1.7 Группа унитарной симметрии SU(3)

    Познакомимся теперь с более сложной группой Ли - с группой 3-мерных унитарных унимодулярных матриц  SU(3), сыгравшей и играющей в современной физике элементарных частиц совершенно замечательную роль. Эта группа уже 8-параметрическая. (Действительно, произвольная комплексная  матрица 3 × 3 зависит от 18 вещественных параметров, условие унитарности уменьшает их число вдвое, а условие унимодулярности убирает еще один параметр.)
    Переход к 8-параметрической группе SU(3) можно сделать непосредственно от 3-параметрической группы SU(2),  заменив 2-мерные унитарные унимодулярные матрицы U на 3-мерные, а к соответствующей алгебре -   заменив матрицы Паули σ_k, k = 1, 2, 3 на матрицы Гелл-Манна λ_α, α = 1,..., 8:

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

 ,

где f₁₂₃ = 1, f₁₄₇ =1/2, f₁₅₆ = -1/2, f₂₄₆ =1/2, f₂₅₇ =1/2, f₃₄₆ =1/2, f₃₆₇=-1/2, f₄₅₈=, f₆₇₈ =

    (Подобным образом, набравшись терпения, можно построить представление алгебры размерности n для любой унитарной группы SU(n) при конечном n. ) Эти матрицы реализуют 3-мерное представление алгебры группы SU(3) с базисными спинорами

    Представление размерности 8 задается матрицами 8×8 в линейном пространстве, натянутом на базисные спиноры

Но подобно тому, как в SU(2)  любой 3-вектор можно записать в виде бесшпуровой матрицы 2×2, любой 8-вектор в SU(3) X = (x₁,..., x₈) можно задать в виде матрицы 3x3 :

В левом верхнем углу мы сразу видим предыдущее выражение (1.32) из SU(2).
    Прямое произведение двух спиноров q^α и q^β можно разложить в точности также, как и в случае SU(2) (но теперь α, β = 1, 2, 3) симметризуя и антисимметризуя по индексам:

Симметричный тензор 2-го ранга имеет размерность и для n = 3, что видно из матричного представления:

и здесь учтено, что T^{ik} =T^{ki}T^ik (ik, i, k = 1, 2, 3). Антисимметричный тензор 2-го ранга имеет размерность и для n = 3 , что также видно из матричного представления:

и мы учли, что T^[ik] = -T^[ki]t^ik (ik, i, k = 1, 2, 3) и T^[11] = T^[22] =T^[33] = 0.
    Через размерности разложение можно записать как

n × n = n(n+1)/2|_SS + n(n-1)/2|_AA,

или для n = 3 . Рассмотрим в качестве примера произведение спинора q^α и ему сопряженного спинора q_β, чьи базисные вектора представимы как три строки (1  0  0), (0  1  0) и (0  0  1). И здесь разложение на сумму НП достигается вычитанием шпура (напомним, что матрицы Гелл-Манна бесшпуровые)

где - бесшпуровый тензор размерности d_V =(n² - 1), соответствующий присоединенному (иногда говорят "векторному") представлению  группы SU(3), имеющий при n = 3 размерность 8; I - единичная матрица, соответствующая единичному (или скалярному) НП. Через размерности это запишется как   или для n = 3 .
    Приведем еще один пример довольно сложного разложения, используемого, в частности, в вычислениях глюонных поправок к электрослабым взаимодействиям. Это разложение симметризованного произведения токов , в сумму НП:

где N_SS - бесшпуровый тензор 4-го ранга, симметричный по двум верхним и двум нижним индексам, размерности N_SS = [n²(n + 1)²/4 - n²]:

N_AA - бесшпуровый тензор 4-го ранга, антисимметричный по двум верхним и двум нижним индексам, размерности N_AA = [n²(n - 1)²/4 - n²] (n > 4, так как при n = 3 это НП сводится к октету, уже имеющемуся в разложении)

два тензора 2-го ранга присоединенного представления размерности N_SA = (n² - 1), симметричный:

и антисимметричный

и скалярное представление

НП смешанной симметрии, описываемые тензорами 4-го ранга и размерности = [n²(n² - 1)/4 - n² + 1], входящие в разложение произведения токов, имеют вид

[SU(3)]	При n = 3
[SU(4)]	при n = 4
[SU(5)]	при n = 5
[SU(6)]	при n = 6

    На этом мы пока закончим изложение формализма и перейдем к проблеме классификации частиц по представлениям группы SU(3) и некоторым их следствиям.