Тема 4. Ядерные реакции

1. Пороговые энергии реакций

При расчете кинематических характеристик реакций удобно использовать т.н. релятивистский инвариант

в системе ћ = с = 1; E − полная энергия системы, p − суммарный импульс.
    В качестве примера использования инварианта рассмотрим нахождение минимальной кинетической энергии сталкивающихся частиц в эндотермической реакции

В эндотермической реакции сумма масс покоя частиц ∑m_f, образующихся в конечном состоянии, больше суммы масс покоя первичных частиц ∑m_i.
    В системе покоя мишени (частицы В) минимальная кинетическая энергия Т_А, при которой возможна реакция (4.2), называется порогом реакции. Для расчета порога реакции Т_А следует записать законы сохранения энергии и импульса в двух системах отсчета – лабораторной системе, связанной с покоящейся частицей В и в системе центра масс, или центра инерции (штрихованные обозначения кинематических переменных):

	(4.3а)
	(4.3б)

    Порог реакции соответствует значению кинетической энергии частицы А в случае, когда кинетические энергии продуктов реакции минимальны. В системе центра масс в этом случае равны нулю кинетические энергии всех образовавшихся в результате реакции частиц. Одновременно равны нулю импульсы этих частиц (приравнять нулю импульсы и кинетические энергии продуктов реакции возможно только в системе центра инерции, в которой суммарный импульс по определению равен нулю). Найдем теперь значения E² − p² =  inv для левой части уравнения (4.3а) (т.е. в лабораторной системе координат) и правой части уравнения (4.3б) (т.е. в системе центра масс) и приравняем их, используя, таким образом, свойство инвариантности:

(4.4)

Из (4.4) получим

(4.5)

где ∑m_i = M_A + M_B.

Иногда вместо формулы (4.5) используется эквивалентное ей выражение

(4.6)

где Q = ∑m_i − ∑m_f − энергия реакции.

    Реакции рождения π⁰-мезона на электронном и протонном ускорителях имеют следующий вид:

    Пороговые энергии электронов и протонов в этих реакциях будут соответственно

T_e = m_π(2m_p + 2m_e + m_π)/2m_p,
T_p = m_π(4m_p + m_π)/2m_p,

    Пользуясь таблицами масс, получим для пороговых кинетических энергий электрона и протона в реакциях (4.7):

T_e = 135(2·938 + 1 + 135)/(2·938) ≈ 145 МэВ,
T_p = 135(4·938 + 135)/(2·938) ≈ 280 МэВ,

    Столь значительное различие в пороговых энергиях при рождении пиона в реакциях электронов и протонов с неподвижной водородной мишенью является следствием больших затрат энергии на движение центра масс системы во второй реакции. Эти затраты отсутствуют в ускорителях на встречных пучках – коллайдерах (colliders). Именно коллайдеры являются основным инструментом современной физики высоких энергий в получении информации о структуре и свойствах частиц и их взаимодействий.
    Определим энергию E частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с энергиями E одинаковых частиц в пучках.
    В ускорителе со встречными пучками одинаковых по массе частиц лабораторная система совпадает с системой центра масс. В этой системе E² – p² = inv = 4E². В системе координат, связанной с одной из сталкивающихся частиц (например, частицей 2), энергия частицы 1 есть искомая энергия E'. В этой системе квадрат полной энергии равен (E' + m)², а квадрат полного импульса системы равен квадрату импульса частицы 1 p² = E^'2 - m². Приравнивая значения инвариантов в этих двух системах, получим для энергии частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру (эту энергию иногда называют энергией столкновения)

Расчет энергий пучков в ускорителях с неподвижной мишенью, эквивалентных коллайдеру по (4.8), дает соответственно для энергий антипротонов

и для энергий позитронов

    Относительно больший «выигрыш» в энергии для коллайдеров с электронными и позитронными пучками является следствием зависимости энергии «эквивалентного» ускорителя с неподвижной мишенью от массы ускоряемых частиц.

    В ускорителе с неподвижной мишенью

    В условиях коллайдера кинетические энергии обоих протонов идут – в предельном случае – только на создание масс продуктов. Поэтому минимальная (пороговая) энергия протонных пучков в коллайдере равна половине разности масс продуктов реакции и первичных частиц, что в данном случае составляет всего около 375 МэВ.