Остаточные взаимодействия и силы спаривания

    Энергии состояний с различными схемами сложения моментов отдельных нуклонов различаются благодаря остаточным взаимодействиям (residual interactions) т.е. тем обменным взаимодействиям между нуклонами, которые не учтены введением среднего самосогласованного ядерного потенциала. В ядерной модели оболочек предполагается, что остаточные взаимодействия малы по сравнению со средним самосогласованным потенциалом. Успех оболочечной модели доказывает справедливость этого предположения. Доминирующий компонент остаточных взаимодействий – энергия спаривания - имеет порядок величины 1-2 МэВ, в то время как расстояние между оболочками порядка 10 МэВ. Однако расстояния между подоболочками (т.е. уровнями с определенными значениями j) могут иметь величины, близкие к энергии спаривания. Хотя в суммарную энергию связи ядра остаточные взаимодействия дают относительно малый вклад, они в значительной степени определяют связь валентных нуклонов, а также спин, магнитный и квадрупольный моменты ядер.
    Важнейшим следствием существования остаточных взаимодействий является действие сил спаривания (pairing forces) , которые проявляют себя различными способами. Силы спаривания, например, ответственны за особенно высокие значения энергий отделения для спаренных нуклонов, а также за тот факт, что все четно-четные ядра имеют в основном состоянии спин 0. Другой эффект, вызванный силами спаривания, проявляется в спектрах возбуждения четно-четных ядер. Сравнение их спектров со спектрами возбуждения ядер с нечетным количеством протонов или нейтронов показывает, что в спектрах четно- четных ядрах отсутствуют низколежащие возбужденные состояния с энергией возбуждения 0.5 - 1 МэВ. Эта "энергетическая щель" возникает потому, что при неколлективных возбуждениях четно- четных ядер должно быть прежде всего разрушено спаривание двух нуклонов. Возбуждение ядра путем переноса всей пары в более высокое состояние требует также большой энергии.
    Действие сил спаривания состоит в том, что два нуклона одинакового сорта на ядерной оболочке имеют тенденцию при взаимодействии дать суммарный момент ноль; при этом пара одинаковых нуклонов находится в низшем по энергии состоянии.
    За силы спаривания отвечает короткодействующая часть ядерных сил. Можно предположить, что силы спаривания проявляются тогда, когда имеет место перекрывание пространственных распределений плотностей двух нуклонов. Поэтому для простоты часто предполагают, что соответствующие остаточные взаимодействия между двумя частицами имеют вид сил “нулевого радиуса”, т.е. -сил:

V1,2 = - V0(1 - 2).

(4.1)

    В этом случае обменное взаимодействие двух нуклонов возникает лишь тогда, когда перекрываются их волновые функции. Например, если рассмотреть две частицы с орбитальными моментами, равными l, то их волновые функции будут полностью перекрываться в случае, если вектора орбитальных моментов антипараллельны и суммарный орбитальный момент пары равен нулю. На рис. 4.1 дан пример перекрывания волновых функций с квантовыми числами l = 1 и проекциями орбитального момента, равными +1 и –1.
    Параллельное направление не дает столь полного перекрывания. Действительно, рассмотрим случай, когда орбитальные моменты частиц равны l = 1, а их сумма L = 2. Так как длина вектора L равна корню из L(L+1), вектора орбитальных моментов частиц составляют угол 60 градусов и соответствующие им волновые функции перекрываются слабо.
    Наилучшее перекрывание волновых функций приводит к наиболее низкому по энергии состоянию. Таким образом, для низшего состояния двух частиц суммарный момент импульса должен быть равен нулю, как и его проекция M = m - m = 0.

Рис.4.1. Схема волновых функций одного нуклона и двух спаренных нуклонов (L1=L2=1).

Волновая функция пары, соответствующая этому низшему состоянию, может быть записана как

J0 = m<jmj-m|00>mj(1)-mj(2) = (2j+1)-1/2m(-1)j-mmj(1)-mj(2).

(4.2)

Суммирование проводится по всем возможным проекциям m момента j.
    В теоретических расчетах эффектов спаривания вводят т.н."силу спаривания"и соответствующий ей гамильтониан. Эта сила действует только между парами нуклонов с суммарным моментом 0. Энергию спаривания формально описывают как результат действия оператора _pair:

<(jj)00|pair| (j'j')00> = - (2j+1)1/2 (2j'+1)1/2 G.

