Диаграммы Фейнмана

    Правила построения диаграмм Фейнмана для электромагнитных и слабых процессов во многом одинаковы.

1. Линии фермионов не прерываются.
2. Связь фермионов осуществляется бозонами (-квантами для электромагнитных и W,Z бозонами для слабых взаимодействий.
3. Каждой вершине соответствует константа взаимодействия.
4. Все дискретные законы сохранения выполняются в каждой вершине.
5. Закон сохранения энергии выполняется в целом для всего процесса, но нарушается в вершинах – соединяющие две вершины линии фермионов или бозонов соответствуют т.н. виртуальным частицам, для которых E² - P² m².

Рис 11.1.

     Изобразим ДФ распада мюона μ^-e^- + _e + ν_μ.
    При построении ДФ для этого процесса следует, как и в случае электромагнитных взаимодействий, учесть, что главный вклад вносит низшая по числу вершин диаграмма (рис. 11.1).
    Отметим, что в вершинах соблюдаются законы сохранения лептонных зарядов L_μ и L_e.
    Согласно современным представлениям, существует 3 отдельных закона сохранения лептонных зарядов L_e, L_μ  и L_τ. Экспериментальным доказательством существования законов сохранения каждого из типов лептонных зарядов по отдельности является отсутствие распада отрицательного мюона ^-e^- + и аналогичного ему распада положительного мюона на позитрон и -квант. Эти распады не происходит именно потому, что лептонный заряд мюона не совпадает с лептонным зарядом =электрона, т.е. у каждого "поколения" лептонов имеется свой лептонный заряд, причем L_e . Экспериментально не обнаружено распадов с нарушением законов сохранения каждого из лептонных зарядов по отдельности. (Однако экспериментально установленное превращение нейтрино доказывает, что закон сохранения лептонных зарядов не "абсолютный".
    При лептонных распадах в вершинах сохраняются значения лептонных зарядов. Отметим, что как в диаграмме распада нейтрона, так и распада мюона обменной частицей может быть как положительный, так и отрицательный W- бозон. Выбор его знака зависит от выбора направления линии бозона. (Напомним, что в вершинах выполняется закон сохранения электрического заряда). Распад нейтрона относится к т.н. “полулептонным”, или лептон-адронным, распадам – в результате превращения адронов появляется пара лептонов. Распад мюона – лептонный, адроны в нем не участвуют. Существуют слабые процессы, в которых лептоны вообще не участвуют, например, адронные распады

Σ^- →  n + π^-,   Ξ^- →  Λ + π^- .

    Слабые взаимодействия могут происходить с превращением кварков или лептонов одного аромата (flavor) в кварки и лептоны другого. Поэтому в слабых распадах не сохраняются ни изоспин, ни странность, ни шарм. Нарушаются и законы сохранения topness и bottomness (beauty).

    Слабые распады идут с нарушением аддитивных законов сохранения I,s,c,b,t.
    В слабых взаимодействиях нарушаются также мультипликативные законы сохранения пространственной и зарядовой четностей.

    Обмен заряженными W^- или W⁺ промежуточными бозонами связан с изменениями зарядов фермионов в вершине. “Треххвостка”, состоящая из двух фермионных линий, вершины и бозонной линии, называется “током”. Обмен заряженными W^- или W⁺ бозонами реализует заряженные токи. Обмен нейтральным Z –бозоном соответствует взаимодействию нейтральных токов.

    Построим диаграмму Фейнмана распада нейтрона.
    Как нейтрон, так и протон – барионы, состоящие из кварков. На рис. 11.2 показаны два варианта изображения этого распада. Соответствующие обменам W или Z бозонам “слабые” вершины обладают еще одной особенностью, которой не имеют ни “сильные”, ни электромагнитные вершины – в этих вершинах может происходить превращение одного кварка в другой. Поэтому взаимопревращения адронов – результат слабых взаимодействий. Например, -распад нейтрона происходит благодаря превращению d-кварка в u-кварк при испускании виртуального W- бозона

Рис. 11.2

    На этой диаграмме один из кварков, составляющих нейтрон, d кварк, превращается благодаря испусканию виртуального W^- бозона в u кварк протона. Превращение кварков из одного типа в другой (изменение “аромата” = ”flavor”) – свойство, присущее только слабым взаимодействиям. Именно благодаря слабым взаимодействиям тяжелые барионы и мезоны, содержащие кварки второго и третьего поколений, превращаются в более легкие барионы и мезоны.

Задача. Изобразить ДФ для распадов нейтрального и заряженного пионов. Оценить отношение констант слабого и электромагнитного взаимодействий, учитывая, что среднее время жизни нейтрального π0 мезона равно τ = 8.4·10-17 сек, а для заряженных пионов τ = 2.6·10-8 сек.

    На рис. 3 показаны ДФ электромагнитного распада π⁰ мезона и слабого распада π⁺. Обе ДФ – второго порядка по константам взаимодействия. Вероятности распадов пропорциональны квадратам констант взаимодействия α. Отношение вероятностей распадов нейтрального и заряженного пионов обратно отношению их средних времен жизни. Отсюда

Поскольку константа α электромагнитного взаимодействия равна 1/137, константа слабого взаимодействия, согласно этой (весьма приближенной) оценке, α_w < 10^-6.

    В слабых взаимодействиях обмен осуществляется путем рождения и поглощения массивных виртуальных частиц - промежуточных бозонов W⁺ ,W^-, Z⁰. Оценим, используя соотношение неопределенности, максимальное расстояние между фермионами, обменивающимися виртуальным промежуточным бозоном W. Для виртуальной частицы неопределенность в значении энергии равна ее энергии покоя: ΔE ≈ M_wc². Энергия покоя W бозона около 80 ГэВ. Это приводит к очень малому радиусу слабых взаимодействий:

ΔEΔt ≈ ћ R_w < cΔt  ≈ ћc/M_w ≈ 0.2 ГэВ·Фм/80 ГэВ  ≈ 3·10^-16 см.

    Полученный результат объясняет тот факт, что созданная Ферми в 30-х годах ХХ века теория слабых взаимодействий, как теория точечного взаимодействия 4-х фермионов, удовлетворительно объясняла экспериментальные данные -распадов.
    Эта оценка радиуса слабого взаимодействия следует идее, впервые использованной в 1935 г. Юкавой, который предсказал приблизительную массу “переносчика” сильного взаимодействия, основываясь на оценках радиуса ядерных сил (R_nuc~1 1.5 Фм):

ΔEΔt ≈ ћ M_strc² ≈ ћ/Δt = ћc/cΔt < ћc/R_nuc ≈ 200 МэВ^.Фм/(11.5 Фм) ≈ (135200) МэВ. (m(π⁰) 135 МэВ)