Тема 6. Модель ядерных оболочек

1. Одночастичная модель оболочек

    Модель ядерных оболочек представляет собой приложение квантовой механики к системе нуклонов – ядру.
    С помощью модели оболочек удается понять, почему для некоторых ядер удельные энергии связи и, особенно, энергии отделения нуклонов превышают те же величины для ядер с близкими значениями Z и А. Ядра, для которых этот эффект проявляется особенно ярко – т.е. ядра, значительно более устойчивые, чем их “соседи”, - называются магическими ядрами. У этих ядер числа протонов Z либо числа нейтронов N = А- Z равны одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 – т.н. магическим числам. Ядра, у которых и число протонов и число нейтронов – магические числа, называются дважды магическими и обладают особой устойчивостью.
    Однако и ряд других ядер, например, среди легких ядер, ядра ¹²С, ²⁸Si также имеют значительно большие, чем соседние ядра, значения энергий отделения нуклонов. Приведем для иллюстрации значения удельных энергий связи и энергий отделения протона и нейтрона от некоторых легких ядер:

    Из таблицы видно, что хотя удельная энергия связи ядра ¹²С меньше, чем у дважды магического ядра ¹⁶О, энергии отделения протонов и нейтронов для первого выше. Энергии отделения нейтрона от ¹³Cи протона от ядра ¹³N много меньше средней удельной энергии связи, а энергии отделения протона от ¹³С и нейтрона от ¹³N, напротив, выше удельных энергий связи этих ядер.
    Эти факты и аналогичные им являются следствием оболочечной структуры ядра.
    Очень важным достижением ядерной модели оболочек также является теоретическое объяснение значений спинов и четностей основного и возбужденных состояний ядер.
    Основу ядерной модели оболочек (МО) /NuclearShellModel = SM/ составляет гипотеза о том, что взаимодействие между собой нуклонов ядра приводит к созданию среднего самосогласованного поля, в котором и движутся нуклоны. Поскольку ядерные силы – силы короткодействующие, зависимость потенциала этого самосогласованного поля от расстояния до центра ядра должна быть подобной зависимости от радиуса плотности распределения ядерной материи. Кроме того, потенциал должен быть потенциалом притяжения. Этим условиям удовлетворяет т.н. потенциал Вудса-Саксона

(6.1)

    Модель оболочек основана на предположении, что теоретическое описание ядра в основном и возбужденных состояниях может быть получено путем решения нерелятивистского уравнения Шредингера («у. Ш.»):

Ψi = EiΨi.

(6.2)

Здесь E_i – энергии ядерных состояний – полный ядерный гамильтониан.
    Приближенное решение уравнения (6.2) может быть получено в рамках одночастичной модели оболочек (ОМО). В этой простейшей модели полная волновая функция ядра как системы А нуклонов является произведением одночастичных волновых функций, которые являются решением «у. Ш.» для отдельного нуклона в среднем самосогласованном поле:

0ψi() = [ + ()]ψi; Ψ(1,2,...,A) ≈ ψ1·ψ2·...ψA.

(6.3)

    Поскольку система нуклонов должна подчиняться принципу Паули, волновая функция системы нуклонов должна также быть антисимметричной относительно перестановки координат нуклонов.
    Простейшее модельное описание состояний нуклона в самосогласованном потенциале получено не с потенциалом (6.1), а с более простыми потенциалами, в первую очередь с потенциалом сферически симметричного трехмерного гармонического осциллятора:

(6.4)

    Ход решения «у. Ш.» с таким потенциалом приведен в учебниках по квантовой механике (см. например, Давыдов А.С. Квантовая механика). В квантовой механике доказывается, что для всех сферически симметричных потенциалов зависимость волновой функции от угловых переменных имеет вид:

ψ() = ψ(,θ,φ) = R(r)Ylm(θ,φ),

(6.5)

где Υ_lm(θ,φ) – сферические функции. Указанные для сферической функции индексы отражают тот факт, что сферические функции (а, соответственно, и полная волновая функция частицы (6.5)) являются собственными функциями операторов квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента на выделенную ось:

2Υlm(θ,φ) = ћ22Υlm = l(l+1)Υlm, zΥlm(θ,φ) = ћzΥlm = mΥlm, m = –l, –l+1,...l–1,l.

(6.6)

Вид радиальной функции R(r) и значения энергий частиц определяются радиальной зависимостью потенциала. Для потенциала (6.4)

Enl = ћω(Λ+3/2), Λ = 2n+l, b = (ћ/μω).

(6.7)

Здесь n – число узлов радиальной функции при r > 0, F(-n,l+3/2,ζ) – полином степени n по ζ=(r/b)².
F(0,l+3/2,ζ) = 1.
    Спектр энергий (6.7) – эквидистантный – т.е. между состояниями с разными значениями квантового числа Λ одинаковые разности энергий, равные ћω. Эквидистантность уровней энергии – общая закономерность решений задач с потенциалом осциллятора.
    Подчеркнем, что энергии, полученные в результате решения «у. Ш.» со сферически симметричным потенциалом (например, потенциалом (6.4)) не зависят от собственных значений проекций m орбитального момента на ось z. Одному значению энергии E_nl соответствует 2l+1 разных (по проекции момента) волновых функций (т.е. имеет место вырождение (degeneracy) по проекции момента).
    Часто вместо явного вида волновых функций частицы указывают только значения квантовых чисел, соответствующих этим функциям, пользуясь системой обозначений, введенной Дираком:

(6.8)

    Полученные нами волновые функции, являющиеся решениями «у. Ш.» для трехмерного гармонического осциллятора, не могут считаться функциями, описывающими состояния нуклона в ядре, поскольку в этих функциях не учтен спин нуклонов. Функции, являющиеся собственными функциями оператора квадрата спина и его проекции на ось, называются спинорами. Для фермионов со спином 1/2

(6.9)

    Волновая функция нуклона в потенциале 3-х мерного осциллятора является произведением функции (6.5) для осциллятора и спинора (6.9).

    Изложенная выше схема может дать объяснение тому факту, что низшим по массе особо устойчивым (дважды магическим) ядром является ядро ⁴Не. Энергия нуклона в потенциальной яме (6.4) равна низшему возможному значению

    Следует обратить внимание на то, что в низшем энергетическом состоянии трехмерного осциллятора энергия частицы не равна 0. Число нуклонов на низшей по энергии оболочке равно 4 (2 нейтрона и 2 протона с противоположными знаками проекций спина).
    Однако теоретическое описание свойств более тяжелых ядер с потенциалом в виде (6.4) оказалось невозможным. В частности, в этой слишком примитивной модели невозможно объяснить особую устойчивость ядра ¹²С. Дело в том, что в предыдущих расчетах не было учтено спин-орбитальное взаимодействие, играющее очень важную роль в ядерных силах.
    Модель ядерных оболочек основана на решении уравнения Шредингера для нуклона в потенциале

(6.11)

    Для того, чтобы понять роль спин-орбитального члена в потенциале (6.11), рассмотрим, какие значения может принимать полный момент нуклона j.

= + = + ;  j = l–1/2,  l+1/2.

(6.12)

    Полный момент нуклона может принимать два значения. Решения «у. Ш.» для энергий нуклона в потенциале (6.11) имеют следующий вид:

    Двум значениям момента нуклона j = l+1/2 и j = l–1/2 соответствуют разные вклады в энергию состояния от спин-орбитального взаимодействия.
    Схема уровней легких ядер в потенциальной яме (6.11) показана на рис.6.1:

Рис. 6.1.

    Прежде, чем рассчитать вклад от спин-орбитального взаимодействия в одночастичную энергию, выясним, какие квантовые числа характеризуют состояния нуклона в потенциале (6.11). Квантовые числа, характеризующие состояния любой квантовой системы – т.н. хорошие квантовые числа – соответствуют собственным значениям операторов тех физических величин, которые сохраняются в данном потенциале. В квантовой механике доказывается, что для сохранения физической величины необходимо, чтобы ее оператор коммутировал с гамильтонианом данной квантовой системы.
    Для гамильтониана без спин-орбитального члена хорошими квантовыми числами являются следующие:

E, P (четность), l, s, m_l, m_s.

    Полный момент нуклона и проекция полного момента  j_z = l_z + s_z тоже сохраняются. Но для гамильтониана (6.11) со спин-орбитальным взаимодействием ситуация меняется – проекции орбитального и спинового моментов нуклонов не сохраняются! Операторы проекций орбитального и спинового моментов не коммутируют с гамильтонианом. Однако проекция полного момента j на выделенную ось сохраняется. Хорошими квантовыми числами в этом случае гамильтониана с потенциалом (6.11) являются:

E, P, l, s, j, m_j.

    Полученные нами выше волновые функции нуклонов представляют собой полную систему функций. Поэтому волновые функции, являющиеся решениями «у. Ш.» в потенциале со спин-орбитальным взаимодействием, можно разложить по этой системе функций:

(6.14)

    Суммирование в (6.14) происходит по всем возможным значениям проекций орбитального и спинового моментов нуклона. Поскольку m_j = m_l + m_s, а проекций спина нуклона всего две, в сумму входят не более двух членов. Коэффициенты разложения (6.14) называются коэффициентами Клебша-Гордона (сокращенно ККГ). Сумма их квадратов равна 1.

