2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности.

    Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа - точками этой прямой (рис. 3). Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа - ее точками. В связи с этим иногда вместо a < b (соответственно вместо b > a) говорят, что точка a лежит левее точки b (точка b лежит правее точки a). Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через - и + и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая при этом по определению, что для любого числа x R выполняется неравенство

    Множество действительных чисел R, дополненное элементами - и +, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .
    Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +, -, и называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.
    Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой . Пусть a  , b , a < b. Множество

[a, b] {x:  x , a < x < b}

называется отрезком, множество

(a, b) {x:  x R, a < x < b}

- интервалом, множества

[a, b) {x:  x , a < x < b},
(a, b] {x:  x , a < x < b}.

- полуинтервалами, а все они - промежутками расширенной числовой оси. Точки a и b называются концами этих промежутков, а точки x такие, что a < x < b, - их внутренними точками. Если a и b - числа, a < b, то число b - a называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.
    Важным для дальнейшего является понятие окрестности конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой.
    Если a R, т. е. когда a является действительным числом, то для любого > 0 -окрестностью U(a,) числа a называется интервал (a - , a + ), т. е.

(рис.4).
    Таким образом, во всех случаях с убыванием соответствующая окрестность точки a уменьшается. Всякая -окрестность конечной или бесконечной удаленной точки a называется ее окрестностью. Иногда окрестность обозначается просто U(a).
    Важным свойством точек расширенной прямой, следующим непосредственно из определения их окрестностей, является то, что у двух различных точек расширенной числовой прямой имеются непересекающиеся окрестности (рис.5).
    Нужным бывает и понятие окрестности для бесконечности без знака . Ее -окрестность, > 0, определяется равенством (рис. 6)

U(+,){x:  x R, |x| >1/}{-}.

    Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.

Действительные числа  Оглавление  Комплексные числа