3. Диаграммы Фейнмана

    В квантовой теории существует удобный метод описания и расчета вероятностей процессов взаимодействия частиц, основанный на использовании диаграмм Фейнмана (ДФ).
    В диаграммах Фейнмана физическому процессу сопоставляется его графическая схема. Каждой участвующей в процессе частице соответствует линия. Обычно линии фермионов - тонкие прямые линии. Линии бозонов изображают либо волнистыми линиями, либо штриховыми прямыми. Частицам, не являющимся по современным представлениям бесструктурными, иногда сопоставляются на диаграммах либо толстые линии, либо пучки параллельных линий.
    Диаграмма Фейнмана задает алгоритм вычисления амплитуды вероятности процесса. Каждому элементу диаграммы соответствуют определенные множители в расчете амплитуды вероятности. Линии, один из концов которых свободен, соответствуют свободным частицам. В расчете амплитуды вероятности этим линиям отвечают волновые функции частиц. Квадрат модуля амплитуды вероятности определяет вероятность процесса.
    Линии на ДФ могут описывать распространение, как частиц, так и античастиц: направление стрелок на линиях античастиц противоположно направлениям стрелок на линиях частиц.
    Взаимодействие частиц на диаграмме изображается вершиной (или узлом), в котором сходятся две фермионных и одна бозонная линии. Каждой вершине в амплитуде вероятности процесса соответствует константа взаимодействия. В случае электромагнитных процессов вершинной константой является величина

    В системе единиц ћ = c = 1 (α_e)^1/2= e. Величина квадрата этой константы при не очень высоких энергиях равна

    Частицы, изображенные линиями, начинающимися и кончающимися в вершинах – это т.н. виртуальные частицы. Линиям виртуальных частиц в расчете ДФ сопоставляются функции распространения этих частиц, называемые пропагаторами. Именно виртуальные частицы ответственны за реализацию взаимодействия частиц. Для процессов взаимодействия, которые и осуществляются путем рождения и поглощения виртуальных частиц, характерно, что в течение интервала времени взаимодействия Δtимеет место отклонение ΔEэнергии виртуальной частицы от ее точного значения, соответствующего закону сохранения, причем

(соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии и времени).

    Для виртуальных частиц

    Следует подчеркнуть, что в целом для всего процесса законы сохранения выполняются точно; в частности, полная энергия частиц до взаимодействия равна полной энергии частиц после взаимодействия. Дискретные законы сохранения выполняются в каждой из вершин.
    На рис. 4.1 изображена ДФ для рассеяния фотона на электроне (вектор времени направлен слева направо). Перемена направлений на фермионной линии дает ДФ рассеяния фотона на позитроне. Диаграммы Фейнмана обладают замечательными свойствами: если на рис. 4.1 направить вектор времени снизу вверх (или, сохраняя направление векторавремени, повернуть ДФ на 90⁰), диаграмма будет изображать двухфотонную аннигиляцию e⁺ + e^- → γ + γ. Противоположное вращение ДФ приводит к графическому изображению обратного процесса – рождения пары при взаимодействии фотонов.

Рис. 4.1

    Диаграммы Фейнмана не только являются иллюстрацией реакций с частицами, но и позволяют – даже без проведения точного расчета - сделать некоторые важные оценки соотношения вероятностей процессов. Например, с их помощью легко доказать доминирующую роль низших по константе (или количеству виртуальных частиц) диаграмм в электромагнитных взаимодействиях.
    Рассмотрим в качестве примера рассеяние электрона на электроне. Квантом электромагнитного взаимодействия является виртуальный фотон.
    На рис. 4.2 показана обобщенная диаграмма этого процесса, которая может быть представлена как сумма диаграмм с разным количеством вершин.

Рис. 4.2

  Поскольку взаимодействие электромагнитное, каждой вершине соответствует константа электромагнитного взаимодействия

(α_e)^1/2= e/(ћc)^1/2.

    Первая из диаграмм Фейнмана, дающая вклад в процесс рассеяния электрона на электроне, имеет две вершины, ее вклад в амплитуду вероятности процесса (матричный элемент процесса M) пропорционален квадрату константы M ~α_е. Вероятность процесса, характеризуемая величиной эффективного сечения, пропорциональна квадрату матричного элемента, соответствующего отдельной диаграмме. Поэтому вклад первой из диаграмм в правой части рис. 4.2 в вероятность рассеяния пропорционален величинеα² (1/137)².
    Вклады диаграмм более высокого порядка, т.е. с большим числом вершин, много меньше вклада этой первой диаграммы. Например, вторая из диаграмм Фейнмана в правой части рис. 4.2, дает в вероятность процесса рассеяния электрона на электроне вклад, пропорциональный α⁴ (1/137)⁴.Следует отметить, что «константы взаимодействия», строго говоря, не постоянны: они зависят от энергии взаимодействия. Однако в области энергий взаимодействия E < 10 ГэВ этим эффектом можно пренебречь.

    Процессы e⁺ + e^- → γ + γ и e⁺ + e^- → γ + γ + γ в низшем порядке по константе электромагнитного взаимодействия могут быть представлены ДФ на рис. 4.3.
    Для первого процесса с двумя вершинами вероятность W₁ ~α², для второго W₂ ~α³. Отношение вероятностей (W₁/W₂) ~137. Отметим, что первая диаграмма соответствует распаду парапозитрония, т.е. состояния системы e⁺e^- с полным моментом количества движения J = 0 (спины e⁺ и e^- антипараллельны). Вторая диаграмма отражает распад ортопозитрония – системы e⁺e^- с полным моментом количества движения J = 1.

Рис.4.3.

Рассмотрим рассеяние электрона на ядре с числом протонов Z. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния для этого процесса имеет вид:

(4.16)

    Здесь F – формфактор, зависящий от плотности распределения заряда в ядре-мишени. Если рассеяние происходит на частице, которую можно считать точечной, F = 1.
    Дифференциальное сечение рассеяния электронов на точечном заряде (формула Мотта) отличается от формулы Резерфорда множителем cos²θ. Величины резерфордовского и моттовского сечений пропорциональны квадрату константы электромагнитного взаимодействия α_e= e²/(ћc), как это и следует из диаграмм Фейнмана этих процессов. Для формулы Резерфорда доказательством этого факта является решение задачи 4.1. В (4.16) эта зависимость выявлена также для формулы Мотта рассеяния электрона на ядре:

(4.17)

    Расчет сечения аналогичен проведенному в задаче 4.1 . Результат отличается от полученного ранее множителем cos²θ = 1/4.
Поэтому моттовское сечение равно

.

    Введение формфактора как в формулу Резерфорда, так и в формулу Мотта необходимо в тех случаях, когда длина волны рассеиваемой на ядре частицы меньше, чем радиус ядра. Для ядра ⁴⁰Са диаметр равен приблизительно

2R ≈ 2r₀A^1/3 ≈ 2×1.3×3.4 Фм ≈ 9 Фм.

 Длина волны электрона с кинетической энергией 10 МэВ

    Таким образом, применение формулы Мотта для рассеяния электрона на точечном заряде оправдано для электронов с кинетической энергией 10 МэВ.