Характеристики ядер в модели коллективных колебаний

Как было показано в предыдущей лекции, решение уравнения Шредингера с гамильтонианом коллективных колебаний ядра:

(8.1)

приводит к эквидистантному спектру уровней возбуждения, причем энергия возбужденного состояния зависит как от числа поглощенных ядром фононов, так и от энергии одного фонона:

= E

E_2,N =

ω₂(N₂ + 5/2).

(8.2)

Результат (8.2) соответствует квадрупольному коллективному колебанию ядра. В случае фонона (коллективного колебательного возбуждения ) мультипольности решение уравнения Шредингера имеет вид:

(8.2a)

Энергия одного фононного возбуждения ω_λ с мультипольностью λ зависит от свойств ядра, в первую очередь от т.н. "жесткости" ядра С. Жесткость (rigidity) у ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками выше, чем у других ядер (Табл.8.1).
Коэффициент D связан с массой колеблющейся системы.

(8.3)

Табл.8.1. Энергии возбуждения первого 2⁺,T=0 уровня некоторых четно-четных ядер.

Ядро	^12C	^16O	^40Ca	^60Ni	^106Pd	^114Cd	^192Pt
E(2⁺,T=0),MeV	4.44	6.92	3.90	1.33	0.512	0.558	0.316

Потенциальная энергия коллективных колебаний определена вторым членом формулы (8.1). Среднее значение этой энергии в состоянии с данным числом фононов связано с величиной среднеквадратичной деформации в состоянии с данным числом фононов. Проведем расчет для случая квадрупольных колебаний ( = 2)

(8.4)

Среднеквадратичная деформация в состояниях с N = 0, N = 1 и т.д. равна

(8.5)

Коллективные колебания приводят к изменению среднеквадратичного радиуса ядра и к увеличению средней потенциальной энергии коллективных колебаний. Средняя потенциальная энергия квадрупольных колебаний в состоянии с N фононами:

(8.6)

Получим формулу для среднеквадратичного радиуса распределения заряда в случае коллективных квадрупольных ядерных колебаний:

(8.7)

В (8.7) – плотность распределения протонов в ядре. Трехмерный интеграл по объему ядра от величины плотности распределения заряда должен давать величину заряда ядра: В приближении точечных нуклонов этому интегралу удовлетворяет следующая форма распределения плотности протонов:

(8.8)

Интеграл в (8.7) имеет верхним пределом радиус поверхности ядра. В коллективных колебаниях этот предел представляет собой динамическую переменную и зависит от амплитуды колебаний. Ограничиваясь квадрупольными колебаниями, имеем для величины динамического радиуса ядра уравнение:

Проведем интегрирование в (8.7), разделив угловые и радиальные переменные:

(8.9)

Разложение бинома Ньютона по степеням сферических гармоник и использование их ортонормированности приводит выводу, что в (8.9) останутся лишь члены от нечетных членов разложения (четных по степеням Y₂) и, в конечном результате, к виду среднеквадратичного радиуса заряда:

(8.10)

Таким образом, фононное возбуждение приводит к увеличению среднеквадратичного радиуса ядра (без изменения его объема). Чем выше среднеквадратичная деформация, тем выше и величина среднеквадратичного радиуса. Это относится как к зарядовому радиусу (8.10), так и к среднеквадратичному радиусу распределения нуклонов.
Приращение зарядового радиуса линейно растет с увеличением числа фононов:

(8.11)

Ядерные колебания большой амплитуды ведут к делению ядер.

Коллективные колебания и электромагнитные моменты ядер

Введем определение электрических мультипольных операторов с мультипольностью :

(8.12)

По определению, квадрупольный момент ядра связан с оператором, действующим в пространстве волновых функций ядра:

(8.13)

Измеряемое значение квадрупольного момента определяется как диагональный матричный элемент оператора (8.13) в состоянии с проекцией спина, равной спину. Этот матричный элемент равен диагональному матричному элементу от оператора (8.12):

(8.14)

При расчете матричного элемента оператора квадрупольного момента матричный элемент угловой части имеет следующий вид: <J, M=J |Y_2m|J, M=J>.
Используем для его анализа теорему Вигнера –Эккарта (ТВЭ):

(8.15)

Один из выводов из ТВЭ состоит в том, что матричные элементы любого оператора зависят от проекций моментов только через коэфициенты Клебша-Гордона (ККГ). Для рассматриваемого нами случая диагонального матричного элемента от квадрупольного оператора <J, M=J |Y_2m|J, M=J>.

