2. Спины и четности ядер в модели оболочек

    Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, заполняющих любую подоболочку, равен 0 независимо от квантовых чисел подоболочки и числа (2j+1)заполняющих ее нуклонов (нейтронов или протонов). Это важное правило является следствием того факта, что среди заполняющих подоболочку (2j + 1) одинаковых нуклонов будут обяза­тельно находиться нуклоны с равными по абсолютной величине, но разными по знаку проекциями полного момента нуклона на выделенную ось. Такие пары одинаковых нуклонов имеют суммарный полный момент, равный 0. Поэтому суммарные моменты импульсов как нейтронов, так и протонов на заполненной подоболочке равны 0. По этой причине и спины основных состояний всех ядер с заполненными оболочками или подоболочками равны 0.
    Экспериментально доказано, что равны нулю спины основных состояний всех четно-четных ядер, т.е. как ядер с заполненными подоболочками или оболочками, так и ядер, у которых на подоболочке находятся по четному числу протонов или нейтронов. Объяснение этого экспериментального факта – наличие в ядерных взаимодействиях, не учтенных в предыдущем изложении одночастичной модели оболочек сил – т.н. сил спаривания. Необходимо отметить, что замена всех действующих между нуклонами сил самосогласованным потенциалом со спин-орбитальным членом (например,(6.11)) является довольно грубым модельным приближением. Не учтенные в (6.11) силы называются силами остаточного взаимодействия и играют важную роль в формировании свойств ядер. Важнейшим компонентом сил остаточного взаимодействия являются силы спаривания. Действие сил спаривания приводит к тому, что для любых двух одинаковых нуклонов наиболее выгодным по энергии (т.е. низшим) состоянием будет состояние с полным моментом 0 или, иначе говоря, с противоположными направлениями проекций полного момента на выделенную ось. Для всех четных по Z и по N ядер это приводит к значениям спина J = 0 в основном состоянии.
    Пространственная четность основных состояний всех четно-четных ядер положительна. Четность – мультипликативное квантовое число. Поскольку собственная четность нуклонов +1, то пространственная четность ядерного состояния определяется произведением четностей волновых функций. Для любого состояния нуклона с квантовыми числами l, s, j

|nlsjmj> = (-1)l|nlsjmj>.

(6.18)

    Для ядра как системы Aнуклонов пространственная четность есть произведение четностей (6.18) всех нуклонов:

(6.19)

    Для всех заполненных оболочек и подоболочек четность положительна, поскольку для них в показателе степени (6.19) будет стоять четное число. Поэтому и у всех четно-четных ядер в основном состоянии четность положительна.
    Принято указывать одновременно спин и четность состояния системы в виде J^P. Здесь P является не степенью, а символом четности состояния.
    Для всех четно- четных ядер в основном состоянии J^P = 0⁺.
    Спин и четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочки определяется моментом и четностью неспаренного нуклона. Спин ядра является векторной суммой спина ядра с А нуклонами и неспаренного нуклона, но спин ядра с А нуклонами 0, если это ядро с замкнутой оболочкой или подоболочкой.

A+1 = A+ p = 0 + p = p.

(6.20а)

    Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочки определена четностью (-1)^l неспаренного нуклона.

    Рассмотрим теперь ядра, у которых до заполненной оболочки или подоболочки недостает одного нуклона. Эти ядра часто называют ядрами с одной «дыркой» относительно замкнутой подоболочки или оболочки. У всех таких ядер спин и четность определяются моментом и четностью «отсутствующего» нуклона, т.е. моментом и четностью «дырки».
    Действительно:

A-1 + h = A = 0,  JA-1 = jh.

