Характеристики ядер в модели оболочек

Спины и четности ядер в модели оболочек

    Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, заполняющих любую подоболочку, равен 0 независимо от квантовых чисел подоболочки и числа (2j + 1) заполняющих ее нуклонов (нейтронов или протонов). Это важное правило является следствием того факта, что среди заполняющих подоболочку (2j + 1) одинаковых нуклонов будут обязательно находиться нуклоны с равными по абсолютной величине, но разными по знаку проекциями полного момента нуклона на выделенную ось. Такие пары одинаковых нуклонов имеют суммарный полный момент, равный 0. Поэтому суммарные моменты как нейтронов, так и протонов на заполненной подоболочке равны 0. По этой причине и спины основных состояний всех ядер с заполненными оболочками или подоболочками равны 0.
   Экспериментально доказано, что равны нулю спины основных состояний всех четно- четных ядер, т.е. как ядер с заполненными подоболочками или оболочками, так и ядер, у которых на подоболочке находятся по четному числу протонов или нейтронов. Объяснением этого экспериментального факта является наличие в ядерных взаимодействиях сил, не учтенных в предыдущем изложении одночастичной модели оболочек - т.н. сил спаривания. Необходимо отметить, что замена всех действующих между нуклонами сил самосогласованным потенциалом со спин-орбитальным членом является довольно грубым модельным приближением. Не учтенные в одночастичной модели оболочек силы называются силами остаточного взаимодействия и играют важную роль в формировании свойств ядер. Важнейшим компонентом сил остаточного взаимодействия являются силы спаривания. Действие сил спаривания (pairing forces) приводит к тому, что для любых двух одинаковых нуклонов наиболее выгодным по энергии (т.е. низшим) состоянием будет состояние с полным моментом 0 или, иначе говоря, с противоположными направлениями проекций полного момента на выделенную ось. Для всех четных по Z и по N ядер это приводит к значениям спина 0 в основном состоянии (см. далее лекцию 4).
    Пространственная четность основных состояний всех четно-четных ядер положительна. Четность – мультипликативное квантовое число. Поскольку собственная четность нуклонов p = +1, то пространственная четность ядерного состояния определяется произведением четностей волновых функций. Для любого состояния нуклона с квантовыми числами l,s,j

|nlsjmj> = (-1)l|nlsjmj>.

(3.1)

    Для ядра как системы A нуклонов пространственная четность есть произведение четностей (3.1) всех нуклонов:

P(1,2,...A) = .

(3.2)

    Для всех заполненных оболочек и подоболочек четность положительна, поскольку для них в показателе степени (3.2) будет стоять четное число. Поэтому и у всех четно-четных ядер в основном состоянии четность положительна.
    Принято указывать одновременно спин и четность состояния системы в виде J^P. (Здесь P является не степенью, а символом четности состояния).
   Для всех четно- четных ядер в основном состоянии J^P = 0⁺.
    Спин основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочки определяется моментом неспаренного нуклона. Спин ядра является векторной суммой спина ядра с А нуклонами и неспаренного нуклона, но спин ядра с А нуклонами 0, если это ядро с замкнутой оболочкой или подоболочкой:

A+1 = A + = 0 + ; JA+1 = j.

(3.3)

    Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочки определена четностью (-1)^l неспаренного нуклона. Поскольку

    Рассмотрим теперь ядра, у которых до заполненной оболочки или подоболочки недостает одного нуклона. Эти ядра часто называют ядрами с одной “дыркой” (hole) относительно замкнутой подоболочки или оболочки. У всех таких ядер спин и четность определяются моментом и четностью “отсутствующего” нуклона, т.е. моментом и четностью “дырки”. Действительно,

A-1 + h = A = 0;  JA+1 = jh.

(3.5)

    Здесь момент недостающего нуклона обозначен как j_h, где h соответствует обозначению “hole”. Аналогично (3.4) получим для четности ядра с одной “дыркой”

    Ядро ¹³С в основном состоянии имеет следующую конфигурацию нуклонов |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ |1p_1/2>¹_n. Неспаренный нейтрон имеет полный момент 1/2. Следовательно, спин ядра ¹³С в основном состоянии 1/2. Четность основного состояния ¹³С определена (см.(3.4)) как (-1)^l. Поскольку неспаренный нейтрон находится в 1р оболочке, четность отрицательна. Итак, для ядра ¹³С   J^P = (1/2)^-, что объясняет экспериментальный результат.
    Для ядра ¹⁷О нуклонная конфигурация основного состояния  |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ |1p_1/2>⁴ |1d_5/2>¹_n. Отсюда спин и четность его основного состояния J^P = (5/2)⁺, что соответствует экспериментальной величине.

