Модель деформированных оболочек

    Изложение основ одночастичной модели оболочек (ОМО) (как и любой другой теории) было бы неполным, если бы не были указаны границы ее применения. Понимание того, в каких случаях простейшая версия ОМО, изложенная выше, применима, а в каких случаях не применима, возникает при изучении характеристик всех легких ядер и сравнении для них результатов ОМО с экспериментом. Наиболее показательный случай расхождения предсказаний ОМО со спин-орбитальным потенциалом (2.9) с экспериментом – спины нечетных ядер с А = 19, 21 и 23. В этих ядрах оболочка с = 2 является частично заполненной. Например, для ядра ¹⁹F:

(19Fgs) = |(16Оgs).(1d5/2)2n.(1d5/2)2p>.

(5.1)

    Можно было бы предположить, что спин основного состояния этого ядра должен быть равен моменту неспаренного протона, т.е. составлять J^P = 5/2⁺. Однако экспериментальное значение спина ядра ¹⁹F равно J^P = 1/2⁺. Это и подобные ему расхождения простой ОМО и эксперимента позволили разобраться в причинах того, что для некоторых ядер ОМО в том виде, который изложен в лекциях 2,3, иногда дает адекватное описание опытных данных, а в некоторых случаях ее предсказания неверны. Суть дела состоит в том, что ОМО в предыдущем изложении годилось только для сферических ядер или ядер, близких к сферическим. Использованный выше потенциал соответствовал сферическому распределению нуклонов в ядре. Сферическими в основном состоянии являются легкие и средние ядра с заполненными оболочками или подоболочками. Однако большая часть ядер сферическими не является, хотя и обладает осью симметрии. Для этих ядер одночастичный потенциал зависит от угла между радиус-вектором квазичастицы и осью симметрии:

VV(r,) + a().

(5.2)

    Эксперимент показывает, что большинство ядер не представляют собой сферу, и поэтому нуклоны такого ядра находятся в потенциале несферической формы. Простейшая модель такого ядра - аксиально-симметричный эллипсоид вращения. Одночастичная модель оболочек может быть модифицирована для такого случая путем замены потенциала гармонического осциллятора с центральной симметрией на потенциал с аксиальной симметрией:

.

(5.3)

В (5.3) координаты соответствуют внутренней системе координат несферического ядра, причем ось z перпендикулярна круглому сечению эллипсоида.
    Для частот колебаний вдоль внутренних осей

x = y(1 + /3);  z(1 - 2/3).

(5.4)

Здесь ω - осцилляторная частота для сферического потенциала. Приближенно энергия кванта колебаний для сферического потенциала ω41A^-1/3 МэВ. Деформация преобразует сферу в эллипсоид, объем которого предполагается не зависящим от параметра деформации. В анизатропном потенциале колебания вдоль и поперек оси симметрии независимы.
    Энергии одночастичных состояний, полученные путем численных решений уравнения Шредингера с деформированным потенциалом представлены на рис 5.1. (На рис.5.1.показано решение, полученное в т.н. схеме Нильссона (Nilsson S.G.), причем в гамильтониан, помимо потенциала (5.2), был включен также еще один член V_lD²).

Рис.5.1. Зависимость положения уровней в самосогласованном потенциале Нильссона от деформации . Цифры в кружке – число частиц при заполнении оболочек в сферически симметричном потенциале

    Важным отличием решений в деформированном потенциале от рассмотренного ранее случая сферических ядер является “потеря” одного из хороших квантовых чисел. Если одночастичный гамильтониан содержит деформированный потенциал (5.2), квадрат полного момента уже не коммутирует с ним, хотя оператор проекции момента на ось и оператор отражения осей по-прежнему соответствуют интегралам движения:

= + (r,)|,2| 0, |,z| = 0, |,| = 0.

(5.5)

Решение у.Ш. в деформированном потенциале приводит к значениям энергии нуклона, зависящим помимо главного квантового числа, от значений модуля К проекции полного момента нуклона на выделенную ось:

= En,K; En,K= En,-K; K = |Jz|.

