Коллективные колебания ядер

    Полный гамильтониан ядерных возбуждений приближенным образом может быть представлен в виде суммы членов, отражающих разные степени свободы ядер: одночастичные, коллективные и ротационные, а также связь между ними:

op_H = op_Hsp + op_Hcol.vib + op_Hrot + op_H12 + op_H13 + op_H23. (7.1)

    Одночастичная модель оболочек и модель Ферми-газа представляют собой два подхода к исследованию первого члена формулы (7.1). Теоретическое описание коллективных колебаний ядра может быть предпринято с помощью многочастичной оболочечной модели, цель которой – получить волновую функцию коллективных ядерных возбуждений на основе нуклонных (или, точнее, квазичастичных) волновых функций. Примером такого подхода к коллективным возбуждениям является описание гигантского дипольного резонанса в сечениях ядерных реакций фотопоглощения. Но коллективные возбуждения ядер могут быть рассмотрены и с другой точки зрения – как результат поглощения ядром одного или нескольких квантов коллективных колебаний – фононов. (В первом приближении эти кванты рассматриваются как невзаимодействующие объекты.) Квантовая теория таких колебаний может быть сформулирована на языке вторичного квантования (см. О. Бор, Б. Моттельсон, т.2, гл.6).
    Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния с n квантами в состояние с n+1 квантом :

бета+|n> = Cn+1|n+1>.
<n|m> = deltanm.
(7.2)

    Второе равенство в (7.2) означает ортонормированность ядерных состояний с данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.

<n + 1|бета+| n> = Cn+1<n + 1| n + 1> = Cn+1;
;
бета+| n> = (n + 1)1/2| n + 1>.
(7.3)

    Аналогичным образом получим

бета| n> = n1/2 | n - 1>. (7.4)

Из (7.3) и (7.4) следует, что оператор числа квантов в системе имеет вид:

бета| n> = бета+бета| n> = n |n>. (7.5)

    Операторы поглощения и рождения фононов (квантов коллективных колебаний) коммутируют:

бетабета+ - бета+бета = 1. (7.6)

    Докажем это соотношение:

бетабета+| n> - бета+бета| n> =  (n + 1)1/2бета | n + 1> - n1/2бета+ | n - 1> = (n + 1)|n> - n|n> = |n>.

Действие оператора поглощения фонона на вакуумное состояние дает 0:

бета | 0 > = 0. (7.7)

По индукции нетрудно получить явный вид состояния с n фононами:

бета+| 0> = |1>; бета+| 1> = 21/2 | 2>; ... | n> = (n!)-1/2(бета+)n | 0>. (7.8)

    Построенная выше простейшая модель рождения и поглощения квантов (бозонного типа) может быть удобным образом применена к теории коллективных колебаний ядерной материи.
    Коллективное возбуждение возникает как результат ядерных реакций; причем операторы, воздействующие на волновую функцию начального состояния, могут преобразовывать как пространственные характеристики системы, так и ее спиновые и изоспиновые переменные. Далее перечислены четыре типа операторов возбуждения и в качестве примера указаны типы и мультипольности соответствующих этим операторам ядерных возбуждений.




(7.9)

 




Рис. 7.1. Моды колебаний ядра.

    Рассмотрим далее одну из важнейших мод (типов) этих колебаний: колебания поверхности ядра без изменения ядерной плотности. ( Отметим, что в более точных описаниях коллективных колебаний учитываются и колебания плотности ядра, т.н.”breathing mode”-дыхание ядра; на схеме рис.7.1 этой моде соответствует Е0)
    Колебания ядерной поверхности можно описать функцией

(7.10)

    Здесь a - амплитуда коллективных колебаний с мультипольностью L. Для упрощения формул в дальнейшем будет рассматриваться только квадрупольная мода колебаний с L = 2, поэтому индекс мультипольности будет опущен и суммирование будет проводиться лишь по возможным проекциям L. На рис.7.1 схематически изображены квадрупольные колебания ядра Е20.
    Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух операторов в пространстве волновых функций ядра – операторов кинетической и потенциальной энергии колебаний:

. (7.11)

    В (7.11) приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических колебаний с мультипольностью лямбда = 2, суммирование проводится только по проекциям момента, т.е. от –2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан входят члены всех возможных мультипольностей.
    Операторы op_a.gif (60 bytes)m, op_b.gif (65 bytes)m являются операторами обобщенной координаты квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:

op_b.gif (65 bytes)m = Ddam/dt;  [op_b.gif (65 bytes)m, op_a.gif (60 bytes)k] = ih/deltamk. (7.12)

Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде линейной комбинации операторов рождения и поглощения:




(7.13)

C - жесткость (rigidity).
    Подстановка (7.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний (лямбда = 2) приводит к следующему выражению:


(7.14)

    Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (7.11) приводит к эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний. Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет энергию, равную

    Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно , где лямбда – мультипольность фононного возбуждения. Полученный в (7.14) спектр коллективных квадрупольных колебаний характерен для низших уровней многих ядер, например 60Ni,106Pd,114Cd. (Cм. рис. 7.2)



Рис. 7.2. Схемы низших уровней ядер 60Ni,106Pd,114Cd.

 

   Состояние с одним квадрупольным фононом для четно-четного ядра имеет спин и четность 2+. Энергия состояния с двумя квадрупольными фононами должна быть ровно вдвое выше, чем энергия состояния с одним фононом. Приведенные на схеме спектры указывают на степень приближенности этого результата теории. Спины и четности двухфононных состояний могут принимать значения 0+ , 2+ , 4+. Значения 1 и 3 исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств двухфононных волновых функций:
    Состояние с одним квадрупольным фононом N = 1 имеет волновую функцию


op_J2psiN=1 = h/2J(J+1)psiN=1 = h/22.3.psiN=1;
.
(7.15)

Двухфононное состояние N = 2 имеет волновую функцию

psi2,N=2 = |N=2, J, M>, vec_J = vec_2 + vec_2 = ?

    Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества движения J строится из волновых функций однофононных состояний с помощью коэффициентов векторного сложения (коэффициентов Клебша-Гордона):

(7.16)

    Используем нормировку волновых функций и их представление в виде операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:

(7.17)

    Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации (7.6). Для разных по квантовым числам операторов соотношение (7.6) имеет вид:

 

    Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной части нормировки (это т.н. процедура Вика):

(7.18)

    При подстановке первого члена формулы (7.17) в нормировку двухфононного состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):

(7.19)

а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.
    Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:

1 = |AJ|2.[1 + (-1)J];
(7.20)

    Вывод из (7.20) состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина двухфононного состояния. Значения J = 1 и J = 3 не имеют физического смысла. Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными (см. схемы уровней четно-четных ядер).


Модель Ферми-газаОглавлениеХарактеристики ядер в модели коллективных колебаний

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru