Реакции

Характеристики вероятности реакций

    Характеристиками вероятности реакций являются дифференциальное и полное эффективные сечения реакции.
    Дифференциальное эффективное сечение реакции в системе покоя мишени определяется как

(11.1)

 Здесь θ - угол рассеяния, dN/dθ - число частиц, вылетевших под этим углом в единицу времени ( в секунду) в единичном телесном угле. I –  величина потока частиц X, падающих на мишень. n – полное число частиц Y в мишени.
    Поскольку размерность числа частиц, рассеянных в единицу времени и в единицу телесного угла [с^-1стерад^-1], размерность потока [I] = [см^-2с^-1] , а число частиц в мишени – безразмерная величина, получаем для размерности дифференциального сечения

[d/d] = [см2/стерад]

(11.2)

Полное (или интегральное) эффективное сечение реакции имеет размерность см² и является интегралом от (11.2) по углу рассеяния:

(11.3)

Поскольку эффективные сечения процессов микромира в единицах см² представляют собой очень малые величины, они измеряются, как правило, в единицах 1барн = 1b = 10^-24 см².

Кинематика реакций

    При расчете кинематических характеристик реакций удобно использовать т.н. релятивистский инвариант

E² - P²c² = m²c⁴ = inv или E² - P² = m² в системе = c = 1;

E - полная энергия системы, P - суммарный импульс.
    В качестве примера использования инварианта рассмотрим нахождение минимальной кинетической энергии сталкивающихся частиц в эндотермической реакции

A + Ba + b + c + ...

(11.4)

(В эндотермической реакции сумма масс покоя частиц m_f, образующихся в конечном состоянии, больше суммы масс покоя первичных частиц m_i.)
    В системе покоя мишени (частицы В) минимальная кинетическая энергия Т_А, при которой возможна реакция (11.4), называется порогом реакции. Для расчета порога реакции Т_А следует записать законы сохранения энергии и импульса в двух системах отсчета - лабораторной системе, связанной с покоящейся частицей В, и в системе центра масс, или центра инерции

ТА + MА + MB = mf + Tf;              А = f

(11.5)

(11.6)

    Порог реакции соответствует значению кинетической энергии частицы А в случае, когда кинетические энергии продуктов реакции минимальны. В системе центра масс в этом случае равны нулю кинетические энергии всех образовавшихся в результате реакции частиц. Одновременно равны нулю импульсы этих частиц. (Приравнять нулю импульсы и кинетические энергии продуктов реакции возможно только в системе центра инерции, в которой суммарный импульс по определению равен нулю). Найдем теперь значения E² - P² = inv для левой части уравнения (11.5) (т.е. в лабораторной системе координат) и правой части уравнения (11.6) (т.е. в системе центра масс) и приравняем их, используя, таким образом, свойство инвариантности:

.

(11.7)

Из (11.7) получим

.

(11.8)

где m_i = M_A + M_B.

Иногда вместо формулы (11.8) используется эквивалентное ей выражение

,

(11.9)

где Q = m_i - m_f - энергия реакции.
    Вследствие больших затрат энергии на движение центра масс системы в реакциях на ускорителях с неподвижной мишенью в настоящее время для получения новых частиц используются ускорители на встречных пучках – коллайдеры (colliders). Именно коллайдеры являются основным инструментом современной физики высоких энергий в получении информации о структуре и свойствах частиц и их взаимодействий.
    Определим энергию E_eq частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с энергиями E одинаковых частиц в пучках.
    В ускорителе со встречными пучками одинаковых по массе частиц лабораторная система совпадает с системой центра масс. В этой системе E² - P² = inv = 4E². В системе координат, связанной с одной из сталкивающихся частиц (например, частицей 2) энергия частицы 1 есть искомая энергия E_eq. В этой системе квадрат полной энергии равен (m + m + E_eq)², а квадрат полного импульса системы равен квадрату импульса частицы 1 P² = (p₁)²= (E_eq)² - m². Приравнивая значения инвариантов в этих двух системах, получим для энергии частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру

Закон сохранения изоспина в реакциях сильного взаимодействия

Рис.11.4

    В реакциях сильного взаимодействия выполняется закон сохранения изоспина. Использование этого закона при анализе ядерных реакций является одним из способов идентификации значения изоспина. Рассмотрим применение этого закона на примере ядреных реакций неупругого рассеяния частиц в ядре азота-14.
    Какие состояния из приведенного на схеме спектра ядра ¹⁴N могут быть возбуждены в реакциях неупругого рассеяния (α,α'), (d,d'), (p,p')?
    Анализ закона сохранения изоспина для реакций сильного взаимодействия

¹⁴N + ⁴He¹⁴N* + ⁴He,
¹⁴N + ²H¹⁴N* + ²H.

приводит к выводу, что уровень с изоспином 1 в этих реакциях не может быть возбужден:

0 + 0 = 0 + I;  I = 0.

Однако его возбуждение возможно в реакции фото- и электровозбуждения ядра ¹⁴N, а также в реакции неупругого рассеяния протона:

¹⁴N + ¹H¹⁴N* + ¹H;
0 + (¹⁴N*) + ;
(¹⁴N*) = 0, 1.

Как реальный, так и виртуальный γ-квант в процессе рассеяния или поглощения может передать ядру или частице изоспин, равный 0 либо 1.

Законы сохранения момента и четности в ядерных реакциях

    Рассмотрим, как проявляются в реакциях другие законы сохранения - например, закон сохранения момента импульса и закон сохранения пространственной четности Р. (Напомним, что в реакциях, протекающих по сильному и электромагнитному взаимодействиям, Р-четность сохраняется).
    Определим возможные значения орбитального момента дейтрона в реакции подхвата p + ¹³C¹²C + d, если орбитальный момент протона равен 0.
   Закон сохранения момента импульса для данной реакции имеет вид:

  + = 0 + + _dl_d = 0, 1, 2.

Закон сохранения Р - четности: l_d - нечетное (odd).
    Единственным решением, удовлетворяющим обоим законам сохранения является l_d =1. Таким образом, применение законов сохранения момента импульса и четности дает возможность установить характеристики частиц.
    Анализ законов сохранения помогает в ряде случаев установить наиболее вероятный канал реакции. Рассмотрим, например, реакцию

⁴⁰Са + ³He³⁹Са + ⁴He.

    Сравним кинематику этой реакции при получении конечного ядра ³⁹Са в основном состоянии с J^P = 3/2⁺ и первом возбужденном состоянии с J^P = 1/2⁺. Для первого канала возможный орбитальный момент альфа-частицы l = 1 либо 2. Из закона сохранения четности следует, что l = 2. При этом орбитальном моменте центробежный потенциальный барьер будет тормозить вылет -частицы в реакции. Для второго канала, когда ядро-продукт оказывается в возбужденном состоянии с J^P=1/2⁺, орбитальный момент -частицы равен 0. Реакция по второму каналу оказывается вероятнее реакции по первому каналу.

Механизмы ядерных реакций и зависимость эффективных сечений реакции от энергии

Рис. 11.5. Зависимость сечение прямых реакций 16O(p,d)15Ogs,, 16O(p,d)15O* от энергий возбуждения дочернего ядра.