   Ядро ³He соответствует нейтронной «дырке» в дважды магическом ядре ⁴Не. Соответственно, его спин и четность соответствуют моменту Ѕ и четности (-1)^l  =  +1 недостающего нейтрона. Отсюда J^P = (1/2)⁺.
    Для ядра ¹¹B спин и четность определяет недостающий до замкнутой подоболочки протон в состоянии 1р_{3/2 ,} соответственно у ядра ¹¹B J^P = (3/2)^-.
    Следует обратить внимание на важное правило: как частицы над замкнутой конфигурацией, так и дырки относительно нее могут рассматриваться одинаковым образом. Иногда и те и другие в научной литературе называют "квазичастицами"   =  "quasiparticles".
    Одночастичная модель оболочек (ОМО) объясняет значения спинов и четностей ядер с одной «квазичастицей» сверх замкнутой конфигурации, т.е. полностью заполненной оболочки или подоболочки. Часто эту модель применяют также для того, чтобы рассмотреть спины и четности ядер, у которых сверх замкнутой конфигурации имеется более одной квазичастицы

    Конфигурация основного состояния этого ядра |1s>⁴ |1p_3/2>³ , причем сверх замкнутой оболочки дважды магического ядра ⁴Не в 1р оболочке находится два нейтрона и один протон. Два нейтрона за счет сил спаривания имеют полный суммарный момент 0, поэтому спин и четность ядра определены моментом и четностью неспаренного протона, т.е. . J^P = (3/2)^-. Этот модельный результат совпадает с экспериментальным.
    Ядра с двумя протонами либо двумя нейтронами сверх замкнутой оболочки (или подоболочки) – четно-четные ядра с J^P = 0⁺. Но ядра с одном протоном и одном нейтроном сверх замкнутой подоболочки – нечетно-нечетные. Для двух разных нуклонов на незамкнутой " валентной" подоболочке принцип Паули не препятствует тому, чтобы они имели одинаковые проекции момента на выделенную ось и, соответственно, не равный нулю суммарный момент. Например, ядро ¹⁴С с двумя нейтронами над замкнутой подоболочкой 1р_^3/2 (ядром ¹²С) имеет в основном состоянии J_^P = 0⁺ и конфигурацию нуклонов

а ядро ¹⁴N имеет в основном состоянии конфигурацию |1s>⁴ |1p_3/2>⁸ |1p_1/2>¹_p |1p_1/2>¹_n,, причем спин и четность этого состояния J^P = 1⁺. Таким образом, моменты протона и нейтрона в валентной подоболочке ¹⁴N параллельны и сложились в 1. (Напомним, что спин системы протон- нейтрон, т.е. дейтрона, также 1). Низшее по энергии – т.е. основное состояние ядер с протонной и нейтронной " дырками " относительно замкнутой подоболочки – ядра ¹²С в основном состоянии - также имеет спин, соответствующий максимально возможному моменту пары квазичастиц. Ядро ¹⁰В имеет конфигурацию основного состояния

|1s1/2>4 |1p3/2>6   = |(1p 3 /2) -1 n (1p 3 /2) -1 p (12C)>

(3. 8 )

При этом моменты двух квазичастиц – протонной и нейтронной «дырок» – складываются в максимальный суммарный момент 3. Отсюда для ядра ¹⁰В J^P=3⁺.

    Ядро ²⁶Al в основном состоянии соответствует протонной и нейтронной "дыркам» относительно ядра ²⁸Si:

_gs(²⁶Al) = |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ |1p_1/2>⁴ |1d_5/2>¹⁰ = |(1d_5/2>^-1 (1d_5/2)^-1 (²⁸Si)>.

Сумма моментов протонной и нейтронной "дырок" равна 5. J^P(²⁶Al) = 5⁺.

    Если при возбуждении ядра, т.е. при поглощении ядром некоторой энергии, эта энергия передается одному нуклону над замкнутой оболочкой или подоболочкой, этот неспаренный нуклон будет переходить на более высокие уровни энергии, а остальные нуклоны ядра (т.н. кор) будут оставаться в прежних невозбужденных состояниях. Такие возбуждения называются одночастичными. В спектрах возбуждения ядер с одним нуклоном над замкнутой оболочкой или подоболочкой можно выделить уровни, соответствующие одночастичным возбуждениям. (См., например, задачу о возбужденных состояниях ядра ¹⁷О). Однако вид спектра возбужденных состояний ядра ¹⁷О показывает, что только часть наблюдаемых уровней имеет одночастичную природу. Другие возбужденные состояния этого же ядра представляют собой результат переходов нуклонов из "кора" (т.е. ядра ¹⁶О) и имеют более сложную структуру.
    Рассмотрим возбуждения ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками, например, ядра ¹²С. Конфигурация его основного состояния может быть представлена как

_gs(¹²C) = (1s_1/2)⁴ (1p_3/2)⁸.

    Возбужденные состояния этого ядра могут возникнуть в результате перехода одного из нуклонов 1р_3/2 на более высокую подоболочку 1р_1/2. Этому состоянию будет соответствовать конфигурация

(12C*) = (1s1/2)4 (1p3/2)7 (1p1/2)1.

(3.9)

    Однако такой метод изображения возбужденных состояний ядер, особенно средних и тяжелых, слишком громоздок и неудобен. Применим альтернативный метод описания состояний квантовых систем.
    В одночастичной модели оболочек основным состоянием ядра с замкнутыми оболочками или подоболочками является состояние, ниже которого все уровни, возможные по принципу Паули, – заполнены, а все более высокие по энергии уровни – пусты. Соответствующую такой конфигурации энергию системы называют энергией Ферми. (Далее - в лекции 4 - будет показано, что основные состояния реальных ядер отклоняются от этой примитивной схемы).
    Конфигурацию системы, в которой заполнены все уровни вплоть до энергии Ферми, а все уровни выше этой энергии пусты, объявим физическим вакуумом. В случае ядра ¹²С это означает, что конфигурация |0> = (1s_1/2)⁴ (1p_3/2)⁸ - состояние физического вакуума. Тогда возбужденное состояние (3.9) представляет собой одну частицу и одну дырку относительно состояния вакуума:

.

(3.10)

    Представление возбужденных состояний систем на языке «частично – дырочных конфигураций» (particle-hole configurations) широко используется в теории квантовых систем многих частиц.

Рис.3.1.

    Основное состояние ¹⁷О соответствует одному нейтрону над замкнутой оболочкой: |1s_1/2>⁴|1p_3/2>⁸|1p _1/2>⁴|1d _{5 /2}>_n . Переходы неспаренного нейтрона с подоболочки 1d_5/2 на более высокие подоболочки 2s_1/2 и 1d_3/2 соответствуют возбужденным состояниям 1/2⁺ и 3/2⁺ в спектре ¹⁷O. Разность энергий 3/2⁺ и 5/2⁺ уровней в спектре ¹⁷О является следствием спин-орбитального расщепления.

    Из формулы (2.12) разность энергий состояний нуклона с j = l + 1/2 = 5/2 и j = l -1/2 = 3/2 .

E(1d _{5 /2} ) - E(1d _{3 /2} ) = a(5/2^.7/2 - 3/2^.5/2)/2 = 5a/2 = -5.08 МэВ;
a -2 МэВ

    Как видно из спектра ядра ¹⁷О, только некоторые из возбужденных состояний этого ядра можно считать результатом одночастичных возбуждений. Природа других возбужденных состояний этого же ядра более сложная. Например, низший уровень 1/2^- с энергией возбуждения 3.06 МэВ является результатом перехода одного нуклона из замкнутой подоболочки 1р_1/2 в следующую 1d_5/2, причем два нуклона в 1d_5/2 состояниях имеют суммарный момент 0. (Это значение суммарного момента двух нейтронов или двух протонов соответствует минимальной энергии системы вследствие действия сил спаривания). Спин и четность ядра при этом будут определены полным моментом “дырки” в 1р_1/2 подоболочке и орбитальным моментом, т.е. составлять J^P=1/2^-.