(5.6)

    Итак, оператор Гамильтона с потенциалом, зависящим от угла , продолжает коммутировать с проекцией момента на выделенную ось (ось симметрии), но не коммутирует с оператором квадрата полного момента. Это означает, что величина J уже не является "хорошим" квантовым числом, однако ее проекция является. Решения у.Ш. для энергий (5.6) зависят от модуля проекции момента |J_z| = K. Эта величина К является для деформированных ядер спиновой характеристикой уровня. Расщепление уровней ядер при деформации показано на рис. 5.1. Деформация частично снимает вырождение по проекции момента. На каждом из уровней рис.5.1 может находиться не более 4 нуклонов: два протона и два нейтрона с противоположными проекциями момента на ось симметрии ядра.
    Таким образом, в потенциале Нильссона вырождение уровней значительно менее выражено, чем в сферическом потенциале. Учет кулоновского взаимодействия снимает вырождение по изоспину, уровни протонов и нейтронов получают различные значения энергии. Кратность вырождения становится равной 2, что отражает независимость энергий нуклонов от знака К.
    С помощью рис.5.1 можно понять происхождение экспериментального значения спина ядра ¹⁹F. Добавление двух нейтронов к дважды магическому (сферическому) ядру ¹⁶O делает ядро ¹⁸O вытянутым. В деформированном потенциале этого ядра находится протон. Согласно схеме, уровень 1d_5/2 расщепляется на три уровня, соответствующих трем значениям модуля проекции вектора момента j = 5/2: K = 1/2, 3/2, 5/2. Низшим по энергии в вытянутом ядре будет состояние с K = 1/2. Эта величина и определяется в эксперименте для ядра ¹⁹F.

Многочастичная модель оболочек

Элементы теории многочастичных систем. Метод Хартри-Фока

    Система А частиц характеризуется волновой функцией Ψ(1,……А). В нерелятивистском приближении эта функция является решением уравнения Шредингера с гамильтонианом

(5.7)

редставляющим собой сумму операторов кинетических энергий частиц системы и оператора потенциальной энергии взаимодействия между ними.
    Функцию системы представляют в виде произведения функций отдельных частиц. Необходимо, чтобы волновая функция системы фермионов в потенциальной яме удовлетворяла принципу Паули. Как правило, эту функцию представляют в виде детерминанта Слетера, построенного из волновых функций отдельных фермионов:

(5.8)

    Приближенное решение у.Ш. для системы фермионов можно найти с помощью метода Хартри-Фока. При этом вид одночастичных волновых функций ищут с помощью решения самосогласованной системы уравнений

(5.9)

(Это уравнение можно получить с помощью вариационного принципа.) Уравнение показывает, что каждая из частиц системы находится в потенциале, созданном ее взаимодействием с другими частицами. Она сама также дает вклад в потенциалы для других частиц. В уравнении (5.9) не учтены эффекты антисимметризации для системы фермионов. С учетом антисимметризации уравнение для функций одного нуклона выглядит как

(5.9a)

    Это уравнение обычно решают методом итераций. Начало этой процедуры состоит в наиболее “физичном” выборе исходных функций и подстановке их в интеграл уравнения (5.9). Из его решения находят новый набор функций, которое снова используют для решения системы. Процесс продолжается до тех пор, пока наборы последовательно найденных функций не начнут практически совпадать.
    После завершения итерационной процедуры получают набор одночастичных волновых функций, удовлетворяющих системе уравнений

[Tk + Uk(rk)]k(rk) = kk(rk);  k = 1, 2, ..., A.

(5.10)

Здесь
    Гамильтониан в (5.7) можно представить в виде:

(5.11)

    В уравнении (5.11) не полностью учтена необходимость антисимметризации для тождественных частиц. Учет антисимметризации приводит к следующей системе уравнений Хартри-Фока для функций нуклонов:

W(r,r') = W(r',r).

(5.12)

Из-за действия эффекта антисимметризации, приводящего к появлению члена с W, взаимодействие нелокально!
    Одночастичные решения интегро-дифференциального уравнения (5.12) удовлетворяют соотношениям ортогональности.

