3.4. Разложение многочленов на множители.

    Число z₀ C называется корнем многочлена P(z), если

P(z₀) = 0.

Поделив многочлен P(z) степени n на z - z₀ (здесь z₀ не обязательно корень P(z)), получим

где Q(z) - многочлен степени n - 1, а остаток от деления r - постоянная: r C.
    Если в равенстве (3.15) положить z = z₀, то получим

т. е. остаток от деления многочлена P(z) на z - z₀  равняется значению этого многочлена в точке z = z₀. Это утверждение называется теоремой Безу.
    Если z₀ - корень многочлена P(z), то из равенства (3.16) следует, что r = 0. Наоборот, если r = 0, то из (3.16) имеем P(z₀) = 0. Таким образом, число z₀ является корнем многочлена P(z) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на z - z₀.
    В курсе алгебры доказывается, что всякий многочлен степени, равной единице, или более высокой имеет корень (основная теорема алгебры).
    Пусть P_n(z) - многочлен степени n > 1 и z₁ - его корень. Тогда, согласно теореме Безу, многочлен P_n(z) можно представить в виде

P_n(z) = (z - z₁)Q_n-1(z),

где Q_n-1 - многочлен степени n - 1. При этом либо Q_n-1(z₁)0, либо Q_n-1(z₁) = 0. Во втором случае, снова согласно теореме Безу, многочлен Q_n-1(z₁) можно представить в виде

Q_n-1(z₁) = (z - z₁)Q_n-2(z).

где Q_n-2(z) - многочлен уже степени n - 2. В результате в этом случае

P_n(z) = (z - z₁)²Q_n-2(z),

т. е. многочлен P_n(z) делится на (z - z₁)².
    Целое неотрицательное число k₁ называется кратностью корня z₁ многочлена P_n(z), если этот многочлен делится на и не делится на .
    Однократный корень называется простым, а корень кратности, большей единицы, - кратным. Если z₁ является корнем кратности k₁ многочлена P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀, то, применяя последовательно теорему Безу, получим

P_n(z) = (z),   (z₁) 0

((z) - многочлен степени n - k₁). Согласно основной теореме алгебры многочлен (z) при n - k₁ > 1 имеет корень. Обозначим его через z₂, и пусть его кратность равна k₂; тогда

(z) = (z),   (z₂) 0,

и, следовательно,

P_n(z) = (z₂).

    Продолжив последовательно этот процесс, через конечное число шагов (каждый раз степень многочлена понижается) получим

где z_j z_l при j l,  j, l = 1, 2, ..., N. Ясно, что k₁ + k₂ + ... +k_N = n. Числа z₁, z₂, ..., z_N и только они являются корнями многочлена P_n(z).
    Для многочлена P(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₁z + a₀ положим

_n(z) _nzⁿ + _n-1z^n-1 + ... + ₁z + ₀

Многочлен _n(z) называется многочленом, сопряженным многочлену P_n(z). В силу свойств сопряженных комплексных чисел будем иметь

Если z₀ - корень кратности k для многочлена P_n(z), то ₀ является корнем той же кратности сопряженного многочлена _n(z).
Действительно, если

P_n(z) = (z - z₀)^kQ_n-k(z),     Q_n-k(z₀) 0,

то

       ,

откуда

_n(z) = = (z - ₀)^k_n-k(z),

причем,

 _n-k(z₀) =

Это и означает, что ₀ - корень кратности k многочлена _n(z).
    Пусть теперь коэффициенты многочлена P_n(z) - действительные числа. Тогда ясно, что _n(z) = P_n(z), и если z₀ = a + bi - корень кратности k такого многочлена P_n(z), то и ₀ = a - bi - корень кратности k этого же многочлена, так как он совпадает со своим сопряженным.
    В дальнейшем в случае многочлена с действительными коэффициентами будем вместо переменной z писать, как это обычно принято, переменную x.
    Заметим, что

(x - z0)(z - 0) = (x - a - bi)(z - a + bi) = (x - a)2 + b2 =                                                                                                   = x2 - 2ax + a2 + b2 = x2 + px + q,

(3.18)

где p = - 2a, q = a² + b² и, следовательно,

при b0, т. е. когда  z₀ = a + bi является существенно комплексным числом.
    Теперь мы видим, что если в разложении (3.17) многочлена с действительными коэффициентами объединить скобки  с сопряженными корнями согласно формуле (3.18)  и обозначить действительные корни x₁, x₂, ..., x_r, то получим разложение вида

или, короче,

где

(при перемножении многочленов их степени складываются),

(это следует из (3.19)), p_l, q_l - действительные числа, а k_j и m_l - натуральные, j = 1, 2, ... r.

Многочлены Оглавление Рациональные дроби