3.6. Графики рациональных функций

    График всякого многочлена степени n с действительными коэффициентами пересекает ось x в тех точках, абсциссы которых являются его действительными корнями и тем самым не более чем в n точках, так как он имеет не более чем n корней.
    Поведение многочлена при неограниченном возрастании или неограниченном убывании его аргумента зависит от четности степени многочлена и знака при старшем члене. Если n - четное число и коэффициент при старшем члене многочлена больше нуля, то как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании значения многочлена неограниченно возрастают (рис.15). Если n - нечетное число, то при положительном коэффициенте при старшем числе многочлена значения многочлена неограниченно растут при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывают при неограниченном его убывании (рис. 16).

Рис. 15

Рис. 16

    Если же коэффициент при старшем члене многочлена отрицателен, то при n четном многочлен неограниченно убывает как при неограниченном возрастании, так и при неограниченном убывании аргумента (рис. 17), а в случае n четного многочлен неограниченно убывает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно возрастает при неограниченном его убывании (рис. 18).

Рис. 17

Рис. 18

    Если P(x) - многочлен первого порядка:

P(x) = ax + b,

то его графиком является прямая линия. Коэффициент a равен тангенсу угла (см. п. 3.9), который эта прямая образует с осью x, a b равно ординате точки пересечения прямой с осью y (рис. 19).
    В случае когда рассматриваемый многочлен является квадратным трехчленом ax² + bx + c, его график называется параболой.
    Поскольку

то график функции у = ax² + bx + c получается из параболы у = x² ее переносом на параллельно оси x, растяжением в |a| раз вдоль оси x, симметрией относительно оси x при a < 0 и переносом на параллельно оси y (рис. 20). Из этого следует, что прямая x = является осью симметрии параболы (3.40), ибо ось y является осью симметрии параболы у = x². Точка (, ) называется вершиной параболы (3.40).

Рис. 19

Рис. 20

Рациональная функция

где P(x) и Q(x) - многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих действительных корней (если бы нашелся такой корень x₀, то дробь (3.41) можно было бы сократить на x - x₀), обращается в нуль в тех точках, в которых обращается в нуль ее числитель P(x). При этом если кратность нуля числителя четная, то функция  не меняет знака в его окрестности, а если нечетная, то меняет. В окрестности нулей знаменателя значения рациональной функции неограниченно возрастают по абсолютной величине при приближении к указанным нулям.
    Если степень числителя рациональной функции (3.41) больше степени ее знаменателя, то при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента она также неограниченно возрастает по абсолютной величине; если степень знаменателя больше степени числителя, то она неограниченно убывает по абсолютной величине; если же степень числителя равна степени знаменателя, то она неограниченно приближается к отношению коэффициентов при старших членах многочленов P(x) и Q(x).
    Изучению поведения рациональных функций помогает определение интервалов, на которых рассматриваемая функция (3.41) сохраняет постоянный знак. Все эти соображения полезно использовать при построении графиков рациональных функций.
    В качестве примера построим график функции

Эта функция обращается в нуль в точках x = 0 и x = 1, причем в окрестности нуля она меняет свой знак, а в окрестности единицы не меняет. В окрестности точек x = -1 и x = + она неограниченно возрастает по абсолютной величине, причем в точках x = + меняет свой знак, а в точке x = -1 не меняет.
    При неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента функция (3.42) неограниченно приближается к нулю. Интервалы, на которых она положительна или отрицательна, изображены в следующей таблице:

x	-		-		-1		0		1				+
y	-0	-		+		+	0	-	0	-		+	+0

Проведенные рассуждения позволяют установить общий вид графика функции (3.42) (рис. 21). С помощью дальнейшего исследования этой функции ее график можно нарисовать более точно.

Рациональные дроби  Оглавление  Степенная функция