Коллективное вращательное движение

    Вращательные степени свободы атомных ядер являются следствием деформации равновесной формы ядра и обусловлены нарушением ротационной инвариантности системы. Деформация ядра может быть инвариантной относительно некоторых вращений системы координат (например, при аксиальной симметрии).
    При аксиальной симметрии ядра проекция момента на ось симметрии является интегралом движения. Коллективное вращение вокруг оси симметрии отсутствует. (Это следствие квантовой механики аналогично утверждению о невозможности коллективного вращения сферически симметричной системы).

Рис. 9.1. Аксиально-симметричное деформированное ядро.

На рис. 9.1. изображено аксиально-симметричное ядро и показаны, помимо внутренних и внешних координат, вектора, соответствующие полному моменту количества движения ядра I, спину ядра во внутренней системе координат J и моменту вращения ядра R.

= + ; |J3| = K = J, J-1, J-2,...; I3 = J3.

(9.1)

Поскольку вектор R перпендикулярен оси симметрии ядра (оси z или 3), в гамильтониан вращательного движения входят только члены, соответствующие вращениям ядра вокруг осей 1 и 2:

(9.2)

При аксиальной симметрии ядра проекция момента на ось симметрии является интегралом движения.

    Рассмотрим две возможные ситуации:

1. Спин ядра J = 0 (ядро четно-четное), тогда R = I и результатом решения уравнения Шредингера с гамильтонианом (9.2) является вращательный спектр энергий в виде:

   ,

   (9.3)

   где Θ – момент инерции ядра.

       Примером такого спектра является “вращательная полоса” ядра ¹⁷⁰Hf . Реальный спектр возбуждения деформированного ядра ¹⁷⁰Hf - как и всех ядер - является сложным и содержит уровни, имеющие как вращательную природу, так и уровни, возникшие за счет коллективных колебаний, частично-дырочных нуклонных переходов и взаимодействия всех этих источников возбуждения ядра. Поэтому на рис.9.2а показан реальный спектр ядра вплоть до энергий возбуждении 3 МэВ, а на рис.9.2б - выделенная из этого спектра вращательная полоса. На обеих схемах энергии возбуждения указаны в кэВ.
       При обсуждении квадрупольных моментов ядер было показано, что вытянутые ядра имеют положительный квадрупольный момент, а сплюснутые – отрицательный. Прямое измерение электрических квадрупольных моментов - т.е. определение внешнего квадрупольного момента - возможно лишь для ядер, у которых спин больше или равен 1. Однако многие четно-четные ядра, имеющие спин и четность 0+, являются деформированными, и их деформация проявляется в спектрах их возбужденных состояний в виде вращательных полос.

   Рис. 9.2. Спектр 170Hf, а) реальный спектр, б) вращательная полоса

2. Спин ядра не равен 0, тогда вектор R = I – J входит в гамильтониан вращательного движения (9.2).

   (9.4)

Члены формулы (9.4), зависящие только от спина ядра J, отражают внутренние степени свободы ядерной системы, которые рассматривались выше, поэтому во вращательный гамильтониан они входить не должны.

(9.5)

    Второй член в гамильтониане, содержащий скалярные произведения операторов внутреннего спина ядра и полного момента, является гамильтонианом взаимодействия между внутренними и вращательными степенями свободы. В классической физике аналог этого взаимодействия - силы Кориолиса.
    Если полную волновую функцию ядра представить в виде произведения функций внутренних степеней свободы и функции, связанной с ротационным движением

Ψ Ψintr·Ψrot,

(9.6)

то у.Ш. для ротационной части имеет решение:

(9.7)

    Таким образом, ядра с ненулевым спином имеют столько вращательных полос, сколько у них разных модулей проекции спина на ось симметрии К.
    Вращательная волновая функция, являющаяся решением (9.7) зависит от квантовых чисел I, K, M, где М - проекция полного момента I на пространственно-фиксированную ось z (т.е. на ось во внешней системе координат):

