Коллективные колебания ядер

Полный гамильтониан ядерных возбуждений приближенным образом может быть представлен в виде суммы членов, отражающих разные степени свободы ядер: одночастичные, коллективные и ротационные, а также связь между ними:

_sp +

_col.vib +

_rot +

₁₂ +

₁₃ +

₂₃.

(7.1)

Одночастичная модель оболочек и модель Ферми-газа представляют собой два подхода к исследованию первого члена формулы (7.1). Теоретическое описание коллективных колебаний ядра может быть предпринято с помощью многочастичной оболочечной модели, цель которой – получить волновую функцию коллективных ядерных возбуждений на основе нуклонных (или, точнее, квазичастичных) волновых функций. Примером такого подхода к коллективным возбуждениям является описание гигантского дипольного резонанса в сечениях ядерных реакций фотопоглощения. Но коллективные возбуждения ядер могут быть рассмотрены и с другой точки зрения – как результат поглощения ядром одного или нескольких квантов коллективных колебаний – фононов. (В первом приближении эти кванты рассматриваются как невзаимодействующие объекты.) Квантовая теория таких колебаний может быть сформулирована на языке вторичного квантования (см. О. Бор, Б. Моттельсон, т.2, гл.6).
Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния с n квантами в состояние с n+1 квантом :

⁺|n> = C_n+1|n+1>.
<n|m> =

_nm.

(7.2)

Второе равенство в (7.2) означает ортонормированность ядерных состояний с данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.

<n + 1|

⁺| n> = C_n+1<n + 1| n + 1> = C_n+1;

;

⁺| n> = (n + 1)^1/2| n + 1>.

(7.3)

Аналогичным образом получим

| n> = n^1/2 | n - 1>.

(7.4)

Из (7.3) и (7.4) следует, что оператор числа квантов в системе имеет вид:

| n> =

⁺

| n> = n |n>.

(7.5)

Операторы поглощения и рождения фононов (квантов коллективных колебаний) коммутируют:

⁺ -

⁺

= 1.

(7.6)

Докажем это соотношение:

⁺| n> - ⁺| n> = (n + 1)^1/2 | n + 1> - n^1/2⁺ | n - 1> = (n + 1)|n> - n|n> = |n>.

Действие оператора поглощения фонона на вакуумное состояние дает 0:

| 0 > = 0.

(7.7)

По индукции нетрудно получить явный вид состояния с n фононами:

⁺| 0> = |1>;

⁺| 1> = 2^1/2 | 2>; ... | n> = (n!)^-1/2(

⁺)ⁿ | 0>.

(7.8)

Построенная выше простейшая модель рождения и поглощения квантов (бозонного типа) может быть удобным образом применена к теории коллективных колебаний ядерной материи.
Коллективное возбуждение возникает как результат ядерных реакций; причем операторы, воздействующие на волновую функцию начального состояния, могут преобразовывать как пространственные характеристики системы, так и ее спиновые и изоспиновые переменные. Далее перечислены четыре типа операторов возбуждения и в качестве примера указаны типы и мультипольности соответствующих этим операторам ядерных возбуждений.

(7.9)

Рис. 7.1. Моды колебаний ядра.

Рассмотрим далее одну из важнейших мод (типов) этих колебаний: колебания поверхности ядра без изменения ядерной плотности. ( Отметим, что в более точных описаниях коллективных колебаний учитываются и колебания плотности ядра, т.н.”breathing mode”-дыхание ядра; на схеме рис.7.1 этой моде соответствует Е0)
Колебания ядерной поверхности можно описать функцией

(7.10)

Здесь a - амплитуда коллективных колебаний с мультипольностью L. Для упрощения формул в дальнейшем будет рассматриваться только квадрупольная мода колебаний с L = 2, поэтому индекс мультипольности будет опущен и суммирование будет проводиться лишь по возможным проекциям L. На рис.7.1 схематически изображены квадрупольные колебания ядра Е2₀.
Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух операторов в пространстве волновых функций ядра – операторов кинетической и потенциальной энергии колебаний:

(7.11)

В (7.11) приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических колебаний с мультипольностью = 2, суммирование проводится только по проекциям момента, т.е. от –2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан входят члены всех возможных мультипольностей.
Операторы _m, _m являются операторами обобщенной координаты квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:

_m = D

a_m/

t; [

_m,

_k] = i

_mk.

(7.12)

Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде линейной комбинации операторов рождения и поглощения:

(7.13)

C - жесткость (rigidity).
Подстановка (7.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний ( = 2) приводит к следующему выражению:

(7.14)

Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (7.11) приводит к эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний. Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет энергию, равную

Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно , где – мультипольность фононного возбуждения. Полученный в (7.14) спектр коллективных квадрупольных колебаний характерен для низших уровней многих ядер, например ⁶⁰Ni,¹⁰⁶Pd,¹¹⁴Cd. (Cм. рис. 7.2)

Рис. 7.2. Схемы низших уровней ядер ⁶⁰Ni,¹⁰⁶Pd,¹¹⁴Cd.

Состояние с одним квадрупольным фононом для четно-четного ядра имеет спин и четность 2⁺. Энергия состояния с двумя квадрупольными фононами должна быть ровно вдвое выше, чем энергия состояния с одним фононом. Приведенные на схеме спектры указывают на степень приближенности этого результата теории. Спины и четности двухфононных состояний могут принимать значения 0⁺ , 2⁺ , 4⁺. Значения 1 и 3 исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств двухфононных волновых функций:
Состояние с одним квадрупольным фононом N = 1 имеет волновую функцию

_N=1 =

²J(J+1)

_N=1 =

²2^.3^.

_N=1;

(7.15)

Двухфононное состояние N = 2 имеет волновую функцию

_2,N=2 = |N=2, J, M>, = + = ?

Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества движения J строится из волновых функций однофононных состояний с помощью коэффициентов векторного сложения (коэффициентов Клебша-Гордона):

(7.16)

Используем нормировку волновых функций и их представление в виде операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:

(7.17)

Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации (7.6). Для разных по квантовым числам операторов соотношение (7.6) имеет вид:

Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной части нормировки (это т.н. процедура Вика):

(7.18)

При подстановке первого члена формулы (7.17) в нормировку двухфононного состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):

(7.19)

а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.
Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:

1 = |A_J|^2.[1 + (-1)^J];

(7.20)

Вывод из (7.20) состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина двухфононного состояния. Значения J = 1 и J = 3 не имеют физического смысла. Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными (см. схемы уровней четно-четных ядер).