3.8. Показательная и логарифмическая функции

    У степенной функции y = x^a показатель степени постоянен, а основание степени меняется. Функция, у которой постоянно основание степени, а меняется ее показатель, называется показательной.

    Если a < 0, то степень a^x имеет смысл не для всех x. В случае a = 0 при x > 0 имеет место равенство 0^x0. Поэтому под показательной функцией понимается функция y = a^x, где a > 0. Она принимает положительные значения при всех значениях x. Если a = 1, то y 1. При x = 0 показательная функция a^x обращается в 1, так как a⁰ = 1. Если a > 1, то функция y = a^x возрастает при возрастании аргумента, и, следовательно, при x > 0 выполняется неравенство a^x > a⁰ = 1, а при x < 0 - неравенство a^x < a⁰ = 1. При неограниченном убывании аргумента показательная функция в этом случае неограниченно приближается к нулю, а при его неограниченном возрастании также неограниченно возрастает. Если же a < 1, то показательная функция убывает при возрастании ее аргумента; она больше единицы при x < 0, меньше единицы при x > 0 и при неограниченном возрастании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при его неограниченном убывании неограниченно возрастает (рис. 30).
    Если a > 0, a  1, b > 0, то показатель степени a, в который надо возвести число a, чтобы получить число b, называется логарифмом числа b по основанию a и обозначается log_a b. Таким образом,

b.

    Функция y = log_a x,  a > 0, a 1, называется логарифмической функцией. Она определена при x > 0. Функции y = a^x и y = log_a x взаимно обратны друг другу, ибо и log_a a^x x. Поэтому график функции y = log_a x симметричен графику функции y = a^x относительно биссектрис первого и третьего координатных углов (рис. 31).
    Если a > 1, то график log_a x положителен при x > 1 и отрицателен при 0 < x < 1, а если 0 < a < 1, то, наоборот, положителен при 0 < x < 1 и отрицателен при x > 1. Если a > 1, то логарифмическая функция y = log_a x возрастает, причем при неограниченном возрастании аргумента она неограниченно возрастает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно убывает. Если же 0 < a < 1, то логарифмическая функция при возрастании аргумента убывает, причем при его неограниченном возрастании неограниченно убывает, а при его неограниченном приближении к нулю неограниченно возрастает, при любом a > 0, a 1, имеет место равенство log_a 1 = 0. Логарифмическая функция по основанию 10 обозначается символом lg.

Степенная функция  Оглавление  Тригонометрические и обратные