    Время протекания реакции зависит от механизма реакции. Для ядерных реакций различают по времени протекания прямые реакции и реакции через составное ядро. Прямые реакции происходят за времена, сравнимые с так называемым ядерным временем, т.е. временем пролета частицы со скоростью v0.1c через ядро; 10^-22 сек. Примером прямой реакции является реакция, p + ¹³C¹²C + d, когда протон, взаимодействуя с ядром ¹²C, “подхватывает” нейтрон с внешней оболочки этого ядра. Зависимость эффективных сечений прямых реакций от энергии взаимодействия проходит через широкий максимум, ширина которого связана с временем реакции соотношением Г. Для прямых реакций ширина имеет порядок величины Г15 МэВ. Примером прямой реакции является реакция подхвата (pick-up) на ядрах ¹⁶О (cм. pис.11.5). Реакция происходит с подхватом протона как в подоболочки1p_1/2 , так и с подоболочки 1p_3/2. Во втором случае ядро ¹⁵О оказывается в возбужденном состоянии J^P=3/2^-. Сечение второй реакции примерно вдвое выше, чем реакции образования ядра-продукта основном состоянии, что является следствием оболочечной структуры ¹⁶О и различия в числах заполнения подоболочек 1p_1/2 и 1p_3/2.
    В реакциях через составное ядро энергия, переданная налетающей частицей ядру, не передается непосредственно одной из частиц ядра, как в прямой реакции, а распределяется по степеням свободы ядра. Составное ядро живет - по ядерным масштабам – долго, время его жизни t >> - ядерного времени. Испускание частиц из составного ядра происходит по законам термодинамики. Для зависимости сечения такой реакции от энергии налетающей частицы характерны узкие пики с ширинами на несколько порядков меньшими, чем ширины сечений прямых реакций.

Ядерные реакции с нейтронами

    Ядерные реакции с нейтронами занимают особое место в прикладной физике ядра. С помощью этих реакций получают радиоактивные элементы, используемые в настоящее время в медицине и исследованиях твердых тел. Деление тяжелых ядер нейтронами лежит в основе работы ядерных реакторов.
    Примеры ядерных реакций с нейтронами:

1) 40Са + n39Са + n	(n,n);
2) 60Ni + n60Ni* + n	(n,n');
3) 197Au + n198Au +	(n,);
4) 235U + n135Te + 98Zr + 2n	(n,f).

    Первая и вторая из этих реакций – соответственно – упругое и неупругое рассеяние нейтрона на ядре. Третья реакция – это т.н. реакция активации. Из стабильного изотопа получается нестабильный изотоп, который далее испытывает -распад. Четвертая реакция – реакция вынужденного деления урана-235.
    Эффективные сечения всех этих реакций зависят от энергии нейтронов.
    На рис.11.6 показана зависимость сечения деления урана от кинетической энергии нейтронов. Из этих данных следует, что наибольшее сечение реакция деления имеет для нейтронов наиболее низких кинетических энергий (E < 0.1 МэВ). Аналогичную зависимость от энергии имеют и сечения реакций активации (типа реакции 3)). Нейтроны, рождающиеся в нейтронных источниках, имеют кинетические энергии E > 1 МэВ.
    В источнике, состоящем из -активного препарата (например, ²²²Rn) и бериллия, рождаются нейтроны с кинетическими энергиями 5-6 МэВ:

⁴He + ⁹Be¹²С + n.

    Изучение реакций активации может служить способом измерения сечения захвата тепловых нейтронов ядрами. Например, в реакции активации 3) возникают ядра радиоактивного золота-198. Они распадаются с вылетом электрона и антинейтрино: ¹⁹⁸Au¹⁹⁷Au + e^- + _e.
   Рассмотрим изменение числа ядер ¹⁹⁸Au со временем, начиная от момента начала облучения ¹⁹⁷Au:

dN(t) = Indt - N(t)dt;

(11.11)

Здесь I – поток нейтронов, n – число ядер ¹⁹⁷Au в образце, – эффективное сечение реакции активации.
    Оценим эффективное сечение активации золота, если при облучении образца массой 0.1 г в потоке тепловых нейтронов I = 10¹² нейтронов/см²сек в течение одного часа получился радиоактивный препарат с активностью J (числом распадов в секунду) 3.2^.10⁸ Бк3.2^.10⁸ сек^-1.
   Активность равна вероятности распада на число ядер радиоактивного изотопа в образце

(11.12)

При условии, что время облучения t << T_1/2, t = t ln 2/T_1/2; . Учитывая, что nN_A/A,  где m – масса активируемого образца, N_A –число Авогадро, получаем, что эффективное сечение активации ¹⁹⁸Au составляет

10^-22 см² = 100 б.

