испущенного ядром электромагнитного кванта. Однако этот сдвиг в энергии вылетевшего γ-кванта относительно энергии уровня ядра оказывается препятствием для резонансного поглощении ядерных γ-квантов невозбужденными ядрами. Оценим ширину Г первого возбужденного состояния ядра ¹²С.
    Во всех двухчастичных распадах, проанализированных выше, продукты распада имеют «точное» значение энергии, т.е. дискретный спектр. Однако более глубокое рассмотрение этой проблемы показывает, что спектр даже продуктов двухчастичных распадов не является δ-функцией энергии. Спектр продуктов распада имеет конечную ширину Г, которая тем больше, чем меньше время жизни распадающегося ядра или частицы.

(это соотношение является одной из формулировок соотношения неопределенностей для энергии и времени).
    Оценим ширину первого возбужденного уровня 2⁺, Е= 4.43 МэВ в спектре ядра ¹²С, время жизни этого уровня составляет около 10^-13 сек. Из (3.11) имеем

    Мы получили, что ширина возбужденного уровня ядра на несколько порядков меньше сдвига энергии уровня, возникающего вследствие отдачи ядра (задача 3.5). Резонансного поглощения происходить не может!
    В атомных и молекулярных переходах энергии излучаемых квантов на несколько порядков ниже, чем в ядерных переходах. Поэтому для этих переходов резонансное поглощение атомом фотона собственного излучения имеет место (Р. Мёссбауэр добился резонансного поглощения ядерного γ-излучения путем охлаждения образца γ-излучателя с помощью передачи энергии отдачи целому кристаллу, в котором находится ядро-излучатель.)

4. Трехчастичные распады

    Примерами трехчастичных распадов являются β-распады.
    Нейтрон испытывает β-распад, превращаясь в протон и два лептона – электрон и антинейтрино:

 n → p + e^- + _e.

    β-распады испытывают и сами лептоны, например, мюон (среднее время жизни мюона τ = 2.2·10^–6сек):

μ^- → e^- + _e + ν_μ.

    В атомных ядрах как нейтроны, так и протоны находятся в связанном состоянии. Спонтанные превращения связанных в ядре нуклонов друг в друга возможны и определяются соотношением масс начального ядра и продуктов распада.
    β-распад ядер может происходить с вылетом электронов (β^--распад), с вылетом позитронов (β⁺-распад) и путем захвата электрона с оболочек атома (е-захват). Ниже приведены примеры этих процессов:

14C → 14N + e- + e (β--распад);  11C → 11B + e+ + νe (β+-распад); 7Be + e- → 7Li + νe (е-захват).

(3.12)

    Рассмотрим закон сохранения энергии для этих процессов. Напомним, что в таблицах для масс (или избытков масс) приведены массы нейтральных атомов, к которым и следует привести уравнения для законов сохранения. В дальнейших выкладках массы нейтральных атомов не помечены индексами, а для масс ядер введен индекс N (nucleus).
    Для β^--распада:

MN(Z,A) = MN(Z+1,A) + me + TN + Te + Eν; M(Z,A) MN(Z,A) + Zme; M(Z,A) = M(Z+1,A) + TN + Te + Eν.

(3.13)

    Для β⁺-распада получим аналогичным образом из уравнения для масс ядер уравнение для масс нейтральных атомов:

Для е-захвата:

    Сравнение двух последних уравнений показывает, что для двух ядер-изобар е-захват имеет менее «жесткие» энергетические условия, чем β⁺-распад (в обоих случаях происходит превращение одного из протонов ядра в нейтрон). Однако поскольку е-захват представляет собой захват ядром электрона с атомной оболочки, вероятность этого процесса пропорциональная вероятности W «пребывания электрона внутри ядра», т.е.