В данной задаче удобно принять основное состояние ядра ¹²С за физический вакуум: |0> = |1s_1/2>⁴|1p_3/2>³, тогда переход нуклона в следующую подоболочку эквивалентен рождению частично- дырочной пары над вакуумным состоянием. Спин такого возбужденного состояния равен векторной сумме моментов частицы и “дырки”:

|JP> = |(1p3/2)-1(1p1/2): JP>, = + = , .

(3.11 )

    Принимая основное состояние ¹⁶O за физический вакуум, имеем для возбужденного состояния, возникающего вследствие перехода нуклона из 1р_1/2 в следующую подоболочку 1d_5/2:

|JP> = |(1p1/2)-1(1 d 5 /2): JP>, = + = , .

(3.12 )

Четности этих возбужденных состояний отрицательны, т.к. являются произведениями отрицательной четности “дырки” и положительной четности частицы. В спектре энергий ядра ¹⁶O при Е = 6.13 МэВ присутствует 3^- состояние и при Е = 8.87 МэВ – 2^- состояние. Важно отметить, что низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹⁶O является состояние 0⁺, которое невозможно интерпретировать в рамках одночастичной модели оболочек. Задача интерпретации всех исследованных экспериментально возбужденных состояний атомных ядер далека от полного разрешения. В данном курсе лекций обсуждаются наиболее важные теоретические модели, позволяющие понять и объяснить многие – но не все – характеристики сложной квантовой системы – атомного ядра.

Изоспин ядер в основных и возбужденных состояниях

    В лекции 1 было показано, что низшим по энергии состояниям системы нуклонов, т.е. основным состоянием ядра, является состояние с низшим возможным значением изоспина, которое равно величине модуля проекции изоспина

Рис.3.2. Спектры “зеркальных” ядер 7Li и 7Be.

    Рассмотрим изоспины возбужденных состояний ядер. Для частично-дырочных возбуждений возможны два значения изоспина возникающего возбужденного состояния, соответствующие двум значениям векторной суммы изоспинов квазичастиц: = + = 0, . Низшим по энергии возбуждения оказываются состояния с изоспином 0. Инвариантность сильных взаимодействий относительно вращений в изоспиновом пространстве ярко проявляется в подобии спектров т.н. зеркальных ядер (“mirror nuclei”). (См., например, рис. 3.2). У этих ядер одинаковые числа нуклонов и тождественные значения изоспина. Поскольку число нейтронов одного равно числу протонов другого, эти ядра имеют противоположные по знаку величины проекций изоспина.
    Остаточные взаимодействия между квазичастицами зависят от изоспина. Состояния с более высокой энергий возбуждения могут иметь изоспин 1, причем проекция изоспина остается равной проекции изоспина для основного состояния ядра – она определена числом протонов и нейтронов данного ядра.

    Спин состояния определен векторной суммой моментов частицы и дырки (квазичастиц): = + = , . Изоспин состояния является векторной суммой изоспинов квазичастиц: = + = 0, . Четность возбужденного состояния равна произведению четностей квазичастиц: P = (-1)(-1) = +1. Таким образом, в результате перехода 1p_3/2 1p_1/2 могут возникнуть возбужденные состояния |2⁺ I = 0>, |1⁺ I = 0>, |2⁺ I = 1>, |1⁺ I = 1>.  Все эти состояния действительно наблюдаются в спектре ядра ¹²С, но при разных энергиях. Низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹²С является состояние J^P  = 2⁺ с изоспином 0 и энергией Е = 4.44 МэВ.
    При энергии 12.7 МэВ находится состояние с квантовыми числами J^P = 1⁺. Столь большое различие в энергиях частично-дырочных возбуждений (3.8) является следствием двух причин. Во-первых, частица и дырка взаимодействуют между собой, и энергия их взаимодействия зависит от их суммарного момента (спина) и изоспина системы.
    Во-вторых, частично-дырочное представление низших возбужденных состояний ядер является приближенным, волновые функции реальных состояний более сложные.
    Рассмотрим четность частично-дырочных возбужденных состояний. Поскольку четность основного состояния ядра ¹²С (принятого за физический вакуум) положительна, четность возбужденных состояний равно произведению четности частицы и “дырки”. В данном примере и та и другая имеют отрицательную четность, что дает в итоге положительную четность возбужденного состояния. Для ядра ¹²С, например, низшее по энергии возбужденное состояние с изоспином 1 имеет характеристики J^P = 1⁺,   Е = 15.11 МэВ.