    Поскольку эффективные сечения процессов микромира в единицах см² представляют собой очень малые величины, они измеряются, как правило, в единицах 1 барн = 1 б = 10^-24 см². В этой задаче получено эффективное сечение активации золота нейтронами с очень малыми кинетическими энергиями – тепловыми нейтронами. Нейтроны таких энергий можно получить путем замедления быстрых нейтронов.

    Замедление нейтронов проводится с целью увеличения эффективных сечений реакций с нейтронами.
    Замедление нейтронов происходит за счет реакций упругого рассеяния. При упругом рассеянии кинетическая энергия нейтрона распределяется между рассеянным нейтроном и ядром рассеивателя. Из классической кинематики следует, что при рассеянии движущегося шара на неподвижном той же массы теряется в среднем половина кинетической энергии первого шара.

E_N = E_N-1cos² ;  _N = _N-1/2.

    В результате многократных актов упругого рассеяния нейтронов на ядрах замедлителя кинетическая энергия нейтронов снижается до кинетической энергии теплового движения вещества замедлителя. При обычных температурах эта энергия равна, E_кин = 3kT/2, где Т- температура в шкале Кельвина. Используя выражение для константы Больцмана k = 8.62^.10^-5 эВ/K; T300K, получим для тепловых энергий нейтрона E_кин0.04 эВ.
   Таким образом, в качестве замедлителя может использоваться любое водородосодержащее вещество – вода, парафин и т.д. Однако в ряде приложений нейтронной физики, например, для поддержания цепной реакции деления, важной характеристикой замедлителя является малое эффективное сечение захвата нейтронов замедлителем. В этих случаях выбор замедлителя определяется как эффективностью процесса уменьшения энергии нейтрона в замедлителе, так и низким сечением захвата нейтронов. По этим характеристикам хорошими замедлителями являются тяжелая вода (D₂O) и графит. ( При использовании в качестве замедлителя воды или других водородосодержащих веществ происходит значительный захват нейтронов за счет реакции ¹H (n,)²H).
   При упругом рассеянии нейтронов на более тяжелых ядрах средние потери кинетических энергий нейтрона меньше, чем при рассеянии на протонах. Например, при рассеянии нейтронов на ядрах ¹²С _N = 4_N-1/5.
   Оценим среднее число актов упругого рассеяния нейтрона на протоне, необходимых для уменьшения кинетической энергии нейтрона от 4 МэВ до энергии теплового движения.
    Если в одном акте упругого рассеяния теряется около 1/2 кинетической энергии нейтрона, то среднее число актов рассеяния, необходимое для замедления, равно ~27, действительно

Цепная реакция деления

    Реакция распада атомного ядра на два фрагмента сравнимой массы называется делением. Деление бывает спонтанным и вынужденным (т.е. вызванным взаимодействием с налетающей частицей). Реакция деления тяжелых ядер под действием нейтронов лежит в основе методов получения ядерной энергии. По кривой зависимости удельной энергии связи ядер от числа нуклонов А можно оценить, какая энергия выделяется при превращении одного ядра с А = 200 в два ядра с меньшими числа нуклонов. Поскольку для тяжелых ядер энергия связи на нуклон около 7.5 МэВ, а для средних около 8.5 МэВ, при делении этого ядра выделится энергия (приблизительно) 200 МэВ.
    Основная часть энергии деления превращается в кинетическую энергию “осколков” – т.е. получившихся в результате деления ядер. (Осколки, как правило, не имеют равных масс, в среднем отношение из масс равно 1.46). Очень важной особенностью деления является то, что для целого ряда тяжелых ядер деление (fission) идет с испусканием нейтронов, как показывает пример вынужденного деления урана-235:

235U + n139Xe + 95Sr + 2n.