    Низшее по энергии состояние энергии в (6.13) соответствует значениям квантовых чисел Λ = 0,
n = 0, l = 0. Вклад спин-орбитального члена равен нулю, поскольку равен нулю орбитальный момент l. Поэтому E₀₀ = (3/2)ћω (см. 6.10).
    По сложившейся в европейской физике традиции ядерная конфигурация с данными n и l обозначается как (n+1)l_j, причем вместо цифровых значений l используются буквенные (s, p, d, f, g, h, i…).
    В американской научной литературе конфигурации обозначаются как nl_j.
    Низшему состоянию нуклона соответствует конфигурация 1s. В этом энергетическом состоянии может находиться не более 4 нуклонов – 2 протона с противоположными значениями проекции спина на ось и 2 нейтрона в таких же состояниях. Конфигурация волновой функции этого первого дважды «мага» сокращенно записывается как .

    Для расчета вида вклада спин-орбитального члена необходимо найти величину матричного элемента

2 = ( + )2 = 2 + 2() + 2;

(6.15)

     Поскольку

Здесь оператор спин-орбитального взаимодействия выражен через собственные операторы волновой функции нуклона.
    Вклад спин-орбитального взаимодействия в энергию нуклона в потенциальной яме (6.11) равен

(6.16)

    Этот вклад в энергию нуклона расщепляет уровень с данными lи sна два уровня с j = l+1/2 и
j =  l−1/2. Сравнение теоретического результата и экспериментальных данных показало, что в ядре величина а в (6.11) отрицательна, поэтому

(6.17)

     Т.е. уровни с большим значением полного момента нуклона сдвигаются вниз относительно энергии E = ћω(Λ+3/2) = ћω(2n+l+3/2) , а уровни с меньшим значением j (но теми же l,s) сдвигаются вверх по энергии.
    Полученных выше результатов достаточно, чтобы разобраться в заполнении оболочек для большинства ядер с A < 41.

    Рассмотрим заполнение энергетических уровней для оболочки с Λ = 1.
    Состояние с Λ = 2n+l = 1 может иметь только l = 1. Это в принятой системе обозначений 1p_j конфигурация. Полный момент нуклона с l = 1принимает значения 3/2 и 1/2 . Низшей по энергии является конфигурация 1p_3/2. В этом состоянии может находиться столько нейтронов, сколько имеется различных значений проекции полного момента 3/2, т.е. 4. На этом же уровне (или подоболочке = subshell) может находиться 4 протона.
    Таким образом, заполненная подоболочка 1p_3/2 содержит 8 нуклонов. Ядро, у которого заполнена оболочка с Λ = 0 и подоболочка 1p_3/2, имеет в основном состоянии 12 нуклонов – 6 протонов и 6 нейтронов, т.е. это ядро ¹²С. Конфигурация основного состояния этого ядра часто обозначается как
    Заполнение следующей подоболочки 1p_1/2 происходит по тем же правилам. Поскольку число состояний равно удвоенному числу проекций полного момента нуклона, на подоболочку 1p_1/2 можно поместить не более 4 нуклонов.
    Таким образом, полностью заполненная оболочка с Λ = 1 имеет две подоболочки с 8 и 4 нуклонами, т.е. заполненная оболочка (shell) имеет 12 нуклонов, что соответствует дважды магическому ядру ¹⁶О. Конфигурация его основного состояния может быть изображена как (см. рис.6.1).

    Для Λ = 2 = 2n+l существуют следующие возможности: n = 0, l = 2 (1d- конфигурации) и n = 1, l = 0 (2s- конфигурация). В первом случае величине полного момента j = l+1/2 = 5/2 соответствует низшая по энергии подоболочка. В этой подоболочке может находиться не более 2(2j+ 1) = 12 нуклонов. Эта подоболочка находится выше по энергии, чем оболочки с Λ = 0 и Λ = 1, на которых находятся 16 нуклонов (8 протонов + 8 нейтронов). Ядро с заполненными Λ = 0 и Λ = 1 оболочками и заполненной подоболочкой 1d_5/2имеет 14 протонов и 14 нейтронов − это ²⁸Si. Следующей по энергии является 2s_½подоболочка с 4 нуклонами. Ядру, в котором, помимо оболочек с Λ = 0 и
Λ = 1, заполнены две подоболочки1d_5/2и 2s_½, соответствует ядро ³²S.
    Наконец, при заполнении последней подоболочки с j = l–2 = 3/2, т.е. 1d_3/2,оболочка с Λ = 2 оказывается полностью замкнутой. Этой конфигурации соответствует дважды магическое ядро ⁴⁰Са. Конфигурация его основного состояния:
        Нами была рассмотрена простейшая версия ядерной модели оболочек – одночастичная модель оболочек (ОМО) без учета кулоновского взаимодействиямежду протонами. Эта модель дает неплохие результаты для легких ядер, где кулоновское взаимодействие не играет важной роли. Для ядер с A > 40 энергию отталкивания протонов уже нельзя не учитывать при модельном заполнении оболочек. Однако, прежде, чем рассмотреть ядра с A > 40, обсудим проблему спинов и четностей ядер.