Магнитный дипольный момент ядер в ОМО

    Теоретическая оценка магнитного дипольного момента атомных ядер основана на соотношении между квантовыми векторами магнитного и механического моментов:

(3.1 4 )

    Коэффициент g_N называется ядерным гиромагнитным отношением. Его теоретическая величина может быть получена из (3.14 ) путем расчета матричных элементов левой и правой части равенства для ядерного состояния с моментом  j и проекцией момента +j.
    Для этой цели применим волновые функции ядер, полученные нами в рамках одночастичной модели оболочек (ОМО). В этой модели волновая функция ядра с одной частицей или одной дыркой сверх замкнутой оболочки или подоболочки определяется волновой функцией этой неспаренной квазичастицы |jm_jls> = |jm_j>, а спин ядра определяется полным угловым моментом этой квазичастицы. (Обычно не указывают в дираковских скобках значения орбитального момента и спина квазичастицы – их сохранение подразумевается)

(3.15 )

поскольку, или ,

произведение векторов в (3.15) сводится к произведениям векторов полного, орбитального и спинового моментов:

(3.16 )

Используя очевидные формулы , получим для (3.16)

Отсюда

.

(3.17)

Поскольку j = l + 1/2 либо j = l -1/2 в ОМО, (3.1 7 ) можно упростить для этих случаев. Например, для j = l + 1/2 имеем

g_j = g_l(l + 1/2) + (g_s - g_l)/2.

    Эти теоретические результаты могут быть изображены в виде т.н. линий Шмидта для неспаренных протонов и нейтронов с полными моментами j = l + 1/2 и j = l - 1/2.
    Экспериментальные значения магнитных моментов ядер лишь для нескольких ядер близки к линиям Шмидта, они разбросаны между кривыми для j = l + 1/2 и j = l - 1/2. Этот факт указывает на приближенный характер предсказаний одночастичной модели оболочек.

Модель оболочек для средних и тяжелых ядер. Роль кулоновского взаимодействия

    Во всех предыдущих расчетах и комментариях не был учтен тот факт, что на протоны ядра помимо сильного взаимодействия (которое было приближенно учтено введением самосогласованного потенциала со спин-орбитальным членом), действует также кулоновское отталкивание со стороны других протонов ядра. Роль этого члена во взаимодействии была сравнительно невелика для легких ядер, но для средних и тяжелых ядер влияние кулоновского потенциала влияет на ход заполнения подоболочек и оболочек. Иными словами, если нейтроны ядра можно считать находящимися в потенциале (2.9), то для протонов в это выражение должен быть добавлен член, характеризующий кулоновское отталкивание протонов:

(3.1 8 )

    Решения у.Ш. для энергий протонов в потенциале (2.9) + (3.1 8 ) выше, чем решения у.Ш. для нейтронов в потенциале (2.9). Эта разность растет с числом протонов в ядре. Соответствующая схема заполнения оболочек и подоболочек для нейтронов и протонов показана на схеме рис.3.3. Отметим, что ход следования подоболочек и их энергии в сильной степени зависят от выбора параметров потенциала (2.9) + (3.19) при решении уравнения Шредингера. Поэтому не существует одного набора параметров, с которым можно одновременно получить схемы уровней, соответствующие эксперименту для легких, средних и тяжелых ядер. Показанная на рис.3.3 схема помогает понять ход заполнения уровней для легких и средних ядер.
    Поскольку протонные уровни выше нейтронных, средние и тяжелые ядра с заполненными подоболочками имеют больше нейтронов, чем протонов. Максимальная энергия нуклонной конфигурации, соответствующая ситуации, когда все уровни выше этой энергии не заполнены, а ниже – заполнены, называется энергией Ферми. Для ядра ⁴⁸Са, например, энергия Ферми соответствует энергии нейтронов в полностью заполненной нейтронами подоболочке (1f_7/2)⁸ . Это ядро обладает особой устойчивостью и является первым дважды магическим ядром с превышением числа нейтронов над числом протонов. Таким образом, магическое число 28 – следствие влияния кулоновского потенциала на заполнение ядерных подоболочек.

Рис. 3.3. Квантовые числа состояний в потенциале трехмерного осциллятора (левая колонка), в потенциале трехмерного осциллятора с учетом спин-орбитального члена(2.9) (средняя колонка) и с дополнительным кулоновским членом (3.19) (правая колонка).