(8.16)

Условием не равенства нулю ККГ при = 2 является

<JJ|2m JJ>

0 , если m = 0 и

, т.е. J > 1.

(8.17)

Рис. 8.1. Квадрупольные моменты некоторых ядер

Таким образом, измеряемый (т.н. внешний) квадрупольный момент ядра равен 0, если спин ядра меньше 1. Он равен 0 для всех четно-четных ядер, хотя многие из них являются несферическими и имеют внутренний квадрупольный момент, отличный от 0. (Заметим, что прямые измерения квадрупольных моментов ядер, основанные на исследовании сверхтонкой структуры атомных спектров, не являются единственным методом оценки этих величин. Внутренние квадрупольные моменты ядер, точнее, величины ядерных деформаций, проявляются во вращательных спектрах деформированных ядер (см. далее лекцию 9)). На рис. 8.1 показаны значения квадрупольных моментов ряда ядер. Ядра с замкнутыми оболочками и подоболочками имеют нулевой квадрупольный момент. Наибольшие значения квадрупольных моментов - у ядер, где подоболочки заполнены лишь частично.
Проведем расчет квадрупольного оператора по (8.13), используя модель коллективных колебаний. Аналогично расчету среднеквадратичного радиуса используем приближение точечных нуклонов для оператора (8.7) плотности распределения заряда:

(8.18)

В силу ортонормированности сферических функций в (8.18) не равны нулю лишь те вклады от разложения бинома, которые содержат нечетные степени Y_2m. Выделим два вклада в оператор квадрупольного момента (от первого из неисчезающих членов (8.18) и остальных ненулевых членов):

(8.19)

В приближенных оценках можно считать, что вклад первого из этих операторов в квадрупольный момент ядра пропорционален величине ₀:

(8.20)

Тот же квадрупольный оператор, диагональный матричный элемент которого является внешним квадрупольным моментом ядра, ответственен за Е2 переходы между возбужденными состояниями. Расчет вероятностей этих переходов выявил значительное различие в результатах одночастичной и коллективной моделей. При этом вероятности переходов в модели коллективных колебаний во много раз выше, чем вероятности одночастичных переходов W_sp:

(8.21)

Вероятности переходов – экспериментально измеряемая величина. Для ядра ⁶⁰Ni, например, отношение измеренной вероятности перехода 0⁺2⁺ к рассчитанной вероятности одночастичного перехода составляет примерно 12.5, что подтверждает коллективный характер низших возбужденных состояний. Отклонение реальных значений вероятностей квадрупольных переходов от одночастичных значений тем выше, чем больше деформация ядра (см. БМ, т.2,с.55 + S. Raman e.a.), где показаны отношения этих величин для переходов между первыми уровнями 2⁺ и основными состояниями четно-четных ядер как функции А ядер. Замечательной особенностью этого распределения является тот факт, что области высоких значений вероятностей Е2 переходов совпадают с областями больших значений квадрупольных моментов ядер. Эта корреляция находит объяснение в теории коллективных квадрупольных колебаний, ее отражает сравнение формул (8.20) и (8.21), где обе эти величины выражены через среднеквадратичную деформацию ядра в основном состоянии.

Рис.8.2. Спектр ⁷⁶Se

Приведем пример оценки внутреннего квадрупольного момента и потенциальной энергии квадрупольных колебаний четно-четного ядра ⁷⁶Se (Z = 34) из данных по вероятностям Е2 переходов. Внешний квадрупольный момент этого ядра, как и всех четно-четных ядер, равен 0. Оценить внутренний квадрупольный момент можно из данных по вероятностям Е2 перехода с первого возбужденного на основное состояние ядра. Спектр низших по энергии состояний селена ⁷⁶Se – типично колебательный (Рис. 8.2). Из формулы (8.21) можно получить путем расчета одночастичной вероятности Е2 перехода, значение параметра среднеквадратичной деформации .
Вероятность перехода между первым возбужденным состоянием 2⁺ и основным равна:

Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины энергии первого возбужденного уровня Е = 0.55 МэВ (см.рис.8.2) получим величину жесткости ядра С:

Зная среднеквадратичную деформацию, можно оценить величину внутреннего квадрупольного момента четно-четного ядра:

Величины потенциальной энергии квадрупольных колебаний зависят от величины динамической деформации и жесткости ядра: