2.3. Комплексные числа

    Рассмотрим элементы вида z = x + yi, где x и y - действительные числа, а i - некоторый элемент, называемый мнимой единицей (см. *).
    Элемент z = x + yi называют комплексным числом, x - его действительной, а y - мнимой частью и пишут

x = Re z,  y = Im z.

(От латинских слов realus - действительный, imaginarius - мнимый)
    Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.
    Вместо x + 0i и 0 + yi пишут соответственно x и yi, в частности, 0 + 0i = 0; вместо 1i пишут i. Число x + yi, у которого y 0, называют существенно комплексным числом, а число вида yi,  y 0, - чисто мнимым.
    Множество всех комплексных чисел обозначают через C.
    Арифметические операции. С помощью операций сложения и умножения действительных чисел в множестве комплексных чисел также можно ввести операции сложения и умножения.
    Для комплексных чисел z₁ = x₁ + y₁i и z₂ = x₂ + y₂i их сумма z₁ + z₂ определяется как комплексное число, действительная и мнимая части которого получаются в результате сложения соответственно действительных и мнимых частей чисел z₁ и  z₂:

z₁ + z₂(x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i.

    Для определения произведения комплексных чисел сначала определим квадрат мнимой единицы:

i²ii -1,

а затем - произведение двух произвольных комплексных чисел  z₁ = x₁ + y₁i и z₂ = x₂ + y₂i как результат почленного умножения  z₁ = x₁ + y₁i на z₂ = x₂ + y₂i с использованием соотношения i² = -1 и последующего сложения полученных результатов:

    Замечание. При определении умножения комплексных чисел можно было бы предварительно не определять, что i² = -1, и не использовать правила почленного умножения, а сразу определить произведение по формуле (2.3). Тогда из нее бы уже следовало, что  i² = -1. В самом деле,

    Вычитание определяется как действие, обратное сложению: z = z₁ - z₂, если z₁ = z₂ + z, а деление - как действие, обратное умножению: z = z₁/z₂, z₂ 0, если  z₁ = z₂z.
    Определенные указанным образом арифметические операции над комплексными числами удовлетворяют группам аксиом I, II, III, п. 2.1. Теперь можно сформулировать более полное и более точное определение множества комплексных чисел C.
    Определение 2. Множество всех элементов x + yi, в котором заданы операции сложения, вычитания, умножения и деления согласно выше сформулированным правилам, называется множеством комплексных чисел, а каждый его элемент - комплексным числом.
    Обозначение x + yi комплексных чисел называется их алгебраической формой записи.

   Векторная интерпретация. Каждому комплексному числу z = x + yi соответствует упорядоченная пара действительных чисел (x, y), и наоборот, каждой упорядоченной паре действительных чисел (x, y) соответствует комплексное число z = x + yi, и эти соответствия взаимно однозначны. С упорядоченными же парами действительных чисел (x, y) на плоскости (при фиксированной системе декартовых координат) находятся во взаимно однозначном соответствии векторы этой плоскости имеющие числа x и y своими координатами. В результате комплексное число z = x + yi можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами x,y. Этот вектор мы будем обозначать той же буквой z = (x,y) (рис. 7).
     Целесообразность такой интерпретации комплексных чисел следует из того, что при сложении комплексных чисел складываются и соответствующие им векторы: при сложении векторов их координаты складываются, поэтому суммой векторов z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) является вектор

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂),

т. е. вектор, соответствующий сумме z₁ + z₂ комплексных чисел z₁ = x₁ + y₁i и z₂ = x₂ + y₂i (рис. 8).
    Поскольку вычитание как для комплексных чисел, так и для векторов является действием, обратным сложению, то при вычитании комплексных чисел соответствующие им векторы также вычитаются (рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9

     Координатная плоскость, векторы z = (x,y) которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось x - действительной осью, а ось y - мнимой.
    Длина |z| вектора z = (x,y) называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа z = x + yi. Очевидно,

    Поскольку длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны, то для любых двух комплексных чисел z₁ и z₂ имеют место неравенства (см. рис. 8 и рис. 9)