(4.3)

    При анализе нуклонных конфигураций вводят иногда характеристику, которая получила название сеньорити = s (seniority). Величина s принимает лишь целые положительные значения и равна числу неспаренных нуклонов (квазичастиц) в данной конфигурации.
    Энергетический спектр, возникающий вследствие действия сил спаривания может быть рассчитан по формуле (4.3) с волновыми функциями (4.2). Наиболее низкие по энергии состояния имеют I = 0 и s = 0, причем обе частицы находятся в состояниях с одинаковыми значениями j. При разных значениях j спаривание невозможно. Если на разных подоболочках находится нечетное число частиц, состояние с s = 0 отсутствует.

Рис.4.2. Вероятности заселения одночастичных уровней

    Матричный элемент (4.3) определяет связь двух состояний пары одинаковых частиц, причем подоболочки, на которых находятся эти спаренные частицы, могут быть разными. Поскольку волновые функции двух спаренных частиц перекрываются, эти частицы могут сталкиваться. Однако при их столкновении силы спаривания оставляют пару в состоянии с нулевым моментом. Поэтому действие сил (4.3) связывает только состояния с s = 0. Силы спаривания в форме (4.3) действуют только между состояниями со спаренными частицами. Они действуют и тогда, когда пары частиц находятся на разных уровнях. Энергия спаривания воздействует на смешивание конфигураций и приводит к тому, что одна пара валентных нуклонов имеет вероятность находиться не на одном уровне. Расчеты эффектов спаривания показывают, что низшее по энергии состояние системы нуклонов возникает тогда, когда спаренные нуклоны частично находятся на уровнях выше поверхности Ферми. Без учета сил спаривания низшим по энергии состоянием будет состояние, соответствующее заполнению всех уровней ниже поверхности Ферми. Важнейшим результатом действия сил спаривания как проявления нуклонных корреляций на малых расстояниях является преодоление уровня Ферми. Этот эффект изображен на графике зависимости вероятности заселения от энергии одночастичного уровня для основного состояния четно-четных ядер (рис.4.2). На оси ординат – отношение числа нуклонов на одночастичном уровне к числу частиц, которые могут на нем находиться по принципу Паули. В модели независимых частиц все уровни вплоть до энергии Ферми заполнены, при этом силы спаривания равны нулю. Воздействие корреляций на малых расстояниях через силы спаривания приводит к появлению на графике 4.2 переходной зоны шириной, в которой уровни заполнены лишь частично. Вместо энергии Ферми возникает точка перегиба кривой , которую часто называют "химическим потенциалом". Величина пропорциональна величине G сил спаривания. "Включение" остаточных взаимодействий приводит также к тому, что пара валентных нуклонов с определенными вероятностями находится выше и ниже уровня , оставаясь при этом с теми же квантовыми числами (m,-m).
    Такие же корреляции имеют место и во взаимодействии электронов, причем силы спаривания при низких температурах становятся сильнее кулоновского отталкивания. При этом возникает сверхпроводимость. Основа теории сверхпроводимости дана в работе Бардина, Купера и Шриффера (BCS-теория) в 1957 г. В следующем году эти же методы были использованы для расчета квазичастичного спектра атомных ядер. Последовательная теория парных корреляций сверхпроводящего типа создана с помощью канонического преобразования операторов частиц в операторы квазичастиц, предложенного Н.Н. Боголюбовым:

причем u_q² + v_q² =1 . Операторы a, a⁺ рождения и поглощения нуклона при действии на состояние физического ваккума системы вызывают рождение или поглощение нуклона с квантовыми числами (q,s). Состояния, отличающиеся по знаку проекции момента m, сопряжены относительно операции отражения времени. В представлении вторичного квантования член полного гамильтониана, ответственный за парные корреляции имеет вид:

pair = - qk G(q+,q-;k+,k-)a+q+ a+q- ak+ ak-.

(4.5)

    В результате действия этого гамильтониана частицы могут попарно совершать виртуальные переходы.
    Каноническое преобразование Боголюбова выделяет из полного гамильтониана среднее поле и взаимодействие между нуклонами в состояниях, сопряженных относительно отражения времени. Это взаимодействие приводит к парным корреляциям сверхпроводящего типа и к эффекту сверхтекучести атомных ядер. Теория парных корреляций позволяет рассчитать энергию возбуждения квазичастицы:

Ej = [(j-) 2 + j2 ]1/2.

(4.6)

Здесь _j - одночастичная энергия.
    Из (4.6) следует, что низшая энергия возбуждения одной квазичастицы равна . Поскольку в четно-четном ядре при возбуждении разрывается пара, то есть появляются две квазичастицы, низшая энергия возбуждения такого ядра составляет 2. (В этом рассмотрении не затронуты коллективные возбуждения).
    Экспериментально наблюдаемая "энергетическая щель" (т.е. значительное различие в энергиях основного и первого возбужденного состояния) в спектрах четно-четных ядер является, таким образом, следствием парных корреляций и ее величина может служить мерой энергии спаривания G. Для случая G = 0 энергетическая щель отсутствует и спектр является одночастичным.
    Для состояний значительно выше поверхности Ферми оператор квазичастицы совпадает с оператором частицы, а для состояний много ниже поверхности Ферми он совпадает с оператором "дырки". Вблизи поверхности Ферми он является суперпозицией операторов частицы и дырки. Основное состояние четно-четного ядра является квазичастичным вакуумом. В его возбужденных состояниях может содержаться любое четное число квазичастиц.
    Тот факт, что все четно-четные ядра в основном состоянии имеют спин и четность 0⁺ является следствием действия сил спаривания. Пара нейтронов (или пара протонов) на любой валентной подоболочке с полным моментом j в ОМО может иметь любой суммарный момент, возможный в рамках правила сложения векторов j. Однако действие сил (4.1) приводит к тому, что наименьшей энергией будет обладать пара с противоположными направлениями проекций моментов j. Суммарный момент такой пары равен 0. Это означает, что остаточные взаимодействия на малых расстояниях (4.1) приводят к появлению корреляций в основном состоянии ядра (ground state correlations).

Рис.4.3. Спектр возбуждения ядра 16O в реакции (e,e').

    Доказательством влияния сил спаривания на заполнение ядерных оболочек являются результаты, полученные А. Рихтером и его сотрудниками в экспериментах на ускорителе DALINAC по неупругому рассеянию электронов на ядрах. В неупругом рассеянии (e,e’) электрон с начальной энергией Е₀ передает ядру-мишени часть своего импульса (т.н. переданный импульс q) и энергию возбуждения Е. Исследования спектров возбуждения ряда магических ядер (¹⁶O, ⁴⁰Ca) показали, что при больших углах рассеяния в спектрах возбуждения этих ядер четко выявляются пики с квантовыми числами 1⁺, т.е. по принятой терминологии, пики М1 возбуждений ядер.
   М1 возбуждения хорошо изучены на целом ряде ядер, например, ¹²С и ²⁸Si. В этих ядрах, согласно схеме ОМО, заполнена низшая по энергии подоболочка (соответственно, 1p_3/2 и 1d_5/2). Переходы нуклонов из этой подоболочки в незаполненную подоболочку с полным моментом нуклона, равным j=l-1/2, формируют конфигурацию возбужденного состояния. Если принять конфигурации основных состояний этих ядер за “физический вакуум”, то конфигурации М1 возбужденных состояний в ¹²С : |(1p_3/2)^-1(1p_1/2): 1⁺> и в ядре ²⁸Si: |(1d_5/2)^-1(1d_3/2): 1⁺>. Однако выявление 1⁺ пиков в спектрах возбуждения ядер с полностью заполненными - с позиций ОМО- оболочками ¹⁶O и ⁴⁰Ca показывает, что схема ОМО слишком примитивна. Два пика М1 возбуждений в этих ядрах появляются именно потому, что верхняя подоболочка этих "дважды магов" не является полностью заполненной. С вероятностью около 15% в ней присутствуют две "дырки", а на уровне выше поверхности Ферми - две частицы. Этот факт, являющийся следствием сил спаривания (или, как иногда говорят, корреляций в основном состоянии ядра) и создает возможность М1 возбуждений в таких ядрах.

Рис.4.3. Спектр возбуждения ядра 16O в реакции (e,e')

    В ядре ¹⁶O переходы нуклонов 1p_3/2 1p_1/2 и 1d_5/2 1d_3/2 формируют два 1⁺ пика, наблюдаемые в реакции возбуждения ядра (см. рис. 4.3).
    Если принять нуклонную конфигурацию ядра ¹⁶О в одночастичной модели оболочек (ОМО) (см. рис.2.3) за физический вакуум, то в ОМО волновая функция основного состояния ¹⁶О может быть изображена как

(16Оgs) = |0p0h: 0+>.

(4.7)

    Однако действие сил спаривания приводит к тому, что волновая функция основного состояния ¹⁶О и других ядер, оболочки которых считаются полностью заполненными в ОМО, имеет более сложную структуру. Опыты, один из результатов которых показан на рис.4.3, доказывают, что в основном состоянии таких ядер должны присутствовать конфигурации с двумя частицами и двумя дырками относительно схемы ОМО (4.7):

(16Оgs) |0p0h: 0+> + |2p2h: 0+>;  2 + 2 = 1.

(4.8)