(9.8)

т.е. вращательные функции представляют собой т.н. D-функции Вигнера от угла между третьими осями внешней и внутренней систем координат. При К=0 эти функции сводятся к сферическим гармоникам:

(9.9)

Динамические деформации ядер

    Помимо статических деформаций ядер, проявлением которых является вращательная полоса над основным состоянием ядра, возбуждение внутренних степеней свободы ядра может вести к появлению динамических деформаций. Характерным примером таких динамических деформаций являются вращательные полосы, обнаруженные в спектре возбуждения ядра ¹⁶О, основное состояние которого является сферическим. Исследование природы этих вращательных полос показало, что они возникают над первым возбужденным состоянием ядра ¹⁶О, имеющим квантовые числа (J^P, T, E) = (0⁺, 0, 6.05 МэВ).   Это состояние ядра ¹⁶О не может быть интерпретировано ни в оболочечной модели, ни в модели коллективных колебаний. Природа этого возбужденного состояния может быть понята в рамках кластерной модели ¹⁶О, в которой это ядро является связанным состоянием 4 ядер гелия, т.е. 4 альфа- частицы. С точки зрения кластерной модели, основное состояние ¹⁶О соответствует волновой функции 4 кластеров в сферически симметричном состоянии. Первое возбуждение кластерной системы приводит к нарушению сферической симметрии.

Рис. 9.3. Кластерная структура первого возбужденного состояния ядра 16О.

    Упрощенное изображение кластерной структуры первого возбужденного состояния ¹⁶О показано на рис.9.3. Показанная на рис.9.3 система не имеет аксиальной симметрии. Вращения системы 4 кластеров может происходить вокруг оси 1 и оси 2. Моменты инерции, соответствующие этим осям – различны: вращению вокруг оси 2 соответствует больший момент инерции, чем вращению вокруг оси 1. Ядро ¹⁶О в первом возбужденном состоянии представляет собой триаксиальный волчок. Из анализа ротационных полос для ¹⁶О было получено, что отношение моментов инерции (₂/₁)2.5. Этой величине соответствует отношение радиусов вращений (r₂/r₁)(₂/₁)^1/21.6.
    Из схемы расположения альфа- частиц на рис. 9.3 следует, что отношение длин двух осей вращения в этой модели равно (r₂/r₁) = 3^1/2:11.7.
    Таким образом, кластерная модель дает неплохое объяснение наблюдаемым вращательным полосам в спектре возбужденных состояний ¹⁶О.

R-инвариантность

    Если рассматриваемая система (ядро) инвариантна относительно поворота на 180⁰ относительно любой оси, перпендикулярной оси симметрии, то число вращательных степеней свободы сокращается. Поскольку система при таком повороте (например, вокруг оси 2 внутренней системы координат) переходит сама в себя, такой поворот не может рассматриваться как коллективное вращение. Оператор R, осуществляющий такой поворот, является собственным оператором вращательной функции с К = 0. Действительно, такой поворот означает переход .

I,K=0 = rI,K=0; 2I,K=0 = r2I,K=0 = I,K=0. Отсюда r = +1. - ,  + ; YIM(,) = (-1)IYIM(,); Отсюда (-1)I = r.

(9.11)

    Поэтому вращательный спектр ядер с К = 0 содержит только четные значения I при r = +1, либо только нечетные при r = - 1. Доказательством R-инвариантности являются экспериментальные спектры четно-четных деформированных ядер, например, ядер ¹⁸⁶Os (таб. 9.1) и ¹⁶⁰Dy (рис.9.4).

