3.2. Понятие элементарной функции

    Функции:

постоянная  y = с (с - константа);

степенная  y = x^a, a R;

показательная  y = a^x, a > 0;

логарифмическая  y = log_ax, a > 0, a 0;

тригонометрические  y = sin x,  y = cos x,  y = tg x,  y = ctg x;

обратные тригонометрические  y = arcsin x,  y = arccos x,  y = arctg x,  y = arcctg x;

называются основными элементарными функциями.
    Всякая функция  f, которая может быть задана с помощью формулы y = f(x), содержащей лишь конечное множество арифметических операций над основными элементарными функциями и композиций, называется элементарной функцией.
    В множестве элементарных функций выделяются следующие классы.

1. Многочлены (полиномы), или, подробнее, алгебраические многочлены (полиномы), - функции вида

    Многочлены определены на всей числовой оси.
    Если a_n0, то целое неотрицательное число n называется степенью многочлена P(x). Функция, тождественно равная нулю, является в силу данного определения многочленом, который называется нулевым многочленом. Степень многочленов обладает тем свойством, что при перемножении ненулевых многочленов степень произведения равна сумме степеней сомножителей (см. п. 3.3*). Чтобы это свойство сохранялось и при умножении на нулевой многочлен, степенью нулевого многочлена называется минус бесконечность (-). По определению полагается, что сумма - и любого числа снова равна -:
- + x x + (-) -, x R, и - + (-) -.
Напомним еще (см. (2.2)), что - меньше любого числа x: - < x.
    2. Рациональные функции (рациональные дроби) - функции  f(x), представимые в виде

где P(x) и Q(x) - многочлены (Q(x) - ненулевой многочлен). Функция  f(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех ее точек, в которых знаменатель Q(x) обращается в нуль.
    3. Иррациональные функции, т. е. такие функции, не являющиеся рациональными, которые могут быть заданы композицией конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.
    4. Трансцендентные функции - элементарные функции, не являющиеся рациональными или иррациональными. Все перечисленные функции можно рассматривать и в комплексной области (т. е. когда их аргументы и их значения могут быть комплексными числами), но, конечно, в этом случае функции w^z, log_z w, sin z, cos z, z C, w C, требуют специальных определений (см. п. 41.4).

Числовые функции  Оглавление   Многочлены