Познакомимся теперь с более сложной
группой Ли - с группой 3-мерных унитарных
унимодулярных матриц SU(3), сыгравшей и
играющей в современной физике элементарных
частиц совершенно замечательную роль. Эта группа
уже 8-параметрическая. (Действительно,
произвольная комплексная матрица 3
× 3 зависит
от 18 вещественных параметров, условие
унитарности уменьшает их число вдвое, а условие
унимодулярности убирает еще один параметр.)
Переход к 8-параметрической группе SU(3)
можно сделать непосредственно от
3-параметрической группы SU(2), заменив 2-мерные
унитарные унимодулярные матрицы U на 3-мерные, а к
соответствующей алгебре - заменив матрицы
Паули σk, k = 1, 2, 3 на
матрицы Гелл-Маннаλα,
α = 1,..., 8:
(Подобным образом, набравшись
терпения, можно построить представление алгебры
размерности n для любой унитарной группы SU(n) при
конечном n. ) Эти матрицы реализуют 3-мерное
представление алгебры группы SU(3) с базисными
спинорами
q1 = , q2
= ,
q3 = .
(1.53)
Представление размерности 8 задается
матрицами 8×8 в линейном пространстве, натянутом
на базисные спиноры
(1.54)
Но подобно тому, как в SU(2) любой 3-вектор
можно записать в виде бесшпуровой матрицы 2×2,
любой 8-вектор в SU(3) X = (x1,..., x8) можно
задать в виде матрицы 3x3 :
.
(1.55)
В левом верхнем углу мы сразу видим предыдущее
выражение (1.32) из SU(2). Прямое произведение двух
спиноров qα и qβ можно разложить в точности
также, как и в случае SU(2) (но теперь α,
β = 1, 2, 3) симметризуя и
антисимметризуя по индексам:
(1.56)
Симметричный тензор 2-го ранга имеет
размерность и для
n = 3, что видно из
матричного представления:
(1.57)
и здесь учтено, что T{ik} =T{ki}Tik (ik, i, k = 1, 2, 3). Антисимметричный тензор 2-го
ранга имеет размерность и для n = 3 , что также видно из
матричного представления:
(1.58)
и мы учли, что T[ik] = -T[ki]tik (ik, i, k = 1, 2, 3) и T[11] = T[22] =T[33] =
0.
Через размерности разложение можно
записать как
n × n = n(n+1)/2|SS + n(n-1)/2|AA,
или для n = 3 . Рассмотрим
в качестве примера произведение спинора qα и ему сопряженного
спинора qβ, чьи базисные
вектора представимы как три строки
(1 0 0), (0 1 0) и
(0 0 1). И здесь разложение на сумму НП
достигается вычитанием шпура (напомним, что
матрицы Гелл-Манна бесшпуровые)
(1.59)
где - бесшпуровый
тензор размерности dV =(n2 - 1),
соответствующий присоединенному (иногда говорят
"векторному") представлению группы SU(3),
имеющий при n = 3 размерность 8; I - единичная
матрица, соответствующая единичному (или
скалярному) НП. Через размерности это запишется
как или для n = 3 .
Приведем еще один пример довольно
сложного разложения, используемого, в частности,
в вычислениях глюонных поправок к электрослабым
взаимодействиям. Это разложение
симметризованного произведения токов , в
сумму НП:
(1.60)
где NSS - бесшпуровый тензор
4-го ранга, симметричный по двум верхним и двум
нижним индексам, размерности NSS = [n2(n
+ 1)2/4 - n2]:
(1.61)
NAA
- бесшпуровый тензор 4-го ранга, антисимметричный
по двум верхним и двум нижним индексам,
размерности NAA = [n2(n - 1)2/4 - n2]
(n > 4, так как при n = 3 это НП
сводится к октету, уже имеющемуся в разложении)
(1.62)
два тензора 2-го ранга присоединенного
представления размерности NSA = (n2 - 1),
симметричный:
(1.63)
и антисимметричный
(1.64)
и скалярное представление
(1.65)
НП смешанной симметрии, описываемые тензорами
4-го ранга и размерности = [n2(n2 - 1)/4 - n2
+ 1], входящие в разложение произведения токов,
имеют вид
(1.66)
(1.67)
[SU(3)]
При n = 3
[SU(4)]
при n = 4
[SU(5)]
при n = 5
[SU(6)]
при n = 6
На этом мы пока закончим изложение
формализма и перейдем к проблеме классификации
частиц по представлениям группы SU(3) и некоторым
их следствиям.