(3.16)

    Вероятность захвата К-электрона во много раз выше, чем электронов с других атомных оболочек, т.к. для К-электронов величина интеграла в (3.16) больше, чем для электронов других оболочек.
    Законы сохранения энергии для β^- и β⁺-распадов имеют важную общую особенность. В обоих случаях число уравнений (закон сохранения энергии + закон сохранения импульса) на единицу меньше числа неизвестных – кинетических энергий продуктов реакций. Следствием этого факта является непрерывный спектр продуктов этих процессов распада. Именно непрерывный характер спектра электронов β^--распада послужил доказательством существования нейтрино задолго до его непосредственного экспериментального обнаружения. Спектры продуктов трехчастичных распадов имеют т.н. «верхнюю границу» − максимальное значение кинетической энергии. Оно соответствует той кинематической ситуации, когда данная частица имеет направление импульса, противоположное импульсам обеих других частиц.

³H → ³He + e^- + _e.
T_N + T_e + E_ν = M(³H) − M(³He) = Δ(³H) − Δ(³He) =
= (14.950 − 14.931) МэВ = 0.019 МэВ.

    Закон сохранения импульса этого процесса

0 = _N + _e + _ν.

    Электрон имеет максимальный импульс и максимальную энергию, если

p_e = p_N + p_ν = [2M(³He)·T_N]^1/2 + E_ν.

Здесь использован тот факт, что для кинетической энергии ядра применимо нерелятивистское приближение, а нейтрино (точнее − антинейтрино) – ультрарелятивистская частица. Импульс конечного ядра не превышает суммы модулей импульсов лептонов (электрона и антинейтрино). Поскольку масса ядра более чем на три порядка величины превышает массу электрона, кинетическая энергия ядра примерно на три порядка меньше суммы кинетических энергий лептонов.
    Сумма кинетической энергии электрона и энергии антинейтрино поэтому приближенно равна разности масс начального и конечного атомов, т.е.

T_e + E_ν = 0.019 МэВ = 19 кэВ.
(T_e)_max = 19 кэВ.

    Электрон уносит максимальную кинетическую энергию, если энергия антинейтрино, излучаемого вместе с ним, близка к 0. Максимальная энергия, которую может унести антинейтрино этого распада, равна максимальной энергии электрона. Антинейтрино уносит максимальную энергию в случае, когда кинетическая энергия электрона близка к 0.
    Во всех расчетах β-распадов кинетическая энергия нейтрино (антинейтрино) считалась равной полной энергии, т.е. масса покоя нейтрино полагалась равной 0: E_νT_ν, m_ν ≈ 0. В последние годы изучение нейтринных осцилляций (т.е. превращения нейтрино одного «поколения» в нейтрино другого «поколения») неопровержимо доказало, что нейтрино имеют не нулевую массу покоя. Показано, что определенные значения масс покоя имеют не нейтрино или антинейтрино, возникающие в распадах и реакциях, а нейтрино, волновые функции которых являются суперпозицией волновых функций экспериментально обнаруженных нейтрино. Эти «затравочные» частицы имеют массы, меньшие, чем 10 эВ. Малость масс этих частиц оправдывает приближенные расчеты, в которых нейтрино считается ультрарелятивистской частицей.

    Разность масс покоя начального и конечного состояний в распаде n -→ p + e^- + - _e- равна 0.782 МэВ. В случае, когда электрон уносит максимальную энергию T_e 0.782 МэВ, E_ν ≈ 0.
    Импульс электрона в этом случае равен и противоположен по направлению импульсу протона. Кинетическая энергия нерелятивистского протона

В случае, когда максимальную энергию уносит антинейтрино, кинетическая энергия протона

    В рассмотренных примерах β-распадов разность масс покоя начального и конечного состояний практически полностью уносилась двумя лептонами. Это является следствием большой, сравнительно с лептонами, массы конечного ядра (в последнем примере – протона).

    Сумма энергии нейтрино и энергии отдачи ядра лития равны

E_ν + T_Li = (7Be) – (7Li) = (15.768 – 14.907) МэВ = 0.861 МэВ.

Энергией связи электрона на атомной орбите в данном расчете можно пренебречь. Импульсы нейтрино и ядра лития равны и противоположны, поэтому

.

    Действуя методом последовательных приближений, получим

.

    Таким образом, спектры энергий продуктов е-захвата имеют дискретный характер.