3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков

    Если известен график функции y = f(x), то с его помощью легко получить график функции вида  y = kf(ax + b) + l. Опишем это построение по этапам. Из графика функции  f(x):
    1) график функции f(ax), a > 0, получается сжатием графика  f(x) вдоль оси x в a раз ("сжатие" с коэффициентом a, 0 < a < 1, является растяжением в 1/a раз);
    2) график функции f(-x) - преобразованием симметрии относительно оси y;
    3) график функции f(x + b) - переносом параллельно оси x на отрезок длины |b| влево, если b > 0, и вправо, если b < 0;
    4) график функции kf(x), k > 0, - растяжением вдоль оси y в k раз ("растяжение" с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/k раз);    
    5) график функции -f(x) - преобразованием симметрии относительно оси x;
    6) график функции f(x) + l - переносом параллельно оси y на отрезок длины |l| вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0. Применив эти операции, из графика функции  f(x) можно получить график функции

kf(ax + b) + l + l, a 0.

Для этого согласно указанному выше надо последовательно построить графики функций

f(ax),   = f(ax + b),   kf(ax + b),    kf(ax + b) + l

(на рис. 42 схематически изображено построение графика функции kf(ax + b) + l в случае, когда a > 0, b > 0, k > 0, l > 0).

    Вместо последовательного построения этих графиков можно сделать преобразование координат: соответствующий параллельный перенос, изменение масштабов, а если надо, и ориентации координатных осей. Именно, график самой функции f(x) станет графиком функции kf(ax + b) + l, a 0, k 0, если перенести начало координат в точку (b, -l/k), увеличив масштаб по оси x в |a| раз, уменьшить его по оси y в |k| раз и при a < 0, соответственно при k < 0, изменить ориентацию оси x соответственно оси y (рис. 43).

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Оглавление Ограниченные и неограниченные множества