(6.21а)

    Здесь момент недостающего нуклона обозначен как _h, где h соответствует обозначению «дырки» “hole”. Момент частицы сверх замкнутой оболочки или подоболочки обозначают как момент «частицы» =”particle” _p.
    Аналогично (6.20б) получим для четности ядра с одной «дыркой»:

    Ядро ¹³С в основном состоянии имеет следующую конфигурацию нуклонов:

    Неспаренный нейтрон имеет полный момент 1/2. Следовательно, спин ядра ¹³С в основном состоянии − 1/2. Четность основного состояния ¹³С определена (см.(6.20)) как (-1)^l. Поскольку неспаренный нейтрон находится в 1р-оболочке, четность отрицательна. Итак, для ядра ¹³С J^P = (1/2)^-, что объясняет экспериментальный результат.
    Для ядра ¹⁷О нуклонная конфигурация основного состояния:

Отсюда спин и четность его основного состояния J^P = (5/2)⁺, что соответствует экспериментальной величине.

    Ядро ³He соответствует нейтронной «дырке» в дважды магическом ядре ⁴Не. Соответственно, его спин и четность соответствуют моменту 1/2 и четности (-1)^l = +1 недостающего нейтрона. J^P = (1/2)⁺.
    Для ядра ¹¹B спин и четность определяет недостающий до замкнутой подоболочки протон в состоянии 1р_3/2, соответственно, J^P = (3/2)^-.
    Следует обратить внимание на важное правило: как частицы над замкнутой конфигурацией, так и дырки относительно нее могут рассматриваться одинаковым образом. Иногда и те и другие в научной литературе называют «квазичастицами».
    Одночастичная модель оболочек (ОМО) объясняет значения спинов и четностей ядер с одной «квазичастицей» сверх замкнутой конфигурации, т.е. полностью заполненной оболочки или подоболочки. Часто эту модель применяют и для того, чтобы рассмотреть спины и четности ядер, у которых сверх замкнутой конфигурации имеется более одной квазичастицы. Рассмотрим один из таких примеров как задачу.

    Конфигурация основного состояния этого ядра |1s_1/2>⁴|1p_3/2>³, причем сверх замкнутой оболочки дважды магического ядра ⁴Не в 1р оболочке находится два нейтрона и один протон. Два нейтрона за счет сил спаривания имеют полный суммарный момент 0, поэтому спин и четность ядра определены моментом и четностью неспаренного протона, т.е. J^P = (3/2)^-. Этот модельный результат совпадает с экспериментальным.
    Ядра с двумя протонами либо двумя нейтронами сверх замкнутой оболочки (или подоболочки) – четно-четные ядра с J^P = 0⁺. Но ядра с одном протоном и одним нейтроном сверх замкнутой подоболочки – нечетно-нечетные. Для двух разныхнуклонов на незамкнутой «валентной» подоболочке принцип Паули не препятствует тому, чтобы они имели одинаковые проекции момента на выделенную ось и, соответственно, суммарный момент не равный нулю. Например, ядро ¹⁴С с двумя нейтронами над замкнутой подоболочкой 1р_3/2 (ядром ¹²С) имеет в основном состоянии J^P = 0⁺ и конфигурацию нуклонов

,

ядро ¹⁴N имеет в основном состоянии конфигурацию

а спин и четность этого состояния − J^P = 1⁺. Таким образом, моменты протона и нейтрона в валентной подоболочке ¹⁴N параллельны и сложились в 1. Напомним, что спин системы протон-нейтрон, т.е. дейтрона, также 1. Низшее по энергии – т.е. основное − состояние ядер с протонной и нейтронной «дырками» относительно замкнутой подоболочки также имеет спин, соответствующий максимально возможному моменту пары квазичастиц. Например, ядро ¹⁰В имеет конфигурацию основного состояния

При этом моменты двух квазичастиц — протонной и нейтронной «дыркок» − складываются в максимальный суммарный момент 3. Отсюда для ядра ¹⁰В J^P = 3⁺.

    Ядро ²⁶Al в основном состоянии соответствует протонной и нейтронной «дыркам» относительно ядра ²⁸Si:

Сумма моментов протонной и нейтронной «дырок» равна 5: J^P(²⁶Al) = 5⁺.