Из элементарной математики известно,
что действительные числа можно складывать,
вычитать,
умножать, делить и сравнивать по величине.
Перечислим основные свойства, которыми обладают
эти операции. Множество всех действительных
чисел будем обозначать через R,
а его подмножества называть числовыми
множествами.
I. Операция сложения. Для любой пары
действительных чисел a и b
определено единственное число, называемое их суммой
и обозначаемое a + b, так, что при
этом выполняются следующие условия:
I1. a + b = b + a, a, b
R.
I2. a + (b + c) = (a + b) + c,
a, b, c R.
I3 Существует такое число, называемое нулем
и обозначаемое 0, что для любого a R
выполняется условие a + 0 = a.
I3. Для любого числа a R
существует число, называемое ему противоположным
и обозначаемое -a, для которого a + (-a) = 0.
Число a + (-b) = 0, a, b
R,
называется разностью чисел a и b
и обозначается a - b.
II. Операция умножения. Для любой пары
действительных чисел a и b
определено единственное число, называемое их произведением
и обозначаемое ab, такое, что выполняются
следующие условия:
II1. ab = ba, a, b R.
II2. a(bc) = (ab)c, a, b,
c R.
II3.Существует такое число, называемое единицей
и обозначаемое 1, что для любого a R
выполняется условие a
1 = a.
II4. Для любого числа a 
существует число, называемое ему обратным
и обозначаемое 
или 1/a, для которого a=1.
Число a
, b 0, называется частным от
деления a на b и обозначается a:b
или 
или a/b.
III. Связь операций сложения и умножения:
для любых a, b, c R
выполняется условие (ac + b)c = ac + bc.
IV. Упорядоченность. Для действительных чисел
определено отношение порядка. Оно состоит в
следующем. Для любых двух различных чисел a и
b имеет место одно из двух соотношений: либо a < b
(читается "a меньше b"), или, что то
же самое, b > a (читается "b
больше a"), либо a > b, или,
что то же самое, b < a. При этом
предполагается, что выполняются следующие
условия:
IV1. Транзитивность. Если a < b
и b < c, то a < c.
IV2. Если a < b, то
для любого числа c имеет место a + c < b
+ c.
IV3. Если a > b и c < 0,
то ac > bc.
Соотношения порядка называют также сравнением
действительных чисел по величине или неравенствами.
Запись a < b, равносильная
записи b > a, означает, что
либо a < b, либо a = b.
Из выполнения условий IV2 и IV3
вытекает одно важное свойство, называемое плотностью
действительных чисел: для любых двух различных
действительных чисел a и b, например,
таких, что a < b, существует такое
число c, что a < c < b. В
самом деле, сложив каждое из равенств a = a,
b = b с неравенством a < b,
получим 2a < a + b < 2b,
откуда a < (a + b)/2 < b,
т. е. в качестве числа c можно взять (a + b)/2.
Множество действительных чисел
обладает еще свойством непрерывности.
V. Непрерывность. Для любых непустых
числовых множеств X и Y таких, что для
каждой пары чисел
x X и y Y выполняется
неравенство x < y, существует
число a, удовлетворяющее условию
|
x < a < y, xX, yY
(рис. 2).
Перечисленные свойства полностью
определяют множество действительных чисел в том
смысле, что из этих свойств следуют и все
остальные его свойства. Поэтому можно дать
аксиоматическое определение множества
действительных чисел следующим образом.
Определение 1. Множество
элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее
более одного элемента, называется множеством
действительных чисел, а каждый его элемент - действительным
числом. Это определение однозначно задает
множество действительных чисел с точностью до
конкретной природы его элементов. Оговорка о том,
что в множестве содержится более одного
элемента, необходима потому, что множество,
состоящее из одного только нуля, очевидным
образом удовлетворяет условиям I-V.
Числа 1, 2 
1 + 1,
3 2 + 1,
... называются натуральными числами, и их
множество обозначается N.
Из определения множества натуральных чисел
вытекает, что оно обладает следующим
характеристическим свойством: если
1) A 
N,
2) 1 A,
3) если для каждого элемента x A имеет место
включение x + 1 A,
то A = N.
Действительно,
согласно условию 2) имеем 1 A, поэтому по свойству 3) и 2 A, а тогда согласно
тому же свойству получим 3 A. Поскольку любое натуральное
число n получается из 1 последовательным
прибавлением к ней той же 1, то n A, т. е. N A,
а так как по условию 1 выполняется включение A N,
то A = N 
.
На этом свойстве
натуральных чисел основан принцип
доказательства методом математической
индукции. Если имеется множество утверждений,
каждому из которых приписано натуральное число
(его номер) n = 1, 2, ..., и если
доказано, что:
1) справедливо утверждение с номером 1;
2) из справедливости утверждения с любым номером nN
следует справедливость утверждения с номером
n + 1;
то тем самым доказана справедливость всех
утверждений, т. е. любого утверждения с
произвольным номером nN.
Примером доказательства методом
математической индукции является
доказательство теоремы 1 в п. 2.4.
Числа 0, +1, +2, ... называют целыми
числами, их множество обозначают Z.
Числа вида m/n, где m и n
целые, а n0, называются
рациональными числами. Множество всех
рациональных чисел обозначают Q,
т. е.
Q = {x R:
x = m/n, m Z, n Z, n0 }.
Действительные числа, не являющиеся
рациональными, называются иррациональными,
их множество обозначается I. Кроме
четырех арифметических действий над числами
можно
производить действия возведения в степень и
извлечения корня.
Для любого числа a R и
натурального n степень an
определяется как произведение n
сомножителей, равных a:
По определению a0 1, a > 0, a-n
1/n, a0, n - натуральное число.
Пусть a > 0, n -
натуральное число. Число b называется корнем
n-й степени из числа a, если bn = a.
В этом случае пишется 
.
Существование и единственность положительного
корня любой степени n из любого
положительного числа будет доказано ниже в
п. 7.3.
Корень четной степени 
, a 0, имеет два значения: если b = , kN, то и -b
= . Действительно, из
b2k = a следует, что
(-b)2k = ((-b)2)k = (b2)k = b2k
Неотрицательное значение 
называется его арифметическим
значением.
Если r = p/q, где p и q
целые, q 0, т. е. r
- рациональное число, то для a > 0
|
(2.1) |
Таким образом, степень ar определена для любого рационального числа r. Из ее определения следует, что для любого рационального r имеет место равенство
a-r = 1/ar.
Степень ax (число x называется показателем
степени) для любого действительного числа x
получается с помощью непрерывного
распространения степени с рациональным
показателем (см. об этом в п. 8.2). Для любого
числа a R неотрицательное число
называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливы неравенства
|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|,
a, b R
Они доказываются с помощью свойств I-IV действительных чисел.
