4.3*. Арифметические свойства верхних и нижних граней

    Отметим три свойства верхних и нижних граней, связанные с арифметическими операциями над числовыми множествами. Прежде всего определим такие операции.
   Арифметической суммой X₁ + ... + X_n числовых множеств X₁, ..., X_n называется множество всех чисел x, представимых в виде

x = x₁ + ... + x_n,   x₁   X₁,  ...,  x_n   X_n.

    Арифметической разностью X - Y числовых множеств X и Y называется множество всех чисел z, представимых в виде

z = x - y,  x   X,  y   Y.

    Следует, конечно, отличать понятие арифметической суммы X₁ + ... + X_n и разности X - Y от понятия теоретико-множественной суммы X₁  ...  X_n и разности X \ Y тех же множеств.
   Произведением X числа на числовое множество X называется множество всех чисел вида x, x   X.

    Если x X₁ + ... + X_n, т. е. x = x₁ + ... + x_n,   x₁   X₁,  ...,  x_n   X_n, то x_k < sup X_k, k = 1, 2, ..., n, и, следовательно,

Пусть теперь

Рассмотрим сначала случай, когда все верхние грани sup X_k, k = 1, 2, ..., n, конечные. В этом случае представим число y в виде y = y₁ + ... + y_n, где

В качестве y_k можно взять

где

Действительно, в этом случае y_k < sup X_k и

y1 + ... + yn	=	sup (X1 - /n) + ... + sup (Xn - /n) =
	(4.8)

Из неравенств (4.7) следует, что существуют такие x_k  X_k, что

y_k < x_k < sup X_k,  k = 1, 2, ...

Полагая x = x₁ + ... + x_n, получим

    Таким образом, выполняются оба условия определения верхней грани (см. (4.5) и (4.10)), т. е. sup X₁ + ... + sup X_n действительно является верхней гранью множества X₁ + ... + X_n.
    Пусть теперь хотя бы одна из верхних граней sup X_k,  k = 1, 2, ..., n, бесконечная, т. е. равна +, например sup X₁ = +. Докажем, что тогда

sup (X₁ + ... + X_n) = + = sup X₁ + ... + sup X_n,
(мы полагаем, что a + (+) =  +  = + для любого a.)

Пусть задано какое-либо y R. Зафиксируем произвольно x_k   X_k, k = 2, ..., n. Тогда из условия sup X₁ = + следует, что существует такое x₁   X₁, что x₁ > y - x₂ - ... - x_n > , т. е.

x x₁ + x₂ + ... + x_n >  y.

Так как y - произвольное число, а x   X₁ + ... + X_n, то это и означает, что sup (X₁ + ... + X_n) = +.
    Аналогично доказывается формула (4.4). 
     2^o. Если > 0, то

sup X = sup X,	(4.11)
inf X = inf X,	(4.12)

а если < 0, то

sup X = inf X,	(4.13)
inf X = sup X,	(4.14)

Пусть > 0. Если y X, т. е. y = x, где  x X и, следовательно, x < sup X, то y = x < sup X. Если
y < sup X, т. е. y/ < sup X, то найдется такое x X, что  x > y/ и, следовательно, x > y, где x X. Таким образом, sup X является верхней гранью множества x, т. е. формула (4.11) доказана. Аналогично доказывается и формула (4.12).
    Пусть теперь < 0. Если y X, т. е. y = x, где x X и, следовательно, x > inf X, то x < inf X. Если
y < inf X, т. е. y/ < inf X, то найдется такое x X, что x < y/, а потому x > y, где x X. Это и означает, что inf X является верхней гранью множества X. Равенство (4.13) доказано. Аналогично доказывается равенство (4.14). 
    Положим теперь для каждого множества   X

Очевидно, что из определения суммы X + Y и разности X - Y множеств следует

    В силу определения (4.15) из второго свойства при = -1 получаем.

3^o.

Следует сразу из первого свойства и формул (4.16) и (4.17).

Верхняя и нижняя грани   Оглавление   Принцип Архимеда