    Аргумент комплексного числа. Если  - угол, образованный ненулевым вектором  z с действительной осью, то всякий угол вида
 + 2n, где n - целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором z с действительной осью.
    Множество всех углов, которые образует ненулевой вектор z = (x,y) с действительной осью, называется аргументом комплексного числа z = x + yi и обозначается arg z. Каждый элемент этого множества называется значением аргумента числа arg z (рис. 10).
    Часто для краткости вместо "значение аргумента" говорят "аргумент" и обозначают его тем же символом arg z, что и все множество (подобно тому, как в теории неопределенных интегралов множество всех первообразных данной функции f обозначается тем же символом , что и произвольный элемент этого множества; см. п. 28.1).
    Поскольку ненулевой вектор плоскости однозначно определяется своей длиной и углом, который он образует с осью x, то два комплексных числа, отличные от нуля, равны тогда и только тогда, когда равны их абсолютные величины и аргументы.
    Если на значения аргумента  числа наложить, например, условие 0 <  < 2 или условие - <  < , то значение аргумента будет определено однозначно. Это ограничение, однако, как мы в этом убедимся в дальнейшем, не всегда удобно. Из определения аргумента следует, что tg  = y/x. Здесь при x = 0, y0 считается  y/0 = .
    Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа z = x + yi0 выражаются через его модуль r = |z| и аргумент следующим образом:

Отсюда

    Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа z. Мы будем ее употреблять и для z = 0; в этом случае r = 0, а может принимать любое значение - аргумент числа 0 не определен. Итак, всякое комплексное число можно записать в тригонометрической форме.
    Ясно также, что если комплексное число z записано в виде

r (cos + isin ), r > 0,

то число r является его модулем (ибо ), а  - одним из значений его аргумента.
    Запись операций умножения, деления и возведения в степень в тригонометрической форме. Тригонометрическую форму записи комплексных чисел бывает удобно использовать при перемножении комплексных чисел, в частности, она позволяет выяснить геометрический смысл произведения комплексных чисел.
    Найдем формулы для умножения и деления комплексных чисел при тригонометрической форме их записи. Если

z₁ =  r₁ (cos ₁ + isin ₁),   z₂ =  r₂ (cos ₂ + isin ₂),

то по правилу умножения комплексных чисел получим

z₁ z₂ =  r₁ r₂ [(cos ₁cos ₂ - sin ₁sin ₂) + i(cos ₁sin ₂ + sin ₁cos ₂)]  = 
= r₁ r₂ [cos(₁ + ₂) + isin(₁ + ₂)].

    Таким образом, при умножении комплексных чисел их абсолютные величины перемножаются, а аргументы складываются:

(второе равенство является равенством двух множеств). Отметим, что эту простую формулу для аргумента произведения комплексных чисел нельзя было бы написать, если бы мы с самого начала ограничились однозначным выбором аргументов комплексных чисел, например, с помощью неравенств

так как сумма arg z₁ + arg z₂ могла бы уже не удовлетворять этому неравенству, хотя arg z₁и arg z₂ ему удовлетворяли.
    Применив последовательно формулы (2.8) к произведению n комплексных чисел z₁,  z₂, ... z_n, получим

|z₁ z₂ ... z_n| = |z₁| |z₂| ...| z_n|,
arg (z₁ z₂ ... z_n) = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n.

Если z₁ = z₂ = ...= z_n, то из полученных равенств следует, что

    Следует обратить внимание на то, что вторая формула (2.10) представляет собой равенство множеств: если  - какое-либо значение аргумента числа z и, следовательно, n - значение аргумента zⁿ, то левая часть равенства состоит из всех чисел вида

n + 2m,   m = 0, +1, +2, ...,

а правая - из всех чисел вида

n( + 2m) + 2k = n + 2(nm + k),
  m = 0, +1, +2, ...,   k = 0, +1, +2, ...

Нетрудно убедиться, что эти два множества состоят из одних и тех же чисел. Отсюда видно, что
arg zⁿ  n arg z, так как здесь правая часть состоит лишь из чисел вида

n( + 2m) = n + 2nm,

т. е. таких чисел, которые получаются прибавлением к числу n не всевозможных чисел вида 2m, т. е. чисел, кратных 2, а лишь чисел, кратных числу 2n.
    Отметим еще, что формула (2.10) равносильна утверждению: если arg z, то

Поэтому если z = r (cos + isin ), то

Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина которого равна 1 (следовательно, оно имеет вид
z = cos + isin ), получаем

(cos + isin ) = cos n + isin n.

Эта формула называется формулой Муавра.  Если z = z₁/z₂, z₂ 0, т. е. z₁ = z₂z, то|z₁| = |z₂||z| и arg z₁ = arg z₂  + arg z. Таким образом,

|z| = |z₁|/|z₂|,   arg z = arg z₁  - arg z₂.