Таблица 9.1. Вращательная полоса ¹⁸⁶Os

J+	2	4	6	8	10	12
Е, кэВ	137	434	869	1419	2059	2804

 

Рис.9.4. Вращательный спектр 160Dy

    Рассмотрим одну из таких вращательных полос, например, вращательный спектр ¹⁶⁰Dy, соответствующий проекции спина на ось симметрии К = 0. Как видно из схемы, в спектре присутствуют только четные значения момента с положительной Р-четностью.
    Проанализируем соответствие экспериментального спектра формуле (9.3) и одновременно рассчитаем моменты инерции этого ядра в разных состояниях вращательного спектра.
    Энергетический интервал между уровнями вращательного спектра линейно связан с моментами уровней:

E = EJ - EJ-2 = 2(4J - 2)/2.

(9.12)

    На основании этой формулы построим таблицу теоретических и экспериментальных отношений E(0J)/(E(02) и величин, пропорциональных моменту инерции ядра [2/²] = (4J - 2)/E.

Расчет вращательного спектра

J	E(0J)/(E(02), theory	E(0J)/(E(02), experiment	[2/2] = (4J - 2)/E, MeV-1
2	1	1	69
4	3.33	3.28	72
6	7	6.7	74
8	12	11.1	77
10	18.3	16.6	81

    Расчет показывает, что момент инерции ядра растет с увеличением момента количества движения и, соответственно, угловой частоты вращения. Этот результат хорошо понятен на основе капельной модели ядра: момент инерции капли растет с увеличением углового момента вращения.
    Важным и интересным фактом, который можно легко продемонстрировать на этом примере, является то, что полученные в расчете моменты инерции как минимум вдвое меньше, чем момент инерции твердотельного ротатора с такой же массой. Нижний предел величины , пропорциональной моменту инерции, можно получить по формуле момента инерции сферы радиуса R (в расчете удобно использовать константу конверсии cМэВ^.Фм):

.

    Разброс в величине рассчитанного момента инерции – следствие экспериментального разброса в определении величины r₀.
    Таким образом, проведенный несложный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции, составляющие не более 50% момента инерции твердого ротатора с той же массой. Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во вращательном движении вследствие эффекта спаривания нуклонов, приводящего к сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при очень высоких моментах вращения ядер, проявляется в скачкообразном росте момента инерции ядра до величин, близких к полученной выше твердотельной оценке. Этот эффект (т.н. бекбендинг = backbending) хорошо изучен на ускорителях тяжелых ионов. На рис.9.4 показана зависимость момента инерции ядра ¹⁶⁴Er, точнее, величины A , пропорциональной моменту инерции, от квадрата угловой частоты вращательного движения, которая связана с величиной энергетического интервала во вращательной полосе:

Erot = J = dErot/dJ;

(9.13)

    Вращательные полосы ядерных возбуждений экспериментально исследуются на ускорителях альфа-частиц и ускорителях тяжелых ионов. Исследование спектров возбуждения ядер проводится, главным образом, путем измерения энергий гамма квантов, испускаемых ядром при переходе с более высокого уровня на более низкий.

Рис.9.5. Вращательные полосы и зависимость момента инерции от частоты вращения для четно-четного ядра 164Er.

    На рис.9.4 видно, что при высоких частотах вращения ядра оно находится в состоянии с неспаренными нуклонами и уменьшение энергии вращательного возбуждения происходит по т.н. S-полосе. Момент инерции ядра при этом близок к моменту инерции твердого ротатора такой же массы. При спинах ядра 18 - 16() происходит скачкообразный фазовый переход ядра с S-полосы на G-полосу. Момент инерции ядра резко падает; ядро оказывается в состоянии с частично спаренными нуклонами. Дальнейшие переходы ядра вплоть до основного состояния идут по G-полосе. Экспериментально backbending-эффект исследован на ускорителях альфа-частиц и ускорителях тяжелых ионов. Продуктом столкновения ионизованных атомов являются ядра, находящиеся во вращательных состояниях с большими угловыми моментами. Переходы на низшие по энергии уровни происходят, главным образом, путем испускания каскада гамма-квантов с мультипольностями Е2. Измерение энергий этих квантов и является главным источником информации о структуре вращательных полос.

---