Вторичное квантование и уравнения Хартри-Фока

Часто теорию систем фермионов формулируют на языке вторичного квантования, вводя операторы рождения и поглощения фермиона (например, нуклона): Поскольку вакуум не содержит частиц

(5.13)

Состояние из А частиц является результатом действия на вакуум А операторов рождения при условии, что состояния частиц – разные. Если два состояния совпадают, то детерминант Слетера оказывается нулем. Операторы рождения и поглощения фермионов удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

(5.14)

(Антикоммутаторы двух операторов рождения или поглощения равны 0)
    Оператор Гамильтона в этом представлении имеет вид:

(5.15)

Волновую функцию основного состояния системы нуклонов постулируем в виде

(5.16)

Это выражение эквивалентно определителю Слетера в конфигурационном пространстве.
    Энергия основного состояния системы нуклонов

(5.17)

Таким образом, полная энергия системы не равна сумме одночастичных энергий, она меньше ее на половину суммы энергий взаимодействия..Как правило, отсчет энергий начинается с основного состояния системы, т.е. полагают Е₀ = 0.
    Величины называются одночастичными энергиями. Они являются решениями одночастичных уравнений Шредингера:

(5.18)

Возбужденные состояния системы нуклонов

    Рассмотрим возбужденные состояния ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками. Возбужденные состояния таких ядер будем описывать с помощью конфигураций “частица-дырка” относительно основного состояния. Цель такого подхода – свести задачу о взаимодействии А частиц к задаче о взаимодействии двух квазичастиц (частицы и дырки).
    Возбужденные состояния “частица-дырка” описываются волновой функцией вида

(5.19)

Состояние (5.19) называется частично-дырочным (1p1h). Оно соответствует переносу одной частицы из-под поверхности Ферми в состояние выше энергии Ферми. Аналогичным образом определяются состояния 2p2h с двумя частицами-двумя дырками и т.д.

Рис.5.2. Схема заполнения уровней 16О в ОМО.

    В качестве иллюстрации частично-дырочного подхода к расчету возбужденных состояний ядра рассмотрим задачу о дипольных возбуждениях ¹⁶О. (Приближенный метод расчета возбужденных состояний ядра на основе частично-дырочной модели называется приближением Тамма-Данкова = TDA). Дипольные возбуждения ядра ¹⁶О в фотоядерных реакциях приводят к т.н. гигантскому резонансу в сечении поглощения гамма-квантов. Это резонансное состояние ¹⁶О имеет квантовые числа 1^-.Т=1.
    Частично-дырочное состояние (5.19) в этом случае должно соответствовать переходом нуклона из 1р оболочки в следующую оболочку. Этому соответствуют переходы:

1p3/21d5/2, 1p3/22s1/2, 1p3/21d3/2, 1p1/22s1/2, 1p1/21d3/2.

(5.20)

Этим переходам в состояния выше энергии Ферми соответствуют конфигурации

и т.д.

(5.20a)

Эти состояния являются решениями одночастичного у.Ш

(5.21)

    Волновую функцию дипольного резонансного состояния c J^P = 1^- можно представить в виде линейной суперпозиции частично-дырочных состояний:

(5.22)

    Подстановка суммы (5.22) в у.Ш. приводит к следующей системе линейных уравнений для коэфициентов в (5.22):

(5.23)

    Умножая слева на вектор <j | и используя ортонормированность частично-дырочных состояний <j || i> = _ij, получим для коэфициентов разложения в (5.22) систему однородных линейных уравнений:

(5.24)

    Эта система имеет ненулевое решение при условии равенства нулю ее определителя (детерминанта):

Det |ij(i - Ek) + Vij| = 0.

(5.25)

    Решение этого т.н. “секулярного” уравнения дает набор N волновых функций в виде разложений по частично-дырочным конфигурациям и N соответствующих этим функциям собственных значений – энергий. Процедура получения этого решения полного гамильтониана называется диагонализацией гамильтониана на частично-дырочном базисе. На рис.5.3 дано сравнение результатов частично-дырочного приближения многочастичной модели оболочек и экспериментальных данных. Видно, что модель отражает лишь основные черты распределения сечения фотопоглощения.

Рис. 5.3.