(11.13)

    Помимо реакции (11.13) вынужденное деление изотопа урана U-235 идет по десяткам других каналов деления. Важнейшей особенностью реакций вынужденного деления ядер U-235 является тот факт, что для этого изотопа реакции деления (n,f) не имеют энергетического порога, т.е. могут происходить на тепловых нейтронах и поэтому имеют большие эффективные сечения. В среднем на один акт деления изотопа ²³⁵U тепловыми нейтронам появляется 2.43 быстрых нейтрона. Именно те элементы, ядра которых при вынужденном делении дают 2-4 нейтрона в среднем на каждый акт деления, могут быть использованы для поддержания цепной реакции деления. Цепная реакция деления будет поддерживаться в том случае, если число нейтронов в одном поколении выше числа нейтронов в предыдущем поколении. Реактор АЭС работает при коэффициенте размножения нейтронов k > 1, поскольку часть родившихся нейтронов теряется за счет вылета за пределы реактора и за счет других реакций (например, реакций активации (n,)). Масса делящегося элемента не может быть меньше т.н. критической массы, а размер активной зоны, в которой происходит деление – меньше критического размера.
    Практически используются для получения управляемой цепной реакции деления всего три изотопа ²³⁵U, ²³⁸U, ²³⁹Pu, причем третий изотоп – ²³⁹Pu изготовляется в урановых ядерных реакторах. Изотоп ²³⁸U испытывает деление только под действием быстрых нейтронов с энергиями не ниже 1.1 МэВ.
    Большинство промышленных ядерных реакторов (АЭС) работают на обогащенном уране, т.е. смеси изотопов ²³⁸U и ²³⁵U, в которой процентное содержание ²³⁵U значительно превышает долю этого изотопа в естественной смеси (около 5.5 % вместо ~0.7%). Это так называемый "низкообогащенный" уран. (Смесь изотопов урана с большим, чем 6%, содержанием ²³⁵U - "высокообогащенный" уран - является материалом, используемым для изготовления ядерного оружия.) Цепная реакция деления под действием тепловых нейтронов происходит на изотопе ²³⁵U. Этот изотоп урана под действием тепловых нейтронов делится на два “осколка” – ядра с массовыми числами от 72 до 161 и числами протонов от 30 до 65.
    Полное эффективное сечение реакций деления ²³⁵U(n,f) для тепловых нейтронов составляет около 580 барн.

Рис.11.6. Эффективные сечения реакции деления изотопов урана под действием нейтронов (n,f) как функция кинетической энергии нейтрона. (Логарифмический масштаб по обеим осям).

    Реакция деления изотопа ²³⁸U - пороговая, этот изотоп делится только при энергиях нейтрона выше 1.1 МэВ, т.е. "быстрыми" нейтронами. Однако эффективное сечение этой реакции деления значительно ниже, чем сечение деления ²³⁵U(n,f) под действием тепловых нейтронов (см. рис.11.6).
    Рождающиеся в процессе деления нейтроны – быстрые. Их необходимо замедлить до скоростей теплового движения, чтобы использовать для деления других ядер ²³⁵U – то есть для поддержания цепной реакции. С этой целью используются материалы, состоящие из элементов с малым значением А. Чем меньше А, тем быстрее происходит замедление нейтронов. Другим обязательным качеством замедлителя является низкое значение эффективного сечения поглощения нейтронов. Таким требованиям соответствует тяжелая вода, которая используется в гомогенных реакторах. В гетерогенных реакторах в качестве замедлителя, как правило, используется графит. В этом случае замедление нейтронов происходит на ядрах углерода.
    Одновременно с цепной реакцией деления ²³⁵U идет захват нейтронов изотопом ²³⁸U с последующим превращением его в плутоний:

n + ²³⁸U²³⁹U + ;
²³⁹U²³⁹Np + e^- + _e;
²³⁹Np²³⁹Pu + e^- + _e.

    Образующийся в результате работы АЭС плутоний также способен поддерживать цепную реакцию деления под действием медленных нейтронов. Его используют как в АЭС, так и при производстве ядерного оружия.
    В результате реакций деления появляются нестабильные ядра ("осколки" деления), “пересыщенные” нейтронами и испытывающие далее -распады и -переходы. Поэтому продукты деления имеют высокую радиоактивность.