Иначе говоря, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
    Извлечение корня. Если n - натуральное число, z C, то корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое число w, что

    Например, числа i и -i являются корнями степени 2 (квадратными корнями) из числа z = -1, так как i² = -1 и (-i)² = -1. На этом примере уже видно, что число определено неоднозначно: для z = -1 может быть
= i, а может быть и = -i. При этом, в отличие от области действительных чисел, когда можно было рассматривать положительные и отрицательные значения корня, говорить о знаке корня в комплексной области нельзя, так как существенно комплексные числа не разбиваются на положительные и отрицательные: у существенно комплексного числа "нет знака". Поэтому при употреблении записи ,
z C, всегда надо отдавать себе отчет в том, что именно в рассматриваемом случае обозначает собой символ .
Если z = r (cos + isin ),  w =  (cos + isin ) и wⁿ = z, то

n (cos n + isin n)	=	r (cos + isin ).
	(2.13) (2.12)

Отсюда ⁿ = r, а следовательно, = , где корень n-й степени понимается в арифметическом смысле, т. е.
> 0, и

n = + 2k,  k = 0, +1, +2, ...,

или

Для того чтобы получить все возможные различные значения корней n-й степени, здесь достаточно ограничиться лишь значениями k = 0, 1, ..., n - 1:

так как при k = n получим т. е. значение аргумента _n отличается от значения аргумента
  на 2 и при остальных значениях k будут получаться значения угла , отличающиеся от одного из значений _k, k = 0, 1, ..., n - 1, на кратное числа 2, а поэтому соответствующее значение корня будет совпадать с одним из чисел

Таким образом, корень n-й степени из числа z = r (cos + isin ) имеет n значений w_k, для которых справедливы формулы (2.14) и (2.15). Все значения корня имеют одинаковые модули , а аргумент _k корня w_k получается из аргумента _k-1 корня w_k-1, k = 0, 1, ..., n - 1, так же, как и аргумент _k = /n корня w₀, - из аргумента _n-1 корня w_n-1 прибавлением числа 2/n. Отсюда следует, что если начало всех векторов w_k, поместить в начало координат, то их концы будут находиться в вершинах правильного n-угольника. На рис. 11 изображены корни .
    Сопряженные комплексные числа. Для каждого комплексного числа z = x + iy число x - iy называется ему сопряженным и обозначается . Геометрический вектор симметричен с вектором z относительно действительной оси (рис. 12).

Рис 11.

Рис.12

Перечислим основные свойства сопряженных чисел.
1^о. || = |z|, arg = arg z.
2^о. z = |z|².
3^о. = z.
4^о.
5^о.
6^о.
7^о.
    Докажем 1^о: ; если z = r (cos + isin ), то  = r (cos - isin ) =
=  r ((cos (-) + isin (-)) , и потому arg = arg z..
    Докажем 2^о:  z = (x + yi)(x - yi) = x² + y² = |z|².
    Так же просто доказывается .
    Свойства 4^о и 5^о вытекают из симметричности сопряженных чисел относительно действительной оси (рис.13 и рис.14), из которой следует, что число симметрично с z₁ + z₂, а число   симметрично с z₁ - z₂.

Рис. 13

Рис. 14

Проверим теперь, что в формуле 6^о абсолютные величины и аргументы чисел, стоящих в левой и правой частях равенства, равны:

||	=	|z1z2|	=	|z1||z2|	=	|1||2|	=	|12|
	1о		(2.8)		1о		(2.8)

arg ()	=	arg (z1z2)	=	-(arg z1 + arg z2)	=	-arg z1 - arg z2	=	arg 1 + arg 2	=	arg (12).
	1о		(2.8)		1о				(2.8)

    Аналогично доказывается свойство 7^о.
    Используя сопряженные комплексные числа, можно получить формулу для частного комплексных чисел в алгебраической форме: умножив числитель и знаменатель дроби на число x₂ - y₂i, сопряженное знаменателю, получим

    При построении теории комплексных чисел мы исходили из того, что комплексным числом называют объекты вида z = x + yi, где x и y - действительные числа, а  z - некоторый новый элемент, называемый мнимой единицей. Этому определению можно легко придать строго логическую форму следующим образом.
    Назовем комплексным числом упорядоченную пару (x, y) действительных чисел x и y. Операции сложения и умножения для двух комплексных чисел (x, y) и (x', y') определим по формулам

Комплексные числа вида (x,0) будем обозначать просто символом x:

а комплексное число (0,1) - символом i. Из формулы (2.17) следует, что

    Для любого комплексного числа (x, y) имеет место легко проверяемое тождество (x, y) = x + yi. В самом деле,

    Таким образом, мы пришли к первоначальной записи комплексных чисел.

---

Расширенная числовая прямая  Оглавление   